Файл: OTIP.pdf

При x = 0, т. е. когда точное значение измеряемого сигнала должно быть нулевым, получим выражение (9.45) в виде

Алгоритм точностного анализа при допущениях: о некоррелированности Y i ,

o

Y k друг с другом и о том, что x = 0, т. е. точный измеряемый сигнал должен быть равен нулю, представляет операции:

0) задать:

Если эффект удовлетворителен (f > 1), то реализовать схему согласно рис. 9.10.

9.6. О синтезе измерительных приборов

Одной из основных задач проектирования приборов является задача синтеза, предполагающая выбор структуры и параметров, которые в определенном смысле должны быть оптимальными, т. е. при которых характеристики приборов наименее уклоняются от требуемых характеристик. Задача синтеза структуры и параметров прибора заключается в сравнении реального прибора с идеальным в смысле некоторого критерия.

В качестве переменных, характеризующих близость реальной системы к идеальной, примем разность результатов измерений

137

где Y, Yo – в общем случае матрицы-столбцы выходных сигналов соответственно реального и идеального приборов.

Уравнения движения идеального и реального приборов представим в матричной форме:

где X – матрица-столбец входных сигналов (измеряемых величин); Z – матрицастолбец возмущений; Ao, Bo, A, B, C – прямоугольные матрицы коэффициентов. Вычтем уравнение (9.67) из уравнения (9.68) и после преобразований имеем

Присоединив к уравнению (9.69) уравнение (9.67) и решив полученную систему уравнений относительно переменных Y – погрешностей реального прибора, получим эти переменные в виде функций времени.

В качестве количественного критерия близости реального и идеального приборов примем функционал вида

где Т – время измерения; Y& ТQ Y& – квадратичная форма производных Y& ; YТP Y – квадратичная форма переменных Y; Q, P – квадратные матрицы

весовых коэффициентов.

Функционал (9.70) зависит от параметров системы. Минимизируя его по параметрам, найдем решение поставленной задачи синтеза.

Оптимизацию структуры и параметров целесообразно проводить после решения задач повышения точности, когда скомпенсированы методические и некоторые инструментальные погрешности. Оставшиеся нескомпенсированными погрешности следует минимизировать путем соответствующего выбора параметров приборов.

9.7. Синтез приборов по критерию минимума погрешности приближения

Постановка задачи. Математическая формулировка условий выбора параметров прибора при точностном синтезе по критерию минимума

должны обеспечивать наименьшее отклонение этой функции от нуля в заданном диапазоне входного воздействия x [a, b], где a и b – нижний и верхний пределы

входного сигнала соответственно.

138

Решение такой задачи даже для сравнительно простых объектов точными методами является весьма трудоемким. Поэтому на практике обычно пользуются приближенными методами.

Возможны два подхода к решению поставленной задачи.

Первый подход заключается в последовательном рассмотрении различных комбинаций значений параметров, с расчетом для каждого из них максимального значения погрешности приближения. Выбирается тот набор параметров, при котором максимальное значение погрешности является минимальным. Найденные параметры с точностью до шага дискретизации при их задании можно считать оптимальными по критерию минимума погрешности приближения. Решение задачи рассмотренным способом возможно только с использованием компьютера, поскольку требует огромного объема вычислительных операций.

Второй подход заключается в аналитическом определении оптимальных параметров с использование полиномов Чебышева. В основе его лежат следующие теоретические положения.

• Функция преобразования измерительных приборов, как правило, характеризуется плавным изменением и непрерывностью в диапазоне преобразования. Такими же свойствами обладает и функция погрешности, которая является дифференцируемой в рассматриваемом диапазоне и с любой степенью точности может быть представлена в виде полинома степени n. То есть всегда найдется многочлен достаточно высокой степени n, который будет отличаться от функции yсх(x, q) на сколь угодно малую наперед заданную

величину.

• П.Л. Чебышевым доказано, что среди всех степенных полиномов вида y = Co +C1x +C1x2 +... +Cn xn степени n с коэффициентом при xn , равным 1, наименее уклоняющимся от нуля в интервале [– 1; 1] является многочлен

• Если внутренние параметры объекта обеспечат совпадение функции погрешности с полиномом Чебышева соответствующей степени, то функция погрешности окажется наименее уклоняющейся от нуля, а ее максимум примет минимально возможное значение, тем самым задача параметрического синтеза будет решена.

Таким образом, задача синтеза по критерию минимума погрешности приближения сводится к расчету значений параметров q = {q1, q2 , ..., qN }, при

которых функция yсх (x, q) с наперед заданной степенью точности совпадает с функцией Pn (x) или Rn (x) .

139

Полиномы Чебышева. В табл. 9.1 и 9.2 приведены аналитические выражения и основные характеристики полиномов Чебышева для значений n от 2 до 5, а на рис. 9.11 и 9.12, соответственно, графики этих полиномов. Из графиков видно, что функции попеременно уклоняются от нуля вверх и вниз на одну и ту же величину, причем эти отклонения имеют место в n + 1 точках, включая границы диапазона. С увеличением n максимальное отклонение уменьшается.

Таблица 9.1

Характеристики полиномов Чебышева Pn (x)

Рис. 9.11. Функции Pn (x) в пределах [– 1; 1]

Выбрав показатель степени полинома n и приравняв функцию погрешности соответствующему полиному, можно рассчитать значения внутренних параметров. Однако для этого необходимо, чтобы диапазон изменения входной величины соответствовал диапазону определения полинома Чебышева. В общем случае эти диапазоны не совпадают. Необходимо осуществить замену переменной, входящей в функцию погрешности.

Пусть измеряемая величина изменяется в диапазоне от a до b. Чтобы реализовать полином Чебышева Pn (x) для указанного диапазона, необходимо

140