Файл: OTIP.pdf

Так, например, пусть x изменяется в пределах от a = – 0,4 до b = 0,4. Перейдем к переменной t, изменяющейся от – 1 до + 1:

t = (2x −(−0,4) −0,4)[0,4 −(−0,4)]= 2x0,8 = x0,4 .

Таблица 9.2

Характеристики полиномов Чебышева Rn (x)

Рис. 9.12. Функции Rn (x) в пределах [0; 1]

Для полинома Rn (x) замена переменных осуществляется по формуле

производится по формуле t = x0,4 .

Применение полиномов того или иного вида при точностном синтезе обусловлено их спецификой. Полиномы Pn (x) определены в области входных

воздействий [– 1; + 1], поэтому их применение наиболее целесообразно при синтезе средств, реализующих относительные измерения. При этом полиномы

141

нечетных степеней (n = 3; 5; …) имеют нулевые корни, а полиномы четных степеней (n = 2; 4; …) в середине диапазона имеют наибольшее отклонение. Полиномы Rn (x) независимо от степени имеют нулевые корни, однако

определены в области [0; + 1]. Для объектов с симметричным диапазоном

Рис. 9.13. Функции Qn (x) в пределах [– 1; 1]

Алгоритм синтеза. При синтезе параметров измерительных приборов по критерию минимума погрешности приближения необходимо выполнить следующие операции.

1.Составить математическое описание объекта проектирования и получить аналитическое выражение для погрешности схемы.

2.Определить допускаемое значение погрешности приближения.

Допускаемое значение yсх выбирается с учетом назначения измерительного

прибора и требуемой его точности. Следует помнить, что погрешность приближения является лишь составляющей полной погрешности y, поэтому

142

следует обеспечить запас по точности на другие составляющие. Рекомендуется соотношение

где y – допускаемое значение полной погрешности.

3. Выбрать вид полинома Чебышева.

Выбор вида полинома осуществляется на основе анализа вида расчетной характеристики, диапазона изменения входного воздействия, характеристики отсчетного устройства и т. п. Если прибор предназначен для относительных измерений при симметричных пределах и расположении нуля в середине диапазона, то для точностного синтеза рекомендуются полиномы Pn (x) с

нечетными степенями или Qn (x) со степенями n = 4; 6. Если ноль находится в начале шкалы, то предпочтительными являются полиномы Rn (x) .

4. Определить наименьшую степень полинома.

Степень полинома должна обеспечивать идентичность вида функции погрешности в рассматриваемом диапазоне виду полинома Чебышева, поэтому целесообразно вначале определиться с видом функции погрешности. Следует проанализировать функцию погрешности, построить ее график в исследуемом диапазоне, сравнить этот график с графиками полиномов Чебышева, определиться с ожидаемым количеством корней этой функции в диапазоне.

На практике на первом этапе синтеза рекомендуется выбирать n = 2 или n = 3, а затем уточнять его. Увеличение n приводит в общем случае к повышению точности расчета, а значит, к увеличению точности измерительного прибора. Однако чрезмерное повышение n приводит к существенному росту сложности расчетов. Поэтому необходимо брать наименьшее значение степени n, обеспечивающее предельную погрешность приближения.

5. Выполнить замену переменной.

Замену переменных проводят в соответствии с выражениями (9.73) для полиномов Pn (x) и Qn (x) или (9.74) для полиномов Rn (x) .

6. Определить оптимальные значения параметров.

Этот этап является основным. Необходимо определить значения внутренних параметров объекта, обеспечивающие идентичность функции погрешности выбранному полиному Чебышева. Данная задача решается приближенными методами, при этом в зависимости от требуемой точности и сложности объекта можно воспользоваться разными подходами.

• Первый подход основывается на положении о том, что два многочлена степени n считаются равными, если равны их коэффициенты при аргументах в соответствующих степенях. Алгоритм реализации этого подхода:

– аналитическое выражение для погрешности приближения разложить в ряд по степеням аргумента;

143

–приравнять числовые коэффициенты полиномов Чебышева (табличные данные) коэффициентам ряда (с буквенными обозначениями параметров) при

xв соответствующих степенях, получить систему n уравнений;

–решить полученную систему n уравнений относительно неизвестных {q1, q2 , ..., qN }. Максимальное число неизвестных параметров

qs , s =1, N , которые можно найти, решая систему уравнений, равно степени

полинома n. Число параметров N может отличаться от n. Если N < n, то учитывают не все коэффициенты, а лишь N коэффициентов при больших степенях аргумента. Если N > n, то ряд параметров qs выбирают из

конструктивных соображений, оставляя в качестве неизвестных не более n параметров.

Этот подход является наиболее достоверным, но и более трудоемким.

• В основу второго подхода положено предположение о том, что два многочлена степени n считаются равными, если равны их корни. Алгоритм реализации этого подхода:

–из таблиц для выбранного типа полинома с учетом n определить корни полинома Чебышева;

–подставить значения корней в функцию погрешности и приравнять ее к нулю, получить систему n уравнений с неизвестными (число уравнений может быть меньше n, если требуется определить меньшее количество неизвестных параметров qs );

–решить полученную систему относительно неизвестных параметров qs .

Второй подход является более простым, хотя и менее точным.

• Наиболее простой третий подход позволяет получить удовлетворительные результаты для сравнительно простых измерительных приборов с нелинейными характеристиками. В основу положено разложение функции погрешности в ряд (как и в первом варианте) и приравнивание нулю коэффициентов при аргументах в степени, большей 1. Алгоритм реализации:

–аналитическое выражение для погрешности приближения разложить в ряд по степеням аргумента;

–коэффициенты при аргументах в степенях, больших 1, приравнять 0 и получить систему N уравнений;

–решить систему относительно N неизвестных параметров qs , s =1, N .

7.Определить максимальное значение погрешности приближения, проверить эффективность синтеза.

Максимальное значение погрешности yсх max определяют из полученного аналитического выражения для yсх и найденных оптимальных значений параметров путем вычисления значения погрешности в точках, соответствующих точкам наибольшего отклонения полиномов xi* (см. табл. 9.1, 9.2, 9.3).

Следует отметить, что представление функции погрешности в виде полинома Чебышева является приближенным. Поэтому для более точного определения

144

максимального значения погрешности приближения следует, исследовав полученную функцию погрешности на экстремум, уточнить значения xi* . Можно

также определить максимальное значение погрешности, построив ее функцию на всем диапазоне преобразования с заданным шагом аргумента.

высокое значение степени полинома Чебышева и проводят уточняющий расчет.

Примеры синтеза

Пример 9.1. Синусный рычажно-зубчатый преобразователь.

Определить оптимальное значение длины рычага q прибора (см. рис. 5.3) при следующих исходных данных: граничные значения диапазона измерений a = – 0,4 мм; b = 0,4 мм; цена деления шкалы c = 0,01 мм; число делений шкалы Zшк = 80; угол шкалы Θшк = 2π3.

1. Пользуясь выражением для расчетной характеристики прибора (5.14) и учитывая, что заданная характеристика имеет вид: y0 = x , запишем

аналитическое выражение для погрешности приближения

2. Допускаемое значение погрешности приближения определим согласно

(9.75)

yсх ≈ 0,1 y = 0,1c = 0,001 мм.

3.Анализируя схему прибора и принимая во внимание симметричность диапазона измерений, воспользуемся для синтеза полиномом Чебышева Pn (x) .

4.Степень полинома примем равной n = 3, P3(x) = x3 −0,75x .

5.Заменим переменную согласно формуле (9.73)

t= (2x − a − b)(b − a)= (2x + 0,4 −0,4)[0,4 + 0,4]= x0,4 .

6.Определим оптимальные значения параметров.

Из конструктивных соображений примем отношение чисел зубцов соответствующих шестерен z1 z2 =10 и найдем оптимальное значение длины

рычага q. Воспользуемся вторым из рассмотренных подходов, в котором используются значения корней полиномов.

Из табл. 9.1 определим корень полинома третьей степени (неизвестный параметр один, поэтому необходим только один корень). Их трех корней 0 не может применяться, поскольку полином P3(x) при нулевом аргументе независимо

от q всегда обращается в нуль. Воспользуемся значением xk = 0,8660. Подставим корень в функцию погрешности и приравняем ее к нулю

145