Файл: Востриков. Основы теории непрерывных и дискретных систем регулирования.pdf

13.4. Принцип максимума Понтрягина 

451 

Запишем гамильтониан быстродействия 

б

1 2

2

1

2

(

2

)

H

x

x

dx

u  

и определим оптимальное управление 

0

2

sgn

u

U

. 

Система  дифференциальных  уравнений  для  сопряженных  координат 

имеет вид 

1

2

1

2

1

2

2

,

2

.

H

x

H

d

x





Ее можно представить в виде одного дифференциального уравнения 

1

1

1

2

0

d





, 

которому соответствует характеристическое уравнение 

2

2

1

0

p

dp

. 

При d   1 его корни 

1

 и 

2

 будут вещественными и положительными, 

следовательно, оптимальное управление принимает вид 

1

2

0

1

2

sgn

t

t

u

U

c e

c e

, 

где 

const,

1, 2

i

c

i

. 

t 

1

t

e

2

t

e

t 

э

к

с

п

о

н

е

н

т

ы

с

у

м

м

а

э

к

с

п

о

н

е

н

т

1

t

e

2

t

e

а   

б 

Рис. 13.9. Иллюстрация теоремы о числе переключений: 

а – одно переключение; б – без переключений; штриховая линия – сумма  

экспонент 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

452 

Сумма двух экспонент может только один раз изменить знак, что со-

ответствует  однократному  переключению  управляющего  воздействия 

(рис. 13.9, а), либо не изменит знака совсем. В последнем случае не будет 

переключений управляющего воздействия (рис. 13.9, б).

13.5. МЕТОД  

ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ 

13.5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

Этот метод применяется для формирования оптимального управле-

ния  в  виде  обратной  связи  в  случае,  когда  управление  носит  разрыв-

ный (релейный) характер. 

Рассматривается  общая  задача  синтеза  оптимальной  системы  для 

объекта (13.1) 

( , ),

,

,

n

m

x

f x u

x

R

u

R

m

n







и переход из произвольных начальных состояний  (0)

x

 в заданные ко-

нечные  ( )

x T



 в соответствии с некоторым критерием оптимальности 

0

0

min

,

u

T

u

J

f

x u d



. 

 (13.42) 

Оптимальный закон управления в этом случае имеет вид 

0

sgn

u

U

S x , 

(13.43) 

где 

m

U

R   –  вектор  максимальных  значений  управления, 

m

S

R   – 

вектор функций, определяющих в пространстве состояний некоторую 

поверхность, которая называется поверхностью переключения [42] 

0

S x

. 

 (13.44) 

Для  определения  этой  поверхности  предварительно  конечная  точка 

«приводится» к началу координат с помощью замены переменных 

( )

x

x

x T

 

. 

(13.45) 

13.5. Метод поверхности переключения 

453 

Затем  в  пространстве состояний  исследуются  траектории  перехода  из 

произвольных  начальных  состояний  (0)

x

  в  конечную  точку ( )

0

x T

. 

На  траекториях  перехода  выделяются  точки,  где  происходит  смена 

знака управления, которые объединяются в поверхность переключения 

( )

0

S x

. 

 (13.46) 

Однако  чтобы  получить  траекторию  перехода  из  начальной  точки 

1

(0)

x

  в  начало  координат  пространства  состояний,  необходимо  также 

задавать в соответствии с принципом максимума и начальные условия 

для  сопряженных  координат  (0) .  Если  эти  начальные  условия  вы-
браны  неудачно,  то  получим  тра-

екторию перехода не в  ( ) 0

x T

, а 

в  произвольную  точку  простран-

ства  состояний.  В  этом  случае 

следует  задать  новые  начальные 

условия  для  сопряженных  коор-

динат 

(0)

  и  вновь  попытаться 

отыскать  траекторию  перехода  в 

начало координат (рис.13.10). 

Для  новой  начальной  точки 

2

(0)

x

  траектория  перехода  в  на-

чало координат также может быть 

получена в результате перебора начальных условий для сопряженных 

координат (рис.13.10). 

Объединяя  точки  переключения  управления  на  всех  траекториях 

перехода  из  произвольных  состояний  в  начало  координат,  можно  по-

лучить поверхность переключения в виде (13.46) или, разрешив урав-
нение (13.46) относительно 

n

x , в следующей форме: 

1

n

x

F x

, 

 (13.47) 

где 

1

x  – «усеченный» вектор состояния (без последней компоненты). 

С учетом (13.47) оптимальный закон управления (13.43) можно за-

писать в виде 

0

1

sgn

n

u

U

x

F x

. 

 (13.48) 

x

n 

x

1

x

2

(0) 

x

1

(0) 

x(Т) 

Рис. 13.10. Иллюстрация построения  

траекторий перехода в начало коор-

динат 

Глава 13. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 

454 

Таким  образом,  метод  поверхности  переключения  позволяет  полу-

чить оптимальный закон управления в виде обратной связи. Однако при 
этом  приходится  рассматривать  две  совокупности  начальных  условий: 
для  переменных  состояния  (0)

x

  и  сопряженных  координат 

(0) ,  что 

существенно затрудняет определение управляющего воздействия. 

13.5.2. МЕТОД ОБРАТНОГО ВРЕМЕНИ 

С  целью  упрощения  задачи  определения  поверхности  переключе-

ния  предлагается  поменять  местами  начальную  (0)

x

  и  конечную 

( )

0

x T

 точки, что в пространстве состояний соответствует движению 

в  обратную  сторону.  Для  динамической  системы это  означает  замену 
времени t на –t. При этом вместо двух совокупностей начальных усло-
вий 

(0);

(0)

x

  нужно  рассматривать  только  одну  – 

(0)

,  так  как 

(0)

0

x

. 

Постановка  задачи  синтеза  оптимальной  системы  в  обратном  вре-

мени формулируется следующим образом. Для объекта 

( , )

x

f x u



с  ограниченным  ресурсом  управления  необходимо  определить  опти-
мальное управление в виде обратной связи, которое обеспечивает пе-
реход из начальной точки  (0) 0

x

 в конечную  ( )

x T

 в соответствии с 

критерием  оптимальности  (13.4).  При  этом  заранее  известно,  что  оп-
тимальное управление имеет релейный характер. 

Отметим,  что  в  этом  случае  необходимо  перебирать  только  одну 

совокупность  начальных  условий 

(0)

.  Причем  каждому  конкрет-

ному значению 

(0)

i

 соответствует оптимальная траектория перехода 

из  заданной  начальной  точки  (0) 0

x

  в  некоторую  конечную 

( )

i

x T .  

В соответствии с методом поверхности переключений в пространст-
ве  состояний  на  траекториях  перехода  выделяются  точки,  где  про-
исходит  смена  знака  управления  и  объединяются  в  поверхность 

1

( )

( )

n

S x

x

F x . 

13.5. Метод поверхности переключения 

455 

В  обычном  времени  следует  изменить  направление  движения  на 

противоположное.  В  результате  находится  оптимальное  управление  в 
виде (13.43) 

0

sgn

u

U

S x

или в форме (13.48). 

ПРИМЕР  13.5 

Рассмотрим процедуру определения оптимального управления методом 

обратного времени для объекта 

2

1

y

u

p

с ограничением на управление 

u

A

. Необходимо перейти из начальной 

точки 

0

x

 в конечную 

0

x T

 с критерием оптимальности 

0

min

u

t

u

J

d . 

Запишем уравнения объекта в переменных состояния 

1

2

2

,

,

x

x

x

u




где 

1

2

,

x

y x

y . 

Поскольку  рассматривается  задача  оптимального  быстродействия,  оп-

тимальное управление носит релейный характер 

0

2

sgn

u

A

. 

Для определения 

0

u

 в виде функции переменных состояния использу-

ем  метод  поверхностей  переключения.  Предварительно  запишем  уравне-
ния объекта в обратном времени 

1

2

2

,

.

x

x

x

u


