ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 897
Скачиваний: 0
|
r |
|
|
|
|
|
r |
|
r |
n |
r |
|
n |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) Pi |
= mivi |
Pсис = åPi = å(mi × vi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
= |
|
r |
r |
] |
r |
n |
|
r |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) Ni |
[ri , Pi |
Nсис = åNi = å[ri , Pi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
= |
|
r |
r |
] |
r |
n |
|
r |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3)Mi |
|
[ri , Fi |
Mсис |
= åMi |
= å[ri |
, Fi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
r |
|
n |
|
r |
r |
|
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
å[ri |
, Fвнутi |
+ Fвнешi ] = å[ri , Fвнешi |
] + |
å[ri , Fвнутi ] Þ из 3 закона Ньютона Þ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
v |
|
n |
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å[ri |
, Fвнутi |
] = 0 Þ M = å[ri |
, Fвнешi ] - уравнение моментов для системы материальных тел |
||||||||||||||||||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
n |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
= å[ri , Pi ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
i=1 |
|
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
||||
|
dN |
|
|
|
d |
|
n |
|
|
dr |
|
|
|
dP |
dN |
|
|||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
(å[ri |
, Pi ]) |
= å |
|
i |
´ Pi |
+ åri |
´ |
i |
= å[ri |
, Fвнеш i |
] = M внеш ÞM внеш = |
|
- |
||||||
|
dt |
|
|
|
dt |
|
dt |
dt |
dt |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнение моментов для системы материальных точек
Момент внешних сил, приложенных к
системе равен производной от момента импульса системы материальных тел по времени.
Центром масс или центром инерции системы материальных тел называется точка радиус вектор которой выражается через радиус векторы всех остальных точек системы следующим образом:
|
|
|
|
n |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
åmiri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
= |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
rc |
= |
|
|
|
òridmi = |
|
|
òri |
ρdvi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m |
m |
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||
r |
|
|
|
r |
d |
|
1 n |
|
r |
1 |
|
d |
|
1 |
r |
||||||||
|
|
|
dr |
|
|
|
m r |
|
|||||||||||||||
vc = |
|
|
|
c |
= |
|
|
( |
|
|
åmiri ) = |
|
|
|
å i i |
= |
|
åmivi Þ |
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
m |
|
|
dt |
m |
||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
m i=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
r |
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
vc = |
|
Pсис |
|
Þ Pсис |
= mvсис |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Зная импульс системы материальных тел можно записать основное уравнение (второй закон Ньютона) для системы материальных тел, который и является теоремой о центре масс.
|
n |
r |
|
r |
|
dPсист |
|
dmvo |
|||
= åFвнеш |
= |
||||
dt |
dt |
||||
i=1 |
|
|
|||
ТЕОРЕМА
31
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Центр масс системы движется как материальная точка, в которой
сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.
Центр тяжести – точка приложения результирующей всех сил, действующих на материальные точки системы в однородном поле силы тяжести.
Центр масс системы материальных точек совпадает с её центром тяжести.
Если |
сумма |
внешних |
сил |
равна |
нулю, |
то |
||||
|
d(mv ) |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
c |
= 0 Þ mv |
= const Þ т.к. m = const Þ v |
c |
= const |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В отсутствии внешних сил, действующих на систему скорость системы неизменна. Т.к. в релятивистском случае масса непостоянна, то и центр масс не является инвариантом.
С.О., жестко связанная с центром масс системы материальных частиц и перемещающаяся равномерно, поступательно и прямолинейно относительно ИСО называется системой центра масс.
Закон сохранения импульса для системы материальных тел.
Пусть в системе материальных точек n материальных точек:
m ,m ,m |
,.., m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r 1 |
r |
2r |
3 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v1 ,v2 |
,v3 |
,..,vn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
|
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F1 , F2 , F3 ,.., Fn |
|
- внешние силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
r ¢ |
|
r ¢ |
|
r |
¢ |
|
r |
¢ |
- внутренние силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
F |
, F |
, F |
|
,.., F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
r |
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r¢ |
|
|
d |
|
|
r |
|
|
|
r |
r¢ |
|
|
|
|||
|
|
dm v |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
Þ |
|
|
1 |
1 |
= F1 + F1 |
,... Þ |
|
|
(åmivi ) |
= |
å(Fi |
+ Fi |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
r¢ |
|
|
|
d |
n |
r |
|
n |
r |
||
по 3 закону Ньютона : å(Fi |
) |
= 0 Þ |
|
|
(åmivi ) |
= å(Fi ) |
|||||||||||||||||||||
dt |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
||||
Если внешние силы не действуют, то:
d |
n |
r |
n |
r |
|
|
(åmivi ) = 0 |
Þ åmivi = const - ЗСИ системы |
|||
dt |
|||||
i=1 |
|
i=1 |
|
||
Полный импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени.
Импульс замкнутой изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.
Второй закон Ньютона для материальной точки отличается от второго закона Ньютона для системы материальных точек тем, что физические носители импульса распределены по всему пространству системы материальных точек.
Закон изменения импульса для системы материальных точек:
32
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dPсис |
n r |
|
= åFвнеш |
||
dt |
||
i=1 |
||
r |
n r |
|
dPсис |
= dt * åFвнеш |
i=1
ЗСИ справедлив не только в классической механике, он работает и для замкнутых систем микрочастиц. Таким образом ЗСИ является фундаментальным законом природы.
å = = å +å +å = å r +å r +å r
P const Px Py Pz mvx mvy mvz
Проекции импульсов являются независимыми уравнениями. Поэтому ЗСИ используется и для частично изолированных систем. Может оказаться так, что система материальных точек не изолирована, но внешние силы действуют лишь в одном направлении. Соответствующим выбором системы координат можно добиться того, что одна или две проекции внешних сил обратятся в ноль.
ЗС момента импульса:
dNc |
r |
|
= M внеш |
||
dt |
||
|
Если сумма внешних сил равна нулю, то и момент внешних сил равен нулю. Рассмотрим замкнутую изолированную систему:
dNc |
r |
- Закон Сохранения Момента Импульса. |
|
= 0 Þ Nc = const |
|||
dt |
|||
|
|
В замкнутых изолированных системах полный момент импульса остается неизменным с течением времени.
ЗСМИ работает и для частично замкнутых систем. В незамкнутых системах на тело действуют и тогда не все проекции момента сил равны нулю, а значит и не все проекции момента импульса равны константам.
РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ, ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ.
Энергия – единая универсальная мера различных форм движения материи. С понятием энергии связана работа.
Работа это:
1)изменение энергии данного материального тела
2)процесс передачи энергии от одного тела к другому
3)скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
33
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dA = (F, dl ) (F = const)
A = ò(F |
, dl ) |
(F ¹ const) Работа – сумма элементарных работ по таким |
l2 r |
r |
r |
l1
участкам, где вектор силы неизменен.
Мощность – скорость выполнения работы.
Nср |
= |
DA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Dt |
|
dA |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N = |
¢ |
= |
|
Þ dA |
= Ndt |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
At |
|
|
dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dlr |
|
||
|
|
d |
r |
|
r |
r |
|
r r |
||||||
N = |
|
(F,dl ) = (F, |
|
) = (F,v) |
||||||||||
dt |
dt |
|||||||||||||
Рассмотрим потенциальную энергию:
Потенциальная энергия – часть полной механической энергии, определяющаяся взаимным расположением тел и характером сил, взаимодействующих между ними. Обычно взаимодействие тел рассматривают посредствам силовых полей (поле силы тяжести, силы трения, …)
Силовое поле – пространство, в каждой точке которого на помещенную в неё частицу действует сила, способная меняться со временем, при переходе от одной точке пространства к другой или зависящая от траектории движения.
Поля в которых действующие на частицы силы не зависят от времени называют стационарными. Работа, совершаемая силами в стационарных полях зависит от начальной и конечной точки траектории, а также от траектории движения.
Если работа, совершаемая силами в стационарных полях зависит лишь от начальной и конечной точек траектории, то такие поля называются потенциальными.
Если действующие в стационарных полях силы зависят от траектории, то такие системы называется диссипативными.
Диссипативные системы – такие системы, в которых механическая энергия
обязательно уменьшается с течением времени за счет преобразования её в другие формы. Силы, действующие в таких системах называют диссипативными.
Потенциальные поля – поля, в которых действуют консервативные силы. Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от траектории движения и его скорости. А зависит лишь от начальной и конечной точек траектории. Таким образом работа в таких полях по замкнутой траектории равна нулю.
34
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com