Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

456 

Будем решать следующую задачу перехода:  (0) 0

( )

x

x T .  Для  получе-

ния фазовых траекторий в пространстве состояний воспользуемся методом 

непосредственного  интегрирования  и  рассмотрим  последовательно  два 

значения оптимального управления. 

1.  Случай, когда 

0

u

A

. Уравнения замкнутой системы имеют вид 

1

2

2

,

.

x

x

x

A




Интегрируя последовательно второе, а затем первое уравнения, получим 

2

2

2

1

1

( )

0

,

1

( )

0

2

x t

x

At

x t

x

At

или при нулевых начальных условиях 

2

2

1

( )

,

1

( )

.

2

x t

At

x t

At

Теперь исключим время 

2

t

x

A

, и запишем уравнение фазовой тра-

ектории, выходящей из начала координат при положительном управлении, 

2

1

2

x

Ax . 

2.  Случай,  когда 

0

u

A

.  При  этом  уравнения  замкнутой  системы 

следующие: 

1

2

2

,

.

x

x

x

A




После интегрирования имеем 

2

2

2

1

1

( )

(0)

,

1

( )

(0)

2

x t

x

At

x t

x

At

или 

2

2

1

( )

,

1

( )

.

2

x t

At

x t

At

13.5. Метод поверхности переключения 

457 

Исключая время, 

2

t

x

A

, получаем 

2

2

1

1

2

x

x

A

A

. 

В этом случае уравнение фазовой траектории, выходящей из начала коор-
динат при отрицательном управлении, принимает вид 

2

1

2

x

A

x

. 

Для  каждой  фазовой  траектории  (рис.  13.11)  определим  направление 

движения и оставим ту половину параболы, которая соответствует движе-
нию из начала координат. Затем объединим эти две полутраектории в одну 
и получим уравнение линии переключения 

2

1

1

2

sgn

x

A x

x

. 

x

1 

x

n 

u = +А 

u = –А 

Рис. 13.11. Определение линии переключений  

к примеру 13.5 

Оптимальный закон управления следующий: 

0

2

1

1

sgn

2

sgn

u

A

x

A x

x

. 

Теперь изменим направление движений на противоположное, т. е. вер-

немся к обычному времени (рис. 13.12). 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

458 

x

1 

x

2

u = –А 

u = +А 

X

1

(0) 

X

3

(0)    

X

4

(0) 

X

2

(0) 

Рис. 13.12. Оптимальные траектории  

движения из различных начальных условий

Оптимальные траектории движения системы  представляют собой  уча-

стки парабол (рис. 13.12). Если начальная точка не принадлежит линии пе-

реключений, то в системе может быть только одно переключение управле-

ния  (точки  X

1

(0),  X

2

(0)  и  X

4

(0)).  Переключений  не  будет  совсем,  если 

начальная  точка  находится  на  линии  переключений  (начальные  условия 
X

3

(0)). 

13.6. СУБОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

Субоптимальными  будем  называть  системы,  которые  близки  по 

свойствам к оптимальным с заданной точностью. Точность приближе-
ния к оптимальной системе определяется соотношением 

0

0

100 %

J

J

J

,  

(13.49) 

где  J  – критерий, соответствующий субоптимальной системе. 

Такую  систему  получают  в  результате  либо  аппроксимации  опти-

мального  закона  управления,  либо  искусственного  ограничения  рабо-
чей области пространства состояний. 

Рассмотрим релейный оптимальный закон управления 

0

sgn

( )

u

U

S x . 

13.6

. Субоптимальные системы 

459 

Поверхность переключения сложной конфигурации можно аппрок-

симировать, например, следующим образом: 

1 1

( )

n n

S x

c x

c x



,  

(13.50) 

представить в виде совокупности функций 

1

( )

( )

( )

n

S x

f x

f

x



(13.51) 

или  аппроксимировать каким-либо  другим  способом.  При  этом  будут 
получаться субоптимальные системы, с различной степенью точности 
близкие к оптимальным. 

Обсудим особенности субоптимальных систем на примере. 

ПРИМЕР  13.6 

Рассмотрим оптимальную по быстродействию систему (см. пример 13.5) 

и аппроксимируем линию переключения прямой (рис. 13.13). 

Уравнение реальной линии переключения имеет вид 

p

2

1

( )

S

x

x

Kx

. 

x

2 

x 

1

И

д

е

а

л

ь

н

а

я

л

и

н

и

я

п

е

р

е

к

л

ю

ч

е

н

и

я

Р

е

а

л

ь

н

а

я

л

и

н

и

я

п

е

р

е

к

л

ю

ч

е

н

и

я

X

1

(

0

)

X

2

(

0

)

X

3

(

0

)

Идеальная линия 

переключения 

Реальная линия 

переключения 

X

1

(0) 

X

2

(0)  X

3

(0) 

x

1 

Рис. 13.13. Фазовый портрет субоптимальной системы к примеру 13.6

Процессы  в  субоптимальной  системе  будут  существенно  зависеть  от 

начальных условий. Так, при движении из X

1

(0) изображающая точка сис-

темы попадает на реальную линию переключений 

p

( )

S

x

, а затем движется 

вдоль нее в скользящем режиме. 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

460 

Из начальных условий X

2

(0) изображающая точка системы будет попа-

дать  в точку  пересечения идеальной и реальной  линий переключения и  к 

началу  координат  будет  двигаться  по  соответствующему  участку  идеаль-

ной линии переключений, т. е. по оптимальной траектории. 

При движении из  X

3

(0) изображающая точка системы  будет доходить 

до 

p

( )

S

x

, переключаться на траекторию, соответствующую другому знаку 

управления, вновь попадать на реальную линию переключений и двигать-

ся вдоль нее в скользящем режиме. 

Таким  образом,  в  субоптимальной  системе  могут  быть  строго  опти-

мальные процессы, только если из начальных условий изображающая точ-

ка системы  по фазовой траектории попадает в точку пересечения идеаль-

ной и реальной линий переключения. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

С  появлением  рассмотренных  методов  оптимизации  переходных 

процессов в теории автоматического управления возник ряд инженер-

ных методов проектирования. Особенно распространенными стали ре-

лейные  системы  оптимизации  по  быстродействию.  В  начале  главы 

рассмотрен  случай  системы  первого  порядка,  когда  алгоритм  опти-

мального управления практически не зависит от параметров объекта и 

возмущения.  К  сожалению,  этот  случай  крайне  редкий;  в  подавляю-

щем  большинстве  система  автоматики  должна  подавлять  действие 

возмущений,  и  вид  оптимальных  процессов,  а  следовательно,  и  алго-

ритм  управления  зависят  от  возмущений.  При  этом  характер  измене-

ния  самих  возмущений  во  времени  неизвестен.  Это  обстоятельство 

резко  снизило  интерес  инженеров  к  математическим  методам  опти-

мального управления. 

Есть,  однако,  несколько  конкретных  технических  ситуаций,  когда 

возможности математической теории оптимального управления могут 

использоваться  в  полной  мере.  Показательным  примером  может  слу-

жить  задача  автоматического  управления  лифтами  и  подъемниками. 

При  этом  параметры  объекта  (масса  груза)  меняются  от  процесса  

к процессу, а ограниченным является только значение старшей произ-

водной  от  положения  (выходной  величины).  Старшей  производной 

является  ускорение  кабины  лифта  или  какая-либо  его  производная.  

В пассажирских подъемниках они должны быть ограничены условия-

ми комфорта пассажиров, а в грузовых – условиями прочности конст-

рукции (ограничен должен быть рывок).