Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 12. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА 

426 

1

2

2

1

2

1

2

2

,

2

5 ,

( )

,

3

( )

7,

.

x

x

u

x

x

x

u

y

c t x

x

c t

Y

y




12.13.  Поведение объекта описывают уравнения  

1

2

2

1

2

1

2

2

,

( )

10 ,

,

5

( ) 12,

5

.

x

x

x

a t x

x

u

y

x

x

a t

Y

y




Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управлении 

и реальной оценкой  G , обеспечивающую время выхода на экстремум 

2 c.

n

t

12.14.  Поведение объекта описывают уравнения  

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

,

20,

50,

0,5

2 ,

200,

( )

,

1

( )

5,

5

,

(0)

2.

x

x

x

x

x

x

x

u

u

y

x

c t x

c t

Y

y

y





Рассчитать систему поиска экстремума с производной в управле-

нии и реальной оценкой  G , обеспечивающую следующее качество 
процесса выхода на экстремум: 

1 c,

0.

n

t

y 

Y 

Блок оценки 

градиента 

u 

G 

k 

b 

1
p

Г л а в а  13 

ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

еред разработчиком системы управления всегда стоит задача 
формирования  в  ней  наилучших  в  каком-либо  смысле  пере-

ходных процессов. Чаще всего возникает необходимость обеспечения 
максимального  быстродействия  исполнительных  механизмов  или  ми-
нимальных затрат энергии на совершение переходных процессов. При 
этом,  естественно,  ограничены  какие-то  внутренние  переменные  объ-
екта  или  оговорены  дополнительные  условия  работы.  Например,  при 
оптимизации  быстродействия  системы  ограничены,  как  правило, 
управляющие воздействия; при оптимизации затрат энергии ограниче-
на  длительность  переходных  процессов.  Таким  образом,  искусство 
инженера-проектировщика  состоит  в  максимальном  удовлетворении 
заданных требований при известных ресурсных ограничениях. 

С развитием техники и теории автоматического управления предъ-

являемые к системам требования становились все более жесткими, что 

привело  к  разработке  соответствующих  способов  проектирования.  

В 50-х годах XX века появились математические методы оптимизации 

переходных  процессов:  метод  динамического  программирования  

Р. Беллмана и принцип максимума Л.С. Понтрягина, которые и будут 

представлены в данной главе. Ниже рассмотрены основы этих методов 

и методики проектирования автоматических систем с их применением. 

13.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Оптимальной называют такую  систему автоматического управле-

ния,  в  которой  полностью  в  каком-либо  формальном  смысле  исполь-

зуются  динамические  возможности  объекта  для  совершения  переход-

ных процессов при заданных ресурсных ограничениях. 

П 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

428 

Управление,  обеспечивающее  в  системе  оптимальные  процессы, 

называется оптимальным и обозначается далее 

0

u . 

Покажем особенности задачи синтеза оптимальной системы на сле-

дующем примере. 

ПРИМЕР  13.1 

Для объекта, структурная схема которого показана на рис. 13.1, рассчи-

тать регулятор, обеспечивающий переход из начального положения y(0) в 
заданное  конечное  состояние 

( )

y t   за  минимально  возможное  время.  Ре-

сурс управления объекта ограничен 

u

U

, а k = 1. 

k

Tp 1

u 

y 

Рис. 13.1. Схема объекта управления  

к примеру 13.1 

Рассмотрим переходные процессы при подаче на вход объекта различ-

ных управляющих воздействий (рис. 13.2): 

1)  если подать управление  U

kU

, численно равное  y , то переход-

ные процессы в объекте завершатся за время t

п

 (кривая 1 на рис. 13.2); 

U

y 

t

*

t 

t

п

y

*

1 

2 

Рис. 13.2. Переходные процессы объекта управления

2)  при  подаче  на  объект  максимально  возможного  управления 

U

  на 

его выходе получим процесс, соответствующий кривой 2, причем в момент 
времени  t  значение выходной переменной будет равно  y ; 

3) если сначала подать максимально возможное управление  ,

U  а в мо-

мент времени  t  сформировать u =  kU , то процесс перехода в требуемое 
состояние  будет  заканчиваться  за  минимально  возможное  для  объекта 

время при заданном ограничении на управление. 

13.1. Основные понятия 

429 

Реализовать на практике описанный алгоритм управления можно двумя 

способами. 

1.  В виде программного закона управления 

0

,

,

( )

,

.

U

t

t

u t

kU

t

t

В этом случае оптимальная система  будет разомкнутой и, следовательно, 

не  позволит  обеспечить  требуемые  свойства  при  действии  на  объект 

внешних возмущений. 

2.  В виде обратной связи 

0

,

,

( )

,

.

U

y

y

u t

kU

y

y

Структурная  схема  замкнутой  системы  с  подобным  законом  управления 

показана на рис. 13.3. 

*

y

  k

Tp 1

u 

y 

Рис. 13.3. Структурная схема оптимальной системы  

к примеру 13.1

Обращаем внимание на то, что полученная релейная система обеспечит 

оптимизацию переходных процессов при любых параметрах объекта и да-

же при действии возмущений. Это тот редкий в технике случай, когда ал-

горитм оптимального управления инвариантен по отношению к возмуще-

ниям и нестационарности параметров объекта. 

Рассмотренный  пример  иллюстрирует  основные  свойства  опти-

мальных  систем:  объект  работает  на  пределе  своих  возможностей 
(полное  использование  ресурса  U ),  управление  имеет  релейный  ха-

рактер. 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

430 

13.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА 

ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ 

13.2.1. ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ 

Постановка задачи синтеза оптимальных систем предполагает стро-

гую формализацию всех этапов [1, 17, 21], начиная с описания объекта 

управления,  которое  следует  представить  в  переменных  состояния. 

Причем объект должен быть стационарным (параметры не могут изме-

няться с течением времени), т. е. в общем случае его модель имеет вид 

( , ),

,

,

n

m

x

f x u

x

R

u

R

m

n



. 

(13.1) 

Здесь  x   –  вектор  состояния  объекта; 

( , )

f x u

  –  вектор  нелинейных 

функций, удовлетворяющих условию существования и единственности 

решения дифференциального уравнения. 

В  частном  случае  объект  может  быть  описан  нелинейным  стацио-

нарным уравнением состояния с аддитивным управлением 

( )

( )

x

f x

B x u



, 

(13.2) 

где  ( )

B x

 – матрица нелинейных функций. 

В  классе  объектов  с  аддитивным  управлением  можно  выделить 

подкласс линейных объектов, модель которых имеет вид 

x

Ax

Bu



. 

(13.3) 

Здесь  A  и  B  –  матрицы  коэффициентов  соответствующих  размерно-

стей. 

13.2.2. ОПИСАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ  

И КОНЕЧНЫХ СОСТОЯНИЙ 

На  этапе  постановки  задачи  синтеза  следует  оговорить  мно- 

жество начальных условий объекта и множество конечных состояний, 

в  которые  его  требуется  перевести.  Подобный  переход  удобнее  рас-

сматривать  в  пространстве  состояний,  причем  в  зависимости  от  вида 

области начальных и конечных состояний можно выделить четыре ти-

па задач синтеза (рис. 13.4).