Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf
ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 18626
Скачиваний: 127
Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
446
ПРИМЕР 13.3
Определить оптимальное управление для объекта, поведение которого
описывают уравнения
1
2
2
,
.
x
x
x
u
Требуется обеспечить переход из начальной точки в конечную
1
1
2
2
0
0
1
0
0
0
x
x T
x
x
T
за заданное время
1
T
с при минимуме затрат энергии, т. е.
2
0
min
u
T
u
J
u d .
Поскольку известно описание объекта в переменных состояния, пере-
ходим к формированию расширенного вектора состояния и правых частей,
а также запишем вектор сопряженных координат
1
0
2
1
3
2
z
x
z
z
x
z
x
2
0
1
2
T
u d
x
x
,
2
0
1
2
2
f
u
f
x
f
u
,
0
1
2
,
,
.
Сформируем теперь гамильтониан
2
0
1 2
2
H
u
x
u
и определим его максимум по u
0
2
max
:
2
0
u
u
H
H
u
u
.
Из этого уравнения определим оптимальное управление в виде функции
сопряженных координат
0
2
0
2
u
.
13.4. Принцип максимума Понтрягина
447
Для сопряженных координат запишем систему дифференциальных
уравнений
0
1
0
1
2
1
2
1
3
2
0,
0,
,
H
H
z
x
H
H
z
x
H
H
z
x
из которой получим
0
1
1
2
2
2
3
const,
const,
.
c
c
c t
c
В результате оптимальное управление примет вид
0
2
3
1
2
1
2
c t
c
u
b t
b
c
.
Коэффициенты
(
1, 2)
i
b
i
определим, решая краевую задачу. С этой
целью запишем уравнения замкнутой системы
1
2
2
1
2
,
.
x
x
x
b t
b
Найдем решение для переменных состояния:
2
2
2
1
2
1
2
0
2
3
2
1
1
1
2
1
2
0
1
0
,
2
1
1
1
0
.
2
6
2
T
T
x
t
x
b t
b
d
b t
b t
x t
x
b
b
d
b t
b t
Учтем теперь заданные начальные и конечные условия и T = 1 с.
1
1
2
2
1
2
1
1
1
,
6
2
1
0
.
2
x T
b
b
x
T
b
b
Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
448
Решая полученную систему уравнений, определим неизвестные коэф-
фициенты:
1
2
12,
6
b
b
. В результате оптимальный программный за-
кон управления будет
0
12
6
u
t
.
13.4.3. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ
Задача оптимального быстродействия имеет некоторые особенно-
сти, которые упрощают ее решение на основе принципа максимума
Понтрягина [1, 3].
Гамильтониан быстродействия. Рассмотрим общий класс объек-
тов управления (13.1)
( , ),
,
,
n
m
x
f x u
x
R
u
R
m
n
с ограниченным управлением u U и критерием оптимальности в
виде (13.6), т. е. критерием быстродействия
0
min
u
T
u
J
d .
Согласно процедуре синтеза на основе принципа максимума запи-
шем расширенный вектор правых частей и вектор сопряженных коор-
динат
1
1
1
( )
,
1,
,
,
( )
n
n
f
f
,
а затем сформируем гамильтониан в виде
1 1
( )
1
( )
( )
n n
H
f
f
.
(13.36)
В соответствии с (13.33) максимум гамильтониана равен нулю. По-
скольку первое слагаемое в данном выражении не зависит от управле-
ния, можно вместо (13.36) рассматривать усеченный гамильтониан,
который называется гамильтонианом быстродействия
13.4. Принцип максимума Понтрягина
449
б
1 1
( )
( )
( )
n n
H
f
f
f
.
(13.37)
В этом случае уравнение принципа максимума принимает вид
б
max
1
u
u
H
.
(13.38)
Таким образом, при решении задачи оптимального быстродействия
нет необходимости переходить к расширенному вектору состояния и
расширенному вектору правых частей. Можно сформировать гамиль-
тониан быстродействия и определить управление, обеспечивающее его
максимум в соответствии с (13.38).
Разрывное (релейное) управление. Для объектов с аддитивным
управлением вида (13.2)
( )
( ) ,
,
n
m
x
f x
B x u
x
R
u
R
,
ограниченным ресурсом управления u U и требованием в виде кри-
терия быстродействия управляющее воздействие имеет разрывный
характер.
Сформируем гамильтониан быстродействия (13.37)
б
1 1
1 1
( )
( )
( )
( )
n n
n n
H
f
B
u
f
B
u
,
(13.39)
где
( )
i
f
– i-й элемент вектора
( )
f x
, а
( )
i
B
– i-я строка матрицы
( )
B x
, i = 1, 2, …, n.
Управление, обеспечивающее максимум гамильтониана (13.39) с
учетом ограничений, имеет вид
0
sgn
( )
u
U
B x .
(13.40)
Следовательно, для объектов класса (13.2) оптимальное управление
всегда носит релейный характер.
Теорема о числе переключений. Данная теорема связывает число
переключений оптимального управления со свойствами объекта. Она
справедлива для линейных объектов (13.3)
x
Ax
Bu
,
n
x
R ,
m
u
R ,
m
n
с ограничением типа u U и критерием быстродействия. При этом
оптимальное управление имеет вид (13.40).
Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
450
Поскольку объект управления линейный, для него можно опреде-
лить корни характеристического уравнения
det(
)
0
pI
A
(13.41)
в виде совокупности
1
,...,
n
.
Рассмотрим без доказательства формулировку теоремы.
Теорема. Если корни характеристического уравнения (13.41) веще-
ственные, то число переключений управляющего воздействия не пре-
вышает (n – 1), где n – порядок объекта.
С л е д с т в и е. Число интервалов постоянства управляющего
воздействия не превышает n.
Варианты изменения оптимального управления в линейной системе
третьего порядка с вещественными корнями приведены на рис.13.8.
+U
-U
t
+U
-U
t
+U
-U
t
а)
б)
в)
U
U
U
а
б
в
Рис. 13.8. Иллюстрация изменения оптимального
управления:
а – нет переключений; б – с одним, в – с двумя
переключениями
В случае, когда среди совокупности корней характеристического
уравнения (13.41) есть комплексно-сопряженные, число переключений
теоретически не ограничено. В реальных системах невысокого порядка
число переключений, как правило, невелико.
ПРИМЕР 13.4
Рассмотрим задачу синтеза оптимальной по быстродействию системы
для объекта
1
2
2
1
2
,
2
,
.
x
x
x
x
dx
u
u
U