Файл: OTIP.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 478

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решая эту систему относительно a0, a1, …, aN в вычислителе, получаем реальные значения параметров прибора, которые подаются на вход ОП, выполняющего операцию обращения функции с использованием величины Y0 и найденных значений параметров. В результате вычисляется более точное значение Y измеряемого сигнала.

На рис. 9.9 изображена схема реализации метода образцовых мер с пространственным разделением каналов.

x

 

 

П1

 

Y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ai

 

 

Y

L1

 

 

П2

Y1

 

 

 

 

 

 

 

B

ОП

 

 

 

 

YN

 

 

 

 

LN

 

 

ПN+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9.9. Схема реализации метода образцовых мер с пространственным разделением каналов

Схема включает в себя N + 1 прибор и вычислитель, в котором решается система (9.25). Этот вариант метода используется для одновременного определения всех параметров. В этом отличие от первого его варианта, где вначале необходимо ключом последовательно подключить входной сигнал x и «образцовые меры», а затем вычислить параметры.

9.4.3. Метод тестовых сигналов

Этот метод аналогичен методу образцовых мер с той разницей, что вместо «образцовых мер» L1, L2, …, LN на вход прибора (приборов – во втором варианте) подаются «сигналы–тесты» Z1(x), Z2(x), …, ZN(x), являющиеся функциями измеряемого сигнала x. В результате «набирается» система N + 1 линейных алгебраических уравнений:

a

0

+ a x +... + a

N

xN =Y ;

 

 

 

 

1

 

0

 

(9.26)

∑a Z k (x) =Y ,

i =1, N.

N

 

k i

i

 

 

 

 

 

k =

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему (9.26) относительно ak , k = 0, N , получаем реальные значения

параметров, а затем, подставляя эти параметры в первое уравнение системы (9.26) и решая его относительно x, получаем более точную величину измеряемого сигнала.

9.5. Повышение точности путем использования избыточной информации

Рассмотрим измерительную систему, состоящую из n приборов, соединенных по схеме, изображенной на рис. 9.10.

132

 

 

 

 

П1

 

Y0

 

λ1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

Y1

 

 

 

 

 

X

 

 

П2

 

λ2

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пn Yn λn

Рис. 9.10. Схема реализации метода использования избыточной информации

Задача заключается в определении значений величин доставляющих минимальное значение критерию F

o 2

~ 2

].

F = M [( X )

] = M [( X − X )

Согласно схеме, имеет место равенство

~ = ∑n λi i .

X Y

i=1

λ1, λ2, …, λn,

(9.27)

(9.28)

Подставив (9.28) в (9.27), получим

F = M

( X −

n

 

 

.

(9.29)

∑λ Y )2

 

 

i

 

i

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

Сигнал на выходе прибора номер i

имеет вид

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

Yi = x +Y i ,

i =

1, n

,

(9.30)

o

 

 

сигнала,

представляющая собой

где Y i – погрешность выходного

центрированную случайную величину (ЦСВ), x – точное значение измеряемого сигнала.

Необходимые и достаточные условия минимума функции F по λk есть

 

 

∂F

= 0, k =

 

.

(9.31)

 

1, n

 

 

 

∂λk

 

Подставляя (9.29) в (9.31) и выполняя операцию взятия частной производной, получаем уравнения

 

 

n

 

n

∂λ

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 , k =1, n .

 

M

 

2( X − ∑

λ Y ) ∑

 

 

Y

 

(9.32)

 

 

 

 

 

i=1

i

i

∂λk

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

∂λ

i

0, если i ≠ k

 

 

 

= δik =

 

,

 

∂λk

 

1, если i = k

 

где δik – символ Кронекера, то

n

∂λ

i

 

n

 

 

∑

 

Y

= ∑δ

Y

=Y .

∂λk

i=1

i

i=1

ik i

k

(9.33)

(9.34)

133

Использовав (9.34), перепишем (9.32)

∑n

M [Y Y

]λ

= M [XY ], k =

 

.

1, n

i=1

k i

i

k

 

 

 

 

 

Введем обозначения для корреляционных моментов:

~

~

Y ki = M [YkYi ];

Pk = M [XYk ].

Запишем (9.35) с учетом (9.36)

 

∑n ~ λ = ~ =

Y ki i Pk , k 1, n . i=1

(9.35)

(9.36)

(9.37)

Решив систему (9.37) относительно доставляющие минимум критерию (9.29).

Найдем эффект повышения точности:

f =F0 Fk

λi, получим искомые величины,

.

(9.38)

где F0 – величина критерия без использования избыточной информации; Fk –

минимальная величина с использованием избыточной информации. Очевидно, что

~

2

(9.39)

F0 = X

= M [(X ) ].

Найдем Fk , для чего представим (9.29) в следующем эквивалентном виде:

F = M X 2 − X ∑λ Y

− X ∑λ

Y

+ ∑ ∑λ λ Y Y

 

n

n

 

n n

 

 

i i

k

k

i

k i k

 

i=1

k =1

 

i=1k =1

 

или

F = M

 

n

 

n

(Y Y

)λ

 

− XY

 

+ X 2

n

λ

 

.

 

∑λ

k

∑

i

 

− ∑ XY

i

 

 

i =1

i k

 

k

 

 

i

 

 

 

k =1

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

Учитывая обозначения (9.36), (9.39), перепишем (9.40)

n

n

~

~

~

n

~

λi .

F = ∑λk ∑Y kiλi −Pk

+ X

− ∑Pi

k =1

i=1

 

 

 

i=1

 

 

(9.40)

(9.41)

Согласно условию (9.37) минимума функции F, выражение в фигурных скобках (9.41) равно нулю, а значит

~

n

~

λi .

(9.42)

Fk = X

− ∑Pi

 

i=1

 

 

 

где λi определяются из уравнений (9.37). Подставив (9.39), (9.42) в (9.38), получим

~

~

n ~

λ

 

(9.43)

f = X

X

− ∑P

 

 

 

i=1 i

i

 

 

или

 

 

 

 

 

 

f =1 (1− q) ,

 

(9.44)

134

где

n ~

λi

~

(9.45)

q = ∑Pi

X .

i=1

 

 

 

Видно, что если 0 < q < 1, то f > 1.

 

 

 

Представим измеряемый сигнал в виде

 

 

 

 

o

(9.46)

X = x + X ,

o

где x – точное значение; X – погрешность, являющаяся ЦСВ. Подставив (9.46), (9.30) в (9.36), получим

~

 

o

 

 

 

o

~

= M

 

 

o

 

o

(9.47)

Y ki = M

x +Y k x +Y i ,

Pk

x +

X

x +Y k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раскроем скобки в (9.47) и запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

2

+Y ki ,

~

= x

2

+Pk ,

 

 

 

 

(9.48)

 

 

Y ki = x

 

Pk

 

 

 

 

 

o

 

 

 

o

 

= 0 и что M [x2 ] = x2

 

и введены обозначения:

где учтено, что M [ Y k ] = 0 ,

M [X ]

 

 

 

Y ki

= M

o

o

 

 

 

o o

 

 

.

 

(9.49)

 

 

Y k Y i ,

Pk = M X Y k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив (9.48) в (9.37), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(x2 +Y ki )λi = x2 +Pk

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

= x2 +Pk .

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 ∑λi + ∑Y kiλi

 

 

 

 

(9.50)

 

 

 

i=1

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потребуем выполнения условия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑λi =1,

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.51)

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при котором система (9.50) будет эквивалентна системе

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Y kiλi =Pk ,

k =

1, n

.

 

 

 

(9.52)

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Систему уравнений (9.52) необходимо решать совместно с уравнением (9.51), для чего следует одно из уравнений (9.52) отбросить.

o

o

В частном случае, характеризуемым некоррелированностью Y i ,

Y k друг с

другом, получим

 

Y ki =Y i δki ,

(9.53)

135

где δki – символ Кронекера (9.33); Y i – дисперсия выходного сигнала Yi прибора номер i. После подстановки (9.53) в (9.52) имеем

Y k λk =Pk ,

k =

 

 

 

 

(9.54)

1, (n −1),

откуда

 

 

 

 

 

 

λk =Pk Y k ,

k =

 

 

(9.55)

1, (n −1).

Подставив (9.55) в (9.51) и решив полученное уравнение относительно λn, получим

 

 

 

 

 

 

 

λn

=1− n∑−1(Pi Yi ).

 

 

 

 

 

 

(9.56)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив (9.46) в (9.39), получим

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

2

+ X

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.57)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

M [x2 ] = x2 и обозначено

 

 

 

 

 

 

где учтено, что M [X ] = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.58)

 

 

 

 

 

 

 

 

X = M ( X )2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из (9.48) в (9.45), получим

 

Подставив (9.57) и выражение для Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑n (x2 +P )λ

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q =

i=1

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.59)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или с учетом (9.51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑P λ

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q =

 

 

i=1

 

i

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(9.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Использовав (9.55), (9.56), найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

Pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

∑P

λ

i

= ∑P

λ

i

+P

n

λ

n

= ∑P

 

 

 

+P

 

1− ∑

Pi

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

i

Y i

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

i =1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1Y i

 

 

 

 

 

= n∑−1

Pi

2

+P −P

n∑−1Pi

 

=P + n∑−1Pi

(P −P

 

).

(9.61)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1 Yi

 

n

 

 

 

 

n i=1Y i

 

 

 

 

n

 

 

 

 

i=1Yi

i

 

n

 

 

Из (9.44) видно, что эффект существует, если

0 < q < 1.

Использовав

(9.60),

составим неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

q < 1 ~ x2 + ∑Pi λi < x2 + X

i=1

или

n

∑Pi λi < X . (9.62)

i=1

136

Смотрите также файлы