ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2024
Просмотров: 902
Скачиваний: 0
dM |
r |
|
= K |
|
|
dt |
|
|
|
r r |
], где |
Момент сил тяжести, действующих на волчок, равен K = μ ×l[n3 g |
||
n3 – единичный вектор в направлении оси волчка. Из соображений
симметрии очевидно, что результат усреднения |
K |
по “конусу нутации” |
сводится к замене вектора n3 его проекцией cosα × |
M |
на направление M (α |
r |
||
|
M |
|
|
|
|
– угол между M и осью волчка). Таким образом, получим уравнение:
d |
|
|
|
|
|
μ ×l |
|
r |
|
M |
|
|
r |
||||||
|
dt |
= -cosα × |
M |
[g |
× M ]. |
||||
Оно означает, что вектор |
M прецессирует вокруг направления g |
||||||||
(вертикали) со средней угловой скоростью |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
μ ×l cosα r |
|
||
|
Wпр = - |
(42) |
|||||||
|
M |
|
g |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(малой по сравнению с Ωнут ).
В рассматриваемом приближении входящие в формулы (41) и (42) величины M и cosα постоянны (хотя и не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами E и M 3 соотношениями:
|
|
M 2 |
æ cos2 |
α |
|
sin 2 |
α ö |
|
||
M 3 = M cosα , |
E » |
|
ç |
|
|
+ |
|
|
÷. |
(43) |
|
|
|
I ′ |
|
||||||
|
|
2 |
ç |
I3 |
|
|
÷ |
|
||
|
|
è |
|
|
1 |
ø |
|
|||
Уравнения Эйлера.
Уравнения движения, написанные в главе “уравнения движения твёрдого тела” относятся к неподвижной системе координат: производные
ddtP и dMdt в уравнениях (20) и (22) представляют собой изменения векторов
P и M по отношению к этой системе. Между тем, наиболее простая связь
между компонентами вращательного момента M твердого тела и
компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам x1 , x2 , x3 .
Пусть ddtA – скорость изменения какого-либо вектора A по отношению
к неподвижной системе координат. Если по отношению к вращающейся
системе вектор A не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда
236
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
dA |
r r |
= [W× A] |
|
dt |
|
Это выражение легко получить, рассмотрев линейное перемещение конца радиуса-вектора A при повороте последнего на малый угол dϕr = W× dt . Это перемещение равно dA = Asinθ × dϕ , где θ - угол между векторами A и
W. Отсюда, собственно, следует, что dA = [W × A]× dt .
Вобщем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость
изменения вектора A по отношению к подвижной системе; обозначив эту
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорость, как |
d A |
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
¢ |
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dA |
= d A |
r |
|
|
(44) |
|
|
|
|
|
+ [W × A] |
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать |
||||||||||
уравнения (20) и (22) в виде: |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|||
|
|
|
¢ |
r |
r |
r |
r r |
r |
|
|
|
|
|
d P |
d M |
(45) |
|||||
|
|
|
+ [W× P]= |
F , |
+ [W × M |
]= K |
||||
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси этой системы, написав:
æ |
¢ |
ö |
|
|
|
|
|
dP1 |
|
|
æ ¢ |
ö |
|
|
dM |
1 |
|
|
|||||||
ç d P |
÷ |
|
|
|
= |
, …, |
ç d M |
÷ |
= |
, …, |
|
||||||||||||||
ç |
dt |
÷ |
|
|
|
|
|
dt |
ç |
|
÷ |
dt |
|
|
|||||||||||
è |
ø |
1 |
|
|
|
|
|
|
è dt |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
где индексы 1, 2, 3 означают компоненты по осям x1 , x2 , |
x3 . При этом |
||||||||||||||||||||||||
в первом уравнении заменяем P на μV и получаем: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
æ dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
||||||
|
μç |
|
|
1 |
|
|
+ W V - W V |
|
÷ |
= F |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
è |
|
dt |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
2 |
ø |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
æ dV |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|||||||
|
μç |
|
|
|
|
|
+ W V - W V |
|
÷ |
= F |
|
|
(46) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
è |
|
dt |
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
3 |
ø |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
æ dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
||||||
|
μç |
|
|
3 |
|
|
+ W V |
|
- W V |
÷ |
= F |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
è |
|
dt |
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
1 |
ø |
|
3 |
|
|
|
|||||||
Предполагая оси x1 , x2 , x3 выбранными по главным осям инерции, |
|||||||||||||||||||||||||
пишем во втором из уравнений (45) M1 = I1Ω1 |
и т. д. и получаем: |
||||||||||||||||||||||||
|
I1 |
dΩ1 |
|
|
+ (I3 - I2 )W2W3 = K1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
dW2 |
|
+ (I1 - I3 )W3W1 = K2 |
|
(47) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I3 |
|
dW3 |
|
+ (I2 - I1 )W1W2 = K3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
237 |
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Уравнения (47) называют уравнениями Эйлера. При свободном
вращении K = 0, так что уравнения Эйлера принимают вид: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dΩ1 |
+ |
|
I3 − I2 |
Ω2Ω3 = 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dΩ2 |
|
+ |
|
I1 − I3 |
Ω3Ω1 = 0 |
|
|
|
(48) |
||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dΩ3 |
|
+ |
I2 − I1 |
Ω1Ω2 = 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В качестве примера применим эти уравнения к уже рас- |
|||||||||||||||||||
сматривавшемуся |
нами |
свободному |
вращению |
симметрического |
волчка. |
||||||||||||||
Положив |
I1 = I2 , |
имеем |
из третьего |
уравнения |
& |
= 0, т. |
е. Ω3 |
= const . |
|||||||||||
Ω3 |
|||||||||||||||||||
После этого первые два уравнения напишем в виде: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
= ωΩ1 , |
|
|
||
|
|
Ω1 = −ωΩ2 , |
|
|
|
Ω2 |
|
|
|||||||||||
где введена постоянная величина: |
I3 − I1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = Ω3 |
. |
|
|
|
(49) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
Умножив второе уравнение на i и сложив с первым, получим: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
(Ω1 + iΩ2 ) = iω(Ω1 + iΩ2 ), |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
откуда: |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω1 + iΩ2 = Aeiωt , |
|
|
|
|
||||||||
где А – постоянная; последнюю можно считать вещественной (это |
|||||||||||||||||||
сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Ω1 = Acosωt ,Ω2 = Asinωt |
|
|
(50) |
|||||||||||||
Этот |
результат показывает, что |
проекция |
угловой |
скорости на |
|||||||||||||||
плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью ω , оставаясь постоянной по величине (Ω12 + Ω22 = A). Поскольку проекция Ω3 на ось волчка тоже постоянна, то мы заключаем, что и весь вектор Ω равномерно вращается с угловой скоростью ω вокруг оси
волчка, оставаясь неизменным по величине. Ввиду |
связи M1 = I1Ω1 , |
M 2 = I2Ω2 , M 3 = I3Ω3 между компонентами векторов |
Ω и M такое же |
движение (по отношению к оси волчка) совершает, очевидно, и вектор
момента M .
Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было ранее рассмотрено по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая
скорость вращения вектора M (ось Z на рис. 7) вокруг направления x3
238
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
совпадает, в терминах |
эйлеровых углов, с |
угловой |
скоростью – ψ . С |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
помощью уравнений (32) имеем: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M cosθ |
|
æ |
1 |
|
1 |
ö |
& |
|
& |
ç |
- |
÷ |
|||
|
|
|
|
|||||
ψ = |
I3 |
-ϕ cosθ = M cosθ ç |
I3 |
|
÷ |
|||
|
|
|
è |
|
I1 ø |
|||
или, что то же самое |
I3 − I1 |
|
-ψ = W3 |
||
& |
I1 |
|
в согласии с (49). |
||
|
Применение гироскопов.
Итак, аксиально-симметричное тело, приведённое в очень быстрое вращение вокруг своей оси симметрии, называется гироскопом. Примерами его могут служить волчок, диск, быстро вращающийся вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно поверхности.
Удивительные свойства гироскопов нашли себе разнообразные практические применения. Одно из первых применений свойства гироскопов нашли в нарезном оружии. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают
вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг оси и превращают его в гироскоп с большим собственным моментом импульса. После вылета из ствола центр тяжести снаряда движется по параболе, и касательная к траектории постепенно опускается вниз (рис. 10). Действующее на снаряд сопротивление воздуха создает момент, который должен был бы опрокинуть снаряд. Поэтому, если бы снаряд не вращался вокруг своей оси, то направление этой оси могло бы меняться самым произвольным образом.
Вслучае же быстрого вращения вокруг оси снаряд превращается в гироскоп, и внешний момент вызывает лишь прецессию оси снаряда вокруг направления касательной к траектории. Направление прецессии при этом совпадает с направлением собственного вращения снаряда. В этом отношении снаряд подобен волчку, и так же, как в случае волчка, чтобы прецессия была устойчива, собственный момент импульса снаряда должен превосходить некоторую критическую величину. Для этого винтовые нарезы
встволе орудия должны быть достаточно крутыми.
Вслучае очень настильных траекторий, когда касательная к траектории мало изменяет свое направление в пространстве, момент импульса снаряда может быть достаточно велик. В случае же навесных траекторий требования осложняются, так как ось снаряда должна быть близка к направлению касательной и вместе с ней изменять свое направление в пространстве. Это возможно только в случае, если момент импульса снаряда не очень велик. Таким образом, для того чтобы ось снаряда во всех случаях оставалась близкой к направлению касательной к траектории, величина собственного
момента импульса снаряда должна быть заключена между некоторыми определенными, довольно узкими пределами.
239
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Другим важным применением гироскопов являются различные гироскопические навигационные приборы:
гирогоризонт, гирокомпас и т. д. Создание
искусственного горизонта является одной из важнейших задач как морской, так и аэронавигации. Для астрономических
измерений географической широты нужно знать положение горизонтальной плоскости или вертикали в данной точке. Если линия
горизонта не видна, то для определения вертикали можно пользоваться неподвижным отвесом. Однако на экипаже, движущемся с ускорением, отвес не будет направлен по вертикали. Поэтому на корабле или самолете обычный
отвес для определения вертикали непригоден вследствие неизбежных ускорений при наборе скорости, поворотах и качке. В этих случаях задачу можно решить при помощи специального гироскопического маятника, так называемого гирогоризонта.
Для выяснения принципа действия гирогоризонта мы рассмотрим поведение гироскопического маятника в экипаже, обладающем ускорением. Пока экипаж не обладает ускорением, гироскопический маятник, ось которого расположена вертикально, сохраняет неизменным свое положение. Если возникло ускорение экипажа, то в системе отсчета, связанной с экипажем, появляются силы инерции. Их действие можно учесть как некоторое эквивалентное изменение направления силы тяжести. Направление
оси гироскопического маятника уже не будет совпадать с направлением силы тяжести, и гироскоп начнет прецессировать. Но «приведенную длину» гироскопического маятника можно сделать очень большой (порядка сотни километров!), так что период прецессии будет составлять десятки минут. Если ускорение длится короткое время, то ось гироскопа вследствие медленности движения не успеет уйти далеко от направления вертикали, которое она занимала прежде. Поэтому кратковременные ускорения вообще заметно не отклоняют оси гирогоризонта от вертикали.
Экипажи обычно не могут иметь длительное время большое ускорение одного направления. Наиболее неблагоприятный в этом отношении случай – это набор скорости, который может длиться значительное время и вызвать хотя и не очень большие, но все же заметные отклонения оси гироскопа. Ускорения при поворотах длятся короткое время, а при качке они меняют направление, и отклонения оси гироскопа под влиянием этих переменных ускорений в результате усреднения оказываются незначительными. Таким образом, гироскопический маятник с большим периодом прецессии может служить искусственным горизонтом. Такие гирогоризонты сейчас широко применяются на морских судах для астрономических наблюдений, на самолетах при слепом полете и для различных специальных целей.
240
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com