Решая эту систему относительно a0, a1, …, aN в вычислителе, получаем реальные значения параметров прибора, которые подаются на вход ОП, выполняющего операцию обращения функции с использованием величины Y0 и найденных значений параметров. В результате вычисляется более точное значение Y измеряемого сигнала.
На рис. 9.9 изображена схема реализации метода образцовых мер с пространственным разделением каналов.
x |
|
|
П1 |
|
Y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai |
|
|
Y |
L1 |
|
|
П2 |
Y1 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
ОП |
|
|
|
|
YN |
|
|
|
|
LN |
|
|
ПN+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.9. Схема реализации метода образцовых мер с пространственным разделением каналов
Схема включает в себя N + 1 прибор и вычислитель, в котором решается система (9.25). Этот вариант метода используется для одновременного определения всех параметров. В этом отличие от первого его варианта, где вначале необходимо ключом последовательно подключить входной сигнал x и «образцовые меры», а затем вычислить параметры.
9.4.3. Метод тестовых сигналов
Этот метод аналогичен методу образцовых мер с той разницей, что вместо «образцовых мер» L1, L2, …, LN на вход прибора (приборов – во втором варианте) подаются «сигналы–тесты» Z1(x), Z2(x), …, ZN(x), являющиеся функциями измеряемого сигнала x. В результате «набирается» система N + 1 линейных алгебраических уравнений:
a |
0 |
+ a x +... + a |
N |
xN =Y ; |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
(9.26) |
∑a Z k (x) =Y , |
i =1, N. |
N |
|
k i |
i |
|
|
|
|
|
k = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему (9.26) относительно ak , k = 0, N , получаем реальные значения
параметров, а затем, подставляя эти параметры в первое уравнение системы (9.26) и решая его относительно x, получаем более точную величину измеряемого сигнала.
9.5. Повышение точности путем использования избыточной информации
Рассмотрим измерительную систему, состоящую из n приборов, соединенных по схеме, изображенной на рис. 9.10.
Пn Yn λn
Рис. 9.10. Схема реализации метода использования избыточной информации
Задача заключается в определении значений величин доставляющих минимальное значение критерию F
o 2 |
~ 2 |
]. |
F = M [( X ) |
] = M [( X − X ) |
Согласно схеме, имеет место равенство
~ = ∑n λi i .
X Y
i=1
λ1, λ2, …, λn,
(9.27)
(9.28)
Подставив (9.28) в (9.27), получим
F = M |
( X − |
n |
|
|
. |
(9.29) |
∑λ Y )2 |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
Сигнал на выходе прибора номер i |
имеет вид |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
Yi = x +Y i , |
i = |
1, n |
, |
(9.30) |
o |
|
|
сигнала, |
представляющая собой |
где Y i – погрешность выходного |
центрированную случайную величину (ЦСВ), x – точное значение измеряемого сигнала.
Необходимые и достаточные условия минимума функции F по λk есть |
|
|
∂F |
= 0, k = |
|
. |
(9.31) |
|
1, n |
|
|
|
∂λk |
|
Подставляя (9.29) в (9.31) и выполняя операцию взятия частной производной, получаем уравнения
|
|
n |
|
n |
∂λ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 , k =1, n . |
|
M |
|
2( X − ∑ |
λ Y ) ∑ |
|
|
Y |
|
(9.32) |
|
|
|
|
|
i=1 |
i |
i |
∂λk |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
∂λ |
i |
0, если i ≠ k |
|
|
|
= δik = |
|
, |
|
∂λk |
|
1, если i = k |
|
где δik – символ Кронекера, то
|
n |
∂λ |
i |
|
n |
|
|
|
∑ |
|
Y |
= ∑δ |
Y |
=Y . |
|
∂λk |
|
i=1 |
i |
i=1 |
ik i |
k |
Использовав (9.34), перепишем (9.32)
∑n |
M [Y Y |
]λ |
= M [XY ], k = |
|
. |
1, n |
i=1 |
k i |
i |
k |
|
|
|
|
|
Введем обозначения для корреляционных моментов:
~ |
~ |
Y ki = M [YkYi ]; |
Pk = M [XYk ]. |
Запишем (9.35) с учетом (9.36) |
|
∑n ~ λ = ~ =
Y ki i Pk , k 1, n . i=1
Решив систему (9.37) относительно доставляющие минимум критерию (9.29).
Найдем эффект повышения точности:
f =F0 Fk
λi, получим искомые величины,
где F0 – величина критерия без использования избыточной информации; Fk –
минимальная величина с использованием избыточной информации. Очевидно, что
~ |
2 |
(9.39) |
F0 = X |
= M [(X ) ]. |
Найдем Fk , для чего представим (9.29) в следующем эквивалентном виде:
F = M X 2 − X ∑λ Y |
− X ∑λ |
Y |
+ ∑ ∑λ λ Y Y |
|
n |
n |
|
n n |
|
|
i i |
k |
k |
i |
k i k |
|
i=1 |
k =1 |
|
i=1k =1 |
|
или
F = M |
|
n |
|
n |
(Y Y |
)λ |
|
− XY |
|
+ X 2 |
n |
λ |
|
. |
|
∑λ |
k |
∑ |
i |
|
− ∑ XY |
i |
|
|
i =1 |
i k |
|
k |
|
|
i |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
Учитывая обозначения (9.36), (9.39), перепишем (9.40)
n |
n |
~ |
~ |
~ |
n |
~ |
λi . |
F = ∑λk ∑Y kiλi −Pk |
+ X |
− ∑Pi |
k =1 |
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
|
Согласно условию (9.37) минимума функции F, выражение в фигурных скобках (9.41) равно нулю, а значит
~ |
n |
~ |
λi . |
(9.42) |
Fk = X |
− ∑Pi |
|
i=1 |
|
|
|
где λi определяются из уравнений (9.37). Подставив (9.39), (9.42) в (9.38), получим
~ |
~ |
n ~ |
λ |
|
(9.43) |
f = X |
X |
− ∑P |
|
|
|
i=1 i |
i |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
f =1 (1− q) , |
|
(9.44) |
где
n ~ |
λi |
~ |
(9.45) |
q = ∑Pi |
X . |
i=1 |
|
|
|
Видно, что если 0 < q < 1, то f > 1. |
|
|
|
Представим измеряемый сигнал в виде |
|
|
|
|
o |
(9.46) |
X = x + X , |
o
где x – точное значение; X – погрешность, являющаяся ЦСВ. Подставив (9.46), (9.30) в (9.36), получим
~ |
|
o |
|
|
|
o |
~ |
= M |
|
|
o |
|
o |
(9.47) |
Y ki = M |
x +Y k x +Y i , |
Pk |
x + |
X |
x +Y k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раскроем скобки в (9.47) и запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
2 |
+Y ki , |
~ |
= x |
2 |
+Pk , |
|
|
|
|
(9.48) |
|
|
Y ki = x |
|
Pk |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
o |
|
= 0 и что M [x2 ] = x2 |
|
и введены обозначения: |
где учтено, что M [ Y k ] = 0 , |
M [X ] |
|
|
|
Y ki |
= M |
o |
o |
|
|
|
o o |
|
|
. |
|
(9.49) |
|
|
Y k Y i , |
Pk = M X Y k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (9.48) в (9.37), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(x2 +Y ki )λi = x2 +Pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
= x2 +Pk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ∑λi + ∑Y kiλi |
|
|
|
|
(9.50) |
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потребуем выполнения условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑λi =1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.51) |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при котором система (9.50) будет эквивалентна системе |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Y kiλi =Pk , |
k = |
1, n |
. |
|
|
|
(9.52) |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Систему уравнений (9.52) необходимо решать совместно с уравнением (9.51), для чего следует одно из уравнений (9.52) отбросить.
o |
o |
В частном случае, характеризуемым некоррелированностью Y i , |
Y k друг с |
другом, получим |
|
Y ki =Y i δki , |
(9.53) |
где δki – символ Кронекера (9.33); Y i – дисперсия выходного сигнала Yi прибора номер i. После подстановки (9.53) в (9.52) имеем
Y k λk =Pk , |
k = |
|
|
|
|
(9.54) |
1, (n −1), |
откуда |
|
|
|
|
|
|
λk =Pk Y k , |
k = |
|
|
(9.55) |
1, (n −1). |
Подставив (9.55) в (9.51) и решив полученное уравнение относительно λn, получим
|
|
|
|
|
|
|
λn |
=1− n∑−1(Pi Yi ). |
|
|
|
|
|
|
(9.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (9.46) в (9.39), получим |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
2 |
+ X |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.57) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
M [x2 ] = x2 и обозначено |
|
|
|
|
|
|
где учтено, что M [X ] = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.58) |
|
|
|
|
|
|
|
|
X = M ( X )2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из (9.48) в (9.45), получим |
|
Подставив (9.57) и выражение для Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑n (x2 +P )λ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
i=1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.59) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом (9.51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑P λ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = |
|
|
i=1 |
|
i |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
(9.60) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использовав (9.55), (9.56), найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
∑P |
λ |
i |
= ∑P |
λ |
i |
+P |
n |
λ |
n |
= ∑P |
|
|
|
+P |
|
1− ∑ |
Pi |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
Y i |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1Y i |
|
|
|
|
|
= n∑−1 |
Pi |
2 |
+P −P |
n∑−1Pi |
|
=P + n∑−1Pi |
(P −P |
|
). |
(9.61) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 Yi |
|
n |
|
|
|
|
n i=1Y i |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
i=1Yi |
i |
|
n |
|
|
Из (9.44) видно, что эффект существует, если |
0 < q < 1. |
Использовав |
(9.60), |
составим неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
q < 1 ~ x2 + ∑Pi λi < x2 + X
i=1
или
n
∑Pi λi < X . (9.62)
i=1