Файл: OTIP.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 368

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

~

 

 

−r ( p) =

Bm

i j

 

i j

 

B*

 

( p) = C

r

r

 

 

 

i j

 

 

i j

Aν*( p) = Dν( (i, j) Ω.

~

 

 

An−ν( p);

 

( p);

 

 

 

(9.107)

p);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти уравнения связывают искомые параметры синтезируемого прибора с известными параметрами идеального прибора.

4.Приравнять коэффициенты при соответствующих степенях p полиномов в левых и правых частях уравнений (9.107).

5.На основе (9.107) получить следующее количество алгебраических уравнений (КУ), связывающих параметры приборов:

КУ = k(n − ν)+ ∑ ri j + ν; (i, j) Ω,

(9.108)

i jΩ

 

где k – число приближаемых передаточных функций.

 

6. Найти количество неизвестных параметров (КП) реального прибора, подлежащих определению из уравнений (9.107):

N N

 

КП = ∑ ∑mi j + n .

(9.109)

i=1 j=1

 

Для определенности системы уравнений (9.107) необходимо, чтобы количество неизвестных параметров КП было равно или больше количества

уравнений КУ, т. е.

 

 

КП ≥ КУ.

 

(9.110)

7. Записать неравенство (9.110) с учетом (9.108) и (9.109)

 

N N

∑ ri j .

 

∑ ∑mi j ≥ (k −1)(n − ν)+

(9.111)

i=1 j=1

i j Ω

 

8. Выбрать критерий оптимальности (функцию цели), характеризующий сложность структуры.

В качестве функции цели можно взять линейную форму вида

N N

 

F = ∑ ∑mi j + k .

(9.112)

i=1 j=1

 

9. Добавить условия физической реализуемости

 

n − mi j ≥1; i, j =

 

.

(9.113)

1, N

Таким образом, задача синтеза оптимальной структуры прибора формулируется следующим образом: найти такие неотрицательные целочисленные значения неизвестных n и mi j , которые удовлетворяют

неравенствам (9.111) и (9.113) и минимизируют критерий оптимальности (9.112).

155

Эта задача решается методами линейного программирования, причем полученные значения n и mi j округляются до ближайших целочисленных

значений.

Синтез параметров прибора.

Задача синтеза параметров прибора, работающего в динамическом режиме, формулируется следующим образом: при выбранной структуре синтезируемого прибора и заданных характеристиках идеального прибора необходимо найти коэффициенты передаточных функций при условии минимума динамической погрешности

min W ~ minWi j ( p) −Wi*j ( p) , (i, j) Ω

и при соблюдении условий физической реализуемости (9.113).

Пусть передаточные функции

W

( p) , W *

( p) заданы в виде:

 

 

 

 

i j

i j

 

 

 

W

( p) =

b pm + b pm−1

+... +b

0

 

1

m ;

i j

 

a

0

pn + a pn−1

+... + a

n

 

 

 

 

1

 

W *

( p) = c0 pr + c1 pr−1 +... + cr .

i j

 

d0 pν + d1 pν−1 +... + dν

 

 

 

(9.114)

(9.115)

(9.116)

где ai, bj (i =1, n ; j =1, m ) – коэффициенты, зависящие от параметров синтезируемого прибора; ck, dl ( k =1, r ; l =1, ν) – коэффициенты идеального прибора.

Синтез параметров будем проводить при выполнении условий физической реализуемости

n −m ≥1;

(9.117)

точного приближения

 

n − m = ν − r

(9.118)

и существования решения

 

КП ≥ КУ.

(9.119)

Рассмотрим методы решения этой задачи: метод разложения в ряды и метод деления полиномов передаточных функций.

1.Метод разложения в ряды. Разложим функцию динамической погрешности

вряд Маклорена по степеням p

 

 

 

 

∞

 

k

 

*

 

k

 

 

 

 

 

 

 

p

 

W

=W

( p) −W *

( p) =

∑

 

d

 

[Wi j ( p) −Wi j ( p)]

.

 

 

 

 

 

i j

i j

i j

 

 

 

 

k

 

 

k!

 

 

 

 

k =0

 

(dp)

 

p=0

Для выполнения условия точного приближения необходимо, чтобы

d k [W

( p)]

d k [W * ( p)]

 

 

i j

 

 

=

i j

 

; k = 0, 1, 2, ...

(dp)k

(dp)k

 

 

 

 

 

 

 

 

p=0

 

 

p=0

 

(9.120)

(9.121)

156

Если передаточные функции имеют вид (9.115), (9.1116), то уравнения (9.121) запишутся в следующем виде:

 

 

a0c0 = b0d0;

 

 

 

 

 

a1c0 + a0c1 = b1d0 +b0d1;

 

 

 

 

 

(9.122)

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ancr−1 + an−1cr = bmdν−1 +bm−1dν;

 

 

 

ancr = bmdν.

 

 

 

Система (9.122) имеет m + ν = n + r

уравнений, поэтому из нее можно определить

не менее z = m + ν

независимых

параметров

прибора. Если

z < m + ν, то

приближение W

( p)

к W * ( p) будет неточным.

 

 

i j

 

i j

 

 

 

2. Метод деления полиномов.

В передаточных функциях Wi j ( p) , Wi*j ( p) разделим полиномы числителей на полиномы соответствующих знаменателей и результат представим в виде:

W

( p) = Bm ( p)

=

 

1

 

;

(9.123)

 

 

 

i j

 

An ( p)

 

 

Ln−m ( p) + Hm−1( p) Bm ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

W *

( p) = Cr ( p)

 

=

1

.

 

(9.124)

 

 

 

i j

Dν( p)

 

 

Gν−r ( p) +Vr−1( p) Cr ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ln−m ( p) , Hm−1( p) – соответственно частное и остаток от деления An ( p) ; Gν−r ( p) , Vr−1( p) – соответственно частное и остаток от деления

Dν( p) .

Bm ( p) на Cr ( p) на

В соответствии с условием точного приближения (9.103), реализующим условие минимума динамической погрешности (9.114), знаменатели в выражениях (9.123), (9.124) должны быть равны

Ln−m ( p) + Hm−1( p) Bm ( p) = Gν−r ( p) +Vr −1( p) Cr ( p) .

(9.125)

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях p полиномов в левых и правых частях выражения (9.125), получим систему алгебраических уравнений (9.122) для определения неизвестных параметров прибора.

Уравнения (9.122) можно получить также из условия приближения

Wi j ( p)

 

B ( p) D

( p)

 

 

 

=

m

ν

 

=1

(9.126)

Wi*j ( p)

 

 

An ( p) Cr ( p)

 

 

путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях p полиномов числителя и знаменателя.

Пример 9.4. Дана передаточная функция синтезируемого прибора

W ( p) =

 

 

b0 p + b1

 

 

 

,

(9.127)

a

0

p3 + a p2

+ a

2

p + a

3

 

 

1

 

 

 

 

которую нужно приблизить к передаточной функции идеального прибора

157

 

 

 

 

 

 

 

 

W *( p) =

 

 

c

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.128)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2 + d p + d

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим (9.127) и (9.128) в (9.126)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W ( p)

 

(b p

+ b )(p2 + d p + d

2

)

 

 

b p3

+ (b d

1

+ b )p2

+ (b d

2

+ b d

1

)p + b d

2

 

 

 

=

 

0

1

1

 

 

=

0

 

0

1

0

 

 

1

 

1

.

 

 

(a

 

p3

+ a p2 + a

 

 

 

 

)c

 

(a

с)p3 + (a с)p2 +

(a

 

 

с)p + a

 

 

W *( p)

0

2

p + a

3

 

2

с

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

После сравнения коэффициентов при одинаковых степенях p полиномов числителя и знаменателя получим:

a0c = b0

;

 

+ b ;

 

 

a c = b d

 

 

 

1

0

1

1

;

(9.129)

a

c = b d

2

+ b d

2

0

 

1 1

 

 

a3c = b1d2.

 

 

Если динамическая система, описываемая согласно (9.127), содержит не менее четырех независимых параметров, то можно осуществить точное приближение. Решение системы уравнений (9.129) позволяет получить искомые параметры.

9.11. О синтезе приборов по нескольким критериям

При проектировании измерительных приборов необходимо не только минимизировать погрешности, но также уменьшить стоимость, увеличить чувствительность, надежность, уменьшить массо-геометрические характеристики. А значит, необходимо ввести комплексный критерий оптимальности, учитывающий несколько критериев.

Например, стоимость прибора, состоящего из n элементов, может быть функцией вида

Z = ∑n

f

(D , S

, M

, P , i =

 

)+ Z

 

,

(9.130)

1, n

0

i=1

i

i i

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Di, Si, Mi, Pi – соответственно дисперсия погрешности, чувствительность, масса, надежность элемента номер i; Z0 – стоимость вспомогательных элементов, сборки и регулировки прибора, принимаемая постоянной.

Допустим, что составлены уравнения, связывающие одноименные характеристики элементов системы в виде:

ϕ1

(D1, ..., Dn )= 0;

ϕ2

(S1, ..., Sn )= 0;

(9.131)

ϕ

(M

, ..., M

n

)= 0;

ϕ

4

(P , ..., P )= 0.

3

1

 

 

 

1

n

 

 

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

ϕ3(M1, ..., M n )= 0 .

 

M = ∑M i

~ M − ∑M i = 0

~

 

i=1

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

Задача заключается в минимизации функции (9.130), как функции указанных переменных при дополнительных условиях (9.131).

158

Поставленная задача – это задача на условный экстремум функции нескольких переменных, которая может быть решена методом множителей Лагранжа. Согласно методу вводится в рассмотрение функция

m

Φ = Z + ∑λk ϕk , (9.132)

k =1

где λk – множители Лагранжа, количество которых равно количеству уравнений

вида (9.131), которые называются уравнениями связи. Далее, согласно методу, для нахождения минимума функции Ф составляют уравнения:

∂Φ

= 0 ;

∂Φ

= 0;

∂Φ

= 0 ;

∂Φ

= 0 ,

i =

 

.

(9.133)

1, n

∂D

∂S

i

∂M

i

∂P

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

Присоединяя к системе n·m уравнений (9.133) m уравнений связи вида (9.131) и решая полученную систему (n·m + m) уравнений относительно того же количества неизвестных переменных и множителей Лагранжа, получаем экстремальные значения переменных.

10. ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

НА РЕАКЦИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДВЕСА МИНИАТЮРНОГО ШАРОВОГО ГИРОСКОПА

Рассматриваемая задача относится к проблеме создания современных миниатюрных систем инерциальной навигации и управления движением объектов различного назначения. Разработка перспективных навигационных систем предполагает создание гироскопических датчиков, обладающих малой массой и габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением, достаточно высокой надежностью. Проблема миниатюризации тесно связана с задачей оценки точности таких устройств.

Ряд вариантов реализации таких датчиков содержит в своей основе

миниатюрный шаровой гироскоп в гидродинамическом подвесе [4]. Пример применения такого гироскопического датчика представлен на рис. 10.1.

159

Смотрите также файлы