Файл: Образовательное учреждение высшего образования уфимский университет науки и технологий.docx

сплайн, необходимо использовать краевые условия. Рассмотрим четыре типа краевых условий:

I. .

II. .
III. Условия периодичности: .

IV. ,
,
где , ,

, .

Можно заметить, что первые три типа условий одинаковы по форме и содержанию с подобными условиями для кубических сплайнов. Содержание условий типа IV раскроем в алгоритме.
1.6 Алгоритм построения интерполяционного рационального сплайна
Из условий интерполяции получим



Подставив эти выражения для , в (1.5.1), получим

(1.5.3)
Сплайн (1.5.3) непрерывен в узлах сетки и удовлетворяет условиям (1.5.2). Определим коэффициенты так, чтобы были непрерывны его первая и вторая производные.

Если
(1.5.4)

то

---

Обозначив , получим



Формулы (1.5.5) являются следствием непрерывности Из (1.5.4)



Значит,



,

и условие непрерывности в точке имеет вид




Подставляя сюда и из (1.5.5), получим



,

где , ,



Выпишем системы уравнений относительно неизвестных для каждого вида краевых условий.

Типы I и II.



где для типа I:

---

для типа II:
,



Тип IV:



.
Матрицы всех полученных систем с диагональным преобладанием. Это открывает перспективы для их решения с помощью метода прогонки и гарантирует существование и единственность интерполяционного рационального сплайна при любом типе краевых условий. После вычисления значений , по формулам (1.5.5) определяются коэффициенты Вычисление сплайна и его 1-ой и 2-ой производных находится с помощью формул (1.5.3), (1.5.4), (1.5.6). В довершении дадим формулу для вычисления 3-ей производной



При , рациональный сплайн станет кубическим.
1.7. Периодический случай
Можно говорить, что сплайн первой степени также является частным случаем рационального сплайна. Проанализируем поведение

---

на некотором промежутке в случае, если , Сетку считаем фиксированной.

Теорема. Если A – матрица с диагональным преобладанием, то справедлива оценка


Следствие. Если матрица системы с диагональным преобладанием, то

Используя данное следствие, из системы (1.5.7) получаем



Из (1.5.5) получим
,

.

Используя формулу (1.5.3), найдём при




В частности, если для всех одновременно , то , т.е. сплайн первой степени является предельным случаем рационального сплайна.

Рациональные сплайны обладают свойствами наиболее часто встреча- ющихся на практике – сплайнов первой степени и кубических. Кубические сплайны показывают, чаще всего, высокую точность приближения гладких функций. Но при этом не всегда получается удовлетворить требованиям качественного характера. К примеру, если интерполируемая функция выпукла, то в некоторых случаях необходимо, чтобы и сплайн был выпуклым. Кубический

---

сплайн удовлетворяет этому требованию далеко не

всегда. Сплайн же первой степени в данной ситуации тоже будет выпуклым, но не всегда возможно получить необходимую точность приближения. Кроме всего прочего, сплайн первой степени не является гладкой функцией. Значимые проблемы могут возникнуть при приближении функции с большими градиентами. Использование в данном случае как кубических сплайнов, так и сплайнов первой степени, обычно связано с большим количеством узлов интерполяции.

При использовании рациональных сплайнов путем надлежащего выбора свободных параметров , практически всегда удаётся одновременно удовлетворить требованиям и количественного и качественного характера, в том числе при интерполяции функций с большими градиентами. Данное обстоятельство делает рациональные сплайны фактически универсальным средством приближения функций.

Рассмотрим интерполяцию функции



на сетке с узлами в качестве численного примера, демонстрирующего возможности рациональных сплайнов.

На рисунке 1.3 изображены графики интерполяционных сплайнов – кубического и рационального . Оба сплайна удовлетворяют граничным условиям типа

---