Файл: OTIP.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 429

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где βi – безразмерный коэффициент влияния i-го звена:

βi =

∂S

Si .

(9.86)

 

 

∂Si S

 

С учетом (9.86) дисперсия суммарной погрешности (9.85) равна

n

 

∂S 2

S

 

2

 

 

D = ∑

 

 

 

 

 

i

D

;

(9.87)

 

 

 

 

∂S

 

S

 

i

 

 

i=1

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) пользуясь методом неопределенных множителей Лагранжа λ, составить функционал

F = D +λϕ,

который с учетом выражений (9.87), (9.84) принимает вид

n

∂S 2

S

 

2

+λ[S

*

− f (S , ..., S )];

F = ∑

 

 

 

 

i

D

 

 

 

 

 

∂S

 

S

 

i

 

 

1

n

i=1

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.88)

(9.89)

4) исследовать на экстремум функционал F, для чего приравнять нулю частные производные

∂F ∂Si = 0, i =

 

;

(9.90)

1, n

5) решить полученную систему n + 1 уравнений (9.90) с учетом условия равенства чувствительности прибора заданному значению (9.84). При решении

исключается λ, и определяются оптимальные значения Si опт , i =1, n ;

6) определить минимальное значение Dmin путем подстановки в (9.87) найденных оптимальных значений Si опт .

Общая чувствительность схемы является функцией чувствительности отдельных звеньев, причем вид этой функции зависит от их соединения.

При последовательном соединении звеньев:

n

 

 

 

 

 

∂S

 

 

 

 

S = ∏S

i

;

β

i

=

Si

=1.

(9.91)

 

i=1

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

∂Si

 

 

Следовательно, в соответствии с (9.85) и (9.91) дисперсия погрешности последовательно соединенных звеньев равна сумме дисперсий отдельных элементов

n

D = ∑Di .

i=1

Таким образом, при последовательном соединении линейных звеньев минимизация случайных погрешностей за счет перераспределения чувствительности звеньев не представляется возможной. Уменьшение дисперсии можно добиться либо за счет повышения точности отдельных звеньев (уменьшение Di), либо за счет упрощения схемы (уменьшения числа звеньев n). Возможности уменьшения дисперсии погрешностей элементов ограничены,

151

поэтому дисперсия приборов прямого преобразования с последовательным соединением звеньев оказывается значительной. В этом основной недостаток приборов прямого преобразования.

При параллельном соединении:

n

 

 

 

 

 

∂S

 

Si

= Si .

 

S = ∑S

i

,

β

i

=

 

(9.92)

 

i=1

 

 

 

 

 

S

S

 

 

 

 

 

 

∂Si

 

Запишем выражение для дисперсии погрешности согласно (9.85) с учетом (9.92)

 

1

n

 

 

D =

∑S2D .

(9.93)

S2

 

i=1

i i

 

Если общая чувствительность задана ( S = S* ), то можно записать

βi = Si S* .

(9.94)

При этом добавочное условие (9.84) имеет вид

n

ϕ = S* − ∑Si = 0. (9.95)

i=1

Составим функционал F, подставив в (9.88) выражения (9.93) с учетом (9.94) и (9.95),

 

1

n

 

 

n

 

 

F =

∑S2D

+λ

S* − ∑S

.

(9.96)

2

 

i i

 

 

i=1

i

 

 

(S* )

i=1

 

 

 

 

Дифференцируя F по Si и приравнивая нулю частные производные, получим n алгебраических уравнений

∂F

 

 

2Si Di

 

 

 

 

= 0

~

−λ = 0, i =1, n .

(9.97)

 

(S* )2

∂Si

Решая совместно систему уравнений (9.97) и (9.95), найдем оптимальные значения чувствительности звеньев прибора

Sm опт=

 

S*

 

 

 

 

 

 

 

, m =1, n .

(9.98)

 

∑n (1 D

 

 

D

)

 

 

 

 

m

i

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

Для определения минимальной дисперсии при параллельном соединении звеньев подставим значения Sm опт, m =1, n (9.98) в выражение (9.87) для дисперсии. После преобразований получим

1

=

1

+

1

+... +

1

.

D

D

D

 

 

 

 

D

min

 

1

 

2

 

n

Таким образом, при параллельном соединении звеньев и обеспечении оптимальных значений их чувствительности общая дисперсия меньше дисперсии любого звена, т. е. при оптимальном распределении чувствительности

152

измерительный прибор обладает более высокой точностью (в смысле случайной погрешности), чем любое звено, входящее в его состав. Это позволяет строить высокоточные измерительные цепи из компонентов с ограниченной точностью.

В частном случае при использовании n одинаковых преобразователей

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

= D .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

min

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для системы с отрицательной обратной связью:

 

 

 

S* =

 

 

S1

 

 

 

=

 

 

 

 

k0

 

 

 

,

 

 

 

 

 

1

+ S S

2

 

 

S

2

(1+ k

0

)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где k0 = S1S2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

β =

 

 

1

=

1

 

; β

2

 

=

S1S2

 

 

 

=

k0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

+ S1S2

 

1+ k0

 

 

 

 

 

 

1+ S1S2 1+ k0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общая дисперсия определяется по (9.85) с учетом (9.100) формулой

D =

D

+ D k

2

1

2 0 .

 

(1

+k0 )2

 

(9.99)

(9.100)

(9.101)

Дифференцируя выражение для дисперсии (9.101) по k0 и приравнивая нулю, найдем

k0 = D1 D2 .

Итак, введение отрицательной обратной связи целесообразно в тех случаях, когда точность обратного преобразователя намного выше точности преобразователя прямой цепи.

Найдем оптимальные значения чувствительности звеньев:

S

= S* D1 + D2 ;

S

2

=

1

 

D1

.

 

 

1

D2

 

 

S*

 

D1 + D2

 

 

 

 

 

При этом минимальная дисперсия определяется согласно (9.87) аналогично случаю параллельного соединения звеньев

1

=

1

+

1

→

D =

D1D2

.

 

 

 

 

Dmin D1 D2

min

D1

+ D2

 

9.10. Синтез приборов по критериям динамической точности

Измерительные приборы, работающие в динамическом режиме, имеют динамические погрешности. Синтез оптимальных характеристик таких приборов преследует цель минимизировать эти погрешности.

Для общности рассуждений будем считать, что прибор является сложной системой, имеющей матричную передаточную функцию. Введем следующие

обозначения: W ( p) = W*( p) =

W *

– матричная передаточная функция

0

i j

 

153

идеального прибора размерности N × N ; W( p) = Wi j – матричная передаточная

функция реального (синтезируемого) прибора размерности N × N .

Синтез характеристик прибора проведем в два этапа: синтез структуры и синтез параметров, пользуясь в обоих случаях теорией приближения функций.

Синтез структуры прибора. При синтезе структуры прибора теория приближения функций строится на операциях с порядками полиномов передаточных функций.

Рассмотрим последовательность действий для достижения поставленной цели. 1. Представить элементы матриц W*( p), W( p) в виде дробно-рациональных

функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W *

( p) = C

r

( p)

D

ν

( p)

;

W

( p) = B

 

( p) A ( p) ,

(9.102)

i j

 

j

 

 

 

i j

m

i j

n

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

где Cr ( p), Dν( p) , Bm

i j

( p) ,

An ( p)

 

– соответственно полиномы порядков ri j , ν,

i j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mi j , n.

Причем, степени полиномов числителей должны быть равны или ниже степеней полиномов знаменателей. Порядки полиномов характеризуют сложность структуры приборов, поэтому, синтезируя простую передаточную функцию, мы синтезируем прибор с простой (несложной) структурой.

2. Выбрать критерий близости передаточных функций реального и идеального приборов.

Условия наилучшего (точного) приближения передаточных матриц W*( p) и W( p) можно представить в виде

W *

( p) =W

( p), (i, j)Ω,

(9.103)

i j

i j

 

 

где Ω ={(i1, j1), (i2 , j2 ), ..., (ik , jk )} – подмножество, точками которого являются k

пар индексов (i, j) приближаемых функций. После подстановки (9.102) в(9.103) получается

 

Cr

( p) Dν( p) = Bm

( p)

An ( p) , (i, j)Ω.

(9.104)

 

 

i j

 

 

i j

 

 

Для выполнения условий (9.104) необходимо, чтобы

 

 

 

 

 

n − ν = mi j

− ri j .

(9.105)

3. Представить выражения (9.104) в виде

 

~

 

−r

*

~

 

*

(9.106)

Bm

i j

( p)Br

( p) [An−ν( p)Aν( p)]= Cr ( p) Dν( p) ,

 

i j

i j

 

 

i j

 

где индексы mi j − ri j , ri j ,

n − ν, ν являются порядками полиномов.

 

Из выражения (9.106) следует, что наилучшее приближение функций Wi*j ( p) и Wi j ( p) достигается за счет компенсации части полюсов функции Wi j ( p) ее нулями, причем

154

Смотрите также файлы