Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

13.2. Постановка задачи синтеза оптимальных систем 

431 

Отметим, что множество начальных состояний объекта  [x(0)], как 

правило, совпадает с пространством состояний, а множество конечных 
состояний  [x(T)]  является  подмножеством  пространства  состояний. 

Кроме  этого,  объект  управления  нужно  перевести  не  в  любую  точку 

пространства состояний, а лишь в ту, которая принадлежит подмноже-

ству реализуемых равновесных состояний (см. разд. 11.2). 

x(0)

x(T)

x

1

x

n

[x(T)]

x(0)

x

1

x

n

[x(T)]

[x(0)]

x

1

x

n

[x(0)]

x(T)

x

1

x

n

Задача с фиксированными концами

Задача с фиксированным левым 

концом

Задача с фиксированным правым 

концом

Задача с подвижными концами

а 

в 

б 

г 

x

n 

x

n 

x

n 

x

n 

x

1 

x

1 

x

1 

x

1 

( )

x T

x(0)

x(0)

x(Т)

( )

x T

x(Т)

Рис. 13.4. Иллюстрация четырех типов задач синтеза: 

а – с фиксированными концами; б – с одним правым; в – с левым; г – задача  

с подвижными концами 

Рассмотрим на примере определение реализуемых равновесных со-

стояний объекта. 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

432 

ПРИМЕР  13.2 

Определить множество равновесных состояний для объекта, поведение 

которого описывает система уравнений 

1

1

2

2

1

2

2

,

5

2 .

x

x

x

u

x

x

x

u




Запишем для него уравнения статики 

0

0

1

2

0

0

1

2

2

0,

5

2

0.

x

x

u

x

x

u

Определим  управляющее  воздействие  из  первого  уравнения  и  подста-

вим во второе. После преобразования получим уравнение множества реа-
лизуемых равновесных состояний в виде 

0

0

2

1

5

3

x

x . 

Графической  интерпретацией  этого  множества  в  пространстве  состоя-

ний является прямая, именно ей должно принадлежать конечное состояние 
объекта. В другую точку пространства состояний его перевести невозмож-
но (точнее, перевести можно, но стабилизировать нельзя).

13.2.3. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ  

И УПРАВЛЕНИЕ 

Любая  задача  оптимизации  имеет  практический  смысл  только  при 

ограничениях на переменные состояния и ресурс управления. 

Ограничения  на  переменные  состояния  дают  некоторую  рабочую 

область 

x

 в пространстве состояний (рис. 13.5, а). Наиболее часто они 

носят характер модуля, 

,

1,

i

i

x

x

i

n . 

На  управляющие  воздействия  также  накладываются  ограничения, 

которые в общем случае можно представить в виде некоторой рабочей 
области 

u

 (рис. 13.5, б). В реальных системах ограничение на ресурс 

управления, как правило, также носит характер ограничения по моду-
лю 

,

1,

j

j

u

U

j

m . 

13.2. Постановка задачи синтеза оптимальных систем 

433 

x

i

 x

n

x

x

i

x

n

x

U

i

 U

m

U

u

i

u

m

u

а   

б 

Рис. 13.5. Иллюстрация рабочих областей: 

а –переменных состояния; б – управляющих воздействий  

 
На  этапе  постановки  задачи  синтеза  необходимо  убедиться  в  том, 

что множество начальных  [x(0)] и конечных  [x(T)] состояний объ-
екта находится внутри рабочей области пространства состояний 

x

. 

13.2.4. КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ 

Критерий  оптимальности  в  обобщенной  форме  отражает  требова-

ния  к  качеству  переходных  процессов  замкнутой  системы.  В  задаче 

синтеза  оптимальных  систем  его  принято  представлять  в  виде  инте-

грального функционала 

0

0

0

min

,

u

T

u

J

f

x u dt , 

(13.4) 

где T – время перехода из начального состояния в конечное. 

В  зависимости  от  требований  к  качеству  работы  системы  можно 

выделить  несколько  наиболее  часто  встречающихся  критериев  опти-

мальности. 

1. Критерий  быстродействия  отражает  требование  минимизации 

времени переходного процесса и может быть записан в виде 

0

min

u

u

J

T . 

(13.5) 

Этот критерий представим в форме интегрального функционала 

0

0

min

u

T

u

J

dt . 

(13.6) 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

434 

2.  Критерий  минимума  затрат  энергии  по  состоянию.  В  случае, 

когда требуется минимизировать затраты энергии только по одной из 

компонент вектора состояния, критерий оптимальности имеет вид 

0

2

0

min

u

T

i

u

J

x

t dt . 

(13.7) 

Если  речь  идет  о  минимизации  затрат  энергии  по  всему  вектору  со-

стояния, то он принимает форму 

0

0

min

u

T

T

u

J

x Pxdt , 

(13.8) 

где P – матрица коэффициентов квадратичной формы размера  n n . 

3. Критерий  минимума  затрат  энергии  на  управление.  Он  может 

быть  записан  аналогично  (13.7)  относительно  одной  из  компонент 

управляющего воздействия 

0

2

0

min

u

T

j

u

J

u dt  

(13.9) 

или относительно всего вектора управления 

0

0

min

u

T

T

u

J

u Qudt , 

 (13.10) 

где Q – матрица квадратичной формы размера 

m m

. 

4. Критерий минимума полных затрат энергии.  Это общий случай 

критерия минимума затрат энергии, объединяющий критерии (13.8) и 
(13.9): 

0

0

min

u

T

T

T

u

J

x Px

u Qu dt . 

(13.11) 

13.3. Метод динамического программирования 

435 

13.2.5. ФОРМА РЕЗУЛЬТАТА 

При  постановке  задачи  заранее  оговаривается  тип  управляющего 

воздействия, которое  необходимо определить в процессе синтеза. На-

пример, для одноактных систем, работающих без помех и возмущений, 
можно рассчитывать программное оптимальное управление 

0

0

( )

u

u t . 

Однако более часто применяют оптимальное управление в виде обрат-
ной связи 

0

0

( )

u

u

x . 

Задача  синтеза  оптимальной  системы  формулируется  следующим 

образом. Для объекта, описанного в переменных состояния с заданны-

ми  ограничениями  на  управление  и  состояние,  необходимо  найти  та-

кой  закон  управления,  который  обеспечивал  бы  переход  системы  из 

начального состояния в конечное в соответствии с определенным кри-

терием оптимальности. 

13.3. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО 

ПРОГРАММИРОВАНИЯ 

Метод  динамического  программирования,  предложенный  в  начале 

1950-х годов Р. Беллманом [1, 3, 41, 44], используется для синтеза оп-

тимальных систем управления, при выводе его основных соотношений 

используется принцип оптимальности. 

13.3.1. ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ 

Формулировка  принципа  оптимальности  следующая:  конечный 

участок оптимальной траектории есть также оптимальная траектория. 

Доказательство  этого  принципа  можно 

найти в [3], здесь ограничимся лишь его 

пояснением. 

Предположим,  что  существует  един-

ственная  оптимальная  траектория  пере-

хода из точки x(0) в точку x(T) (рис. 13.6). 

Промежуточная  точка  x(t)  разбивает  эту 

траекторию  на  две  части.  Причем  ее  

конечный  участок  представляет  собой 

оптимальную  траекторию,  иначе  можно 

было  бы  найти  новую  оптимальную  

x(0)

x (t)

x(T)

x

1

x

n

x

n 

x(t) 

x(T) 

x(0) 

x

1 

Рис. 13.6. Иллюстрация прин-

ципа оптимальности