Файл: OTIP.pdf

Решая полученное уравнение относительно q, найдем оптимальное значение qопт1:

qопт1 = 3,8248 мм.

7. Определим максимальное значение погрешности при найденном qопт1, выберем xi* =1

Поскольку yсх max < yсх , расчет можно считать завершенным.

Аналогичные расчеты, выполненные для полинома второй степени, дают результат qопт2 = 3,8232 мм, при этом максимальное значение погрешности 0,37·10–3 мм, что также является вполне удовлетворительным результатом.

Пример 9.2. Электрический термометр.

При построении термисторного термометра согласно схеме, представленной на рис. 9.14, необходимо определить параметры измерительной цепи, обеспечивающие минимальную погрешность приближения при работе прибора в

диапазоне T [20; 70] oC.

Рис. 9.14. Схема электрического термометра

Из анализа априорной информации и принципиальной схемы прибора устанавливаем, что он включает в себя три последовательно соединенные преобразователя: полупроводниковый термометр сопротивления (термистор), преобразующий температуру T в сопротивление RТ; неуравновешенный измерительный мост, преобразующий RТ в силу тока I в измерительной диагонали; микроамперметр PA, отградуированный в единицах температуры и имеющий равномерную шкалу. Заданная характеристика является линейной:

где Tн – нижний предел измерения; k =1 мкА оС – масштабный коэффициент.

1. Согласно приведенному выше алгоритму определим расчетную характеристику прибора и аналитическое выражение для погрешности приближения. Для этого запишем характеристики преобразователей.

Для термистора по справочным данным имеем

146

где R0 и В – внутренние параметры преобразователя.

Характеристика термистора, таким образом, существенно нелинейная. Ее график для выбранных в качестве примера параметров (В = 80; R0 = 790 Ом)

представлен на рис. 9.15.

Рис. 9.15. Статическая характеристика термистора

Для мостовой схемы (см. рис. 9.14) функция преобразования имеет вид

Видно, что характеристика моста также существенно нелинейная. Следовательно, расчетная характеристика прибора, получаемая путем

подстановки (9.77) в (9.78), является нелинейной, а заданная характеристика – линейная, т. е. имеет место погрешность приближения.

С учетом (9.75) и (9.78) получим выражение для погрешности

следовательно,

T = x (Tв −Tн )+Tн .

Отсюда с учетом исходных данных (Tн = 20 oC; Tв = 70 oC) получим значения переменной T, соответствующие корням xk1, xk2, xk3 полинома Чебышева R3(x) :

147

T1 = Tн = 20o C ;

T2 = 0,4641(Tв −Tн )+Tн = 43,205o C ;

T3 = 0,9282(Tв −Tн )+Tн = 66,41o C .

5. Составим систему трех уравнений, подставляя найденные значения RT i в выражение для погрешности приближения и приравнивая его нулю:

6. Определим значения параметров. Решением полученной системы можно найти только три неизвестных параметра. Из конструктивных соображений принимаем R1 = R2 , сопротивление в диагонали моста с учетом добавочного

резистора и характеристик микроамперметра Rд =1000 Ом.

Из первого уравнения системы получим R3 = RT1 .

Решением системы оставшихся двух уравнений определим неизвестные параметры R1, R2, U: R1 = R2 = 91,44 Ом; U = −1,74 В.

7. Определим функцию погрешности приближения. Расчетная зависимость Iсх (T ) имеет вид, представленный на рис. 9.16. Анализ полученной кривой

показывает, что с учетом знака она соответствует графику полинома Чебышева R3(x) третьей степени (см. рис. 9.12). При этом максимальные значения

погрешности соответствуют координатам точек наибольшего отклонения xi* полинома и не превышают 1,4 мкА.

Рис. 9.16. Зависимость погрешности от температуры

148

Таким образом, даже при такой сложной характеристике прибора при существенной нелинейности используемых преобразователей рассматриваемый метод синтеза параметров весьма эффективен.

9.8. Синтез приборов по критерию минимума математического ожидания погрешности

Математическое ожидание суммарной погрешности представляет собой систематическую составляющую погрешности. При выполнении определенных условий данная составляющая может быть существенно уменьшена, сведена к минимуму, а в ряде случаев и полностью скомпенсирована.

Пусть измерительный прибор имеет погрешность вида

где F(X ,q) – функция преобразования реального прибора (реальная характеристика прибора); Fo ( X ) – функция преобразования идеального прибора (требуемая характеристика); q = {q1, q2 , ..., qn } – параметры реального прибора.

X o

где Ф – интеграл функции математического ожидания погрешности прибора в диапазоне измерения прибора [ Xo , X* ] .

Задача заключается в определении параметров q1, q2 , ..., qn прибора,

доставляющих минимум критерию (9.80).

Исследуя функцию (9.80) на экстремум, получим необходимые и достаточные условия минимума критерия Ф по переменным q1, q2 , ..., qn

Пример 9.3. В качестве исходной информации заданы: F( X , a, b) = a + bX 2 – квадратичная функция преобразования прибора; F0 ( X ) = kX – требуемая линейная характеристика; [0, X* ] – диапазон измерения прибора.

Определить значения параметров a и b из условия минимума математического

X *

ожидания погрешности Φ = ∫ M [F − F0 ]2 dX .

0

Для решения поставленной задачи составим явное выражение для критерия

149

Решив систему уравнений (9.83), относительно a, b, получим такие их значения, которые доставляют минимум критерию. Например, при k = 1, X* =1, получим:

Рассмотренная задача синтеза прибора относится к задачам метода наименьших квадратов.

9.9. Синтез приборов по критерию минимума дисперсии случайной погрешности

Случайная погрешность является наиболее неблагоприятной составляющей погрешности, поскольку ее гораздо сложнее компенсировать.

Математическая формулировка задачи минимизации случайной погрешности состоит в следующем: пусть задана общая требуемая чувствительность прибора S*, необходимо так распределить чувствительность между отдельными элементами, случайная погрешность каждого из которых характеризуется

дисперсией Di (i =1, n , n – количество элементов прибора), чтобы общая

погрешность имела минимально возможное значение.

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1) ввести условие равенства общей чувствительности заданному значению

2) записать выражение для дисперсии суммы независимых случайных погрешностей отдельных звеньев

150