ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.08.2024
Просмотров: 871
Скачиваний: 19
Тема 4. Показатели вариации
Задача 4.1.
При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:
Размер месячного |
Число вкладчиков |
||
вклада, рубли |
|
|
|
Банк с рекламой |
Банк без рекламы |
||
|
|||
|
|
|
|
До 500 |
- |
3 |
|
500-520 |
- |
4 |
|
520-540 |
- |
17 |
|
540-560 |
11 |
15 |
|
560-580 |
13 |
6 |
|
580-600 |
18 |
5 |
|
600-620 |
6 |
- |
|
620-640 |
2 |
- |
|
Итого |
50 |
50 |
|
Определить:
1)для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2)средний размер вклада за месяц для двух банков вместе.
3)Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4)Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5)Общую дисперсию, используя правило сложения;
6)Коэффициент детерминации;
7)Корреляционное отношение.
Решение.
По исходным данным составим таблицу 1
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
Размер месячного |
Число вкладчиков |
|
вклада, рубли, xi |
Банк с рекламой, ni |
Банк без рекламы, mi |
490 |
0 |
3 |
510 |
0 |
4 |
530 |
0 |
17 |
550 |
11 |
15 |
570 |
13 |
6 |
590 |
18 |
5 |
610 |
6 |
0 |
84
630 |
2 |
0 |
Итого |
50 |
50 |
Обозначим: банк A – банк без рекламы, B – банк с рекламой. 1. Средний размер вклада за месяц в банке A равен
y= ∑xi mi = 27140 = 542,8 руб.
∑mi 50
Дисперсия вклада за месяц в банке A равна
(xi − y)2 mi = 31808 ∑mi 50
Средний размер вклада за месяц в банке B равен
z= ∑xi ni = 29000 = 580,0 руб.
∑ni 50
Дисперсия вклада за месяц в банке B равна |
|
|
||||||||||||||
Dz |
= ∑(xi − z)2 ni |
= |
|
23400 |
= 468,0 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∑ni |
50 |
|
|
|
|
|||||||
2. Средний размер вклада за месяц для двух банков вместе равен |
||||||||||||||||
|
u |
= |
|
y m + z n |
= |
542,8 50 +580 50 |
= |
542,8 +580 |
= 561,4 руб. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
m + n |
50 +50 |
|
|
|||||||||
3. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от рекламы, равна |
||||||||||||||||
Dyz |
|
=[( y − |
u |
)2 +(z − |
u |
)2 ] / 2 =[(542,8 −561,4)2 +(580 −561,4)2 ] / 2 = 345,96 . |
||||||||||
4. Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме рекламы, равна
Dε = Dy + Dz = 636,16 + 468 =1104,16 .
5. Общая дисперсия равна
D= Dyz + Dε = 345,96 +1104,16 =1450,12 .
6.Коэффициент детерминации равен
η2 = DDyz = 1450345,96,12 = 0,239 .
7. Корреляционное отношение равно
η = η2 = 0,239 = 0,488 .
Задача 4.2.
Имеются данные о распределении населения России по размеру денежного дохода в условном году
85
Группы населения по |
Численность населения, |
доходам в мес., тыс. руб. |
% к итогу |
До 3 |
21 |
3-5 |
41 |
5-7 |
22 |
7-9 |
10 |
9-11 |
5 |
Более 11 |
1 |
итого |
100 |
Определить:1) среднедушевой доход за изучаемый период в целом, используя упрощенный способ; 2) среднедушевой доход в форме моды и медианы для дискретного и интервального рядов; 3) дисперсию способом моментов; 4) среднее квадратическое отклонение; 5) коэффициент вариации.
Решение.
По исходным данным составим таблицу 1
Таблица 1
Интервалы групп |
Середины |
Численность |
|
населения по доходам |
интервалов групп, |
населения, % к |
|
в мес., тыс. руб. |
xi, тыс. руб. |
итогу, wi |
|
|
|
|
21 |
1 |
- 3 |
2 |
|
3 |
- 5 |
4 |
41 |
5 |
- 7 |
6 |
22 |
7 |
- 9 |
8 |
10 |
9 - 11 |
10 |
5 |
|
11 |
- 13 |
12 |
1 |
Итого |
|
100 |
|
Среднедушевой доход за изучаемый период в целом равен
x = |
∑xi fi |
= |
2 21 +... +12 1 |
= |
480 |
= 4,8 тыс. руб. |
|
∑ fi |
|
|
|
||||
100 |
|
100 |
|||||
Среднедушевой доход в форме моды равен:
-для дискретного ряда 4 тыс. руб.,
-для интервального ряда (3 – 5) тыс. руб.. Среднедушевой доход в форме медианы равен:
-для дискретного ряда 4 тыс. руб.,
-для интервального ряда (3 – 5) тыс. руб. Дисперсия способом моментов равна
86
Накопленные частоты, %
21
62
84
94
99
100
|
|
|
|
|
= |
|
∑xi2 fi |
−4,82 = |
22 21 +... +122 1 |
|
|
|||
Dx |
= x2 − x 2 |
− 4,82 |
= 28,16 − 23,04 = 5,12 . |
|||||||||||
|
100 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ fi |
|
|
|
|||
Среднее квадратическое отклонение равно |
|
|
||||||||||||
σx |
= |
|
Dx = |
5,12 = 2,263 . |
|
|
|
|
||||||
Коэффициент вариации равен |
|
|
|
|
||||||||||
v = |
σx |
= |
2,263 |
= 0,471, или 47,1%. |
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||
|
4,8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 4.3.
Для статистической совокупности; 5, 4, 4, 2, 0, 2, 5, 2, 2, 4 вычислить коэффициент вариации и построить полигон частот.
Решение.
Коэффициент вариации равен
v = |
sx |
100% |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sx – среднее квадратическое отклонение, x |
|
– среднее арифметическое значение. |
||||||||||||||||||||||||
Среднее арифметическое значение равно первому начальному моменту выборки |
||||||||||||||||||||||||||
данных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
10 |
|
5 + 4 +K+ 2 + 4 |
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = |
|
∑xi = |
|
|
1 |
∑xi |
= |
= |
|
= 3 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
10 i=1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sx = D[x] = x2 −(x)2 = |
∑xi2 |
−(x)2 |
|
5 |
2 |
+ |
4 |
2 |
+K+ 4 |
2 |
||||||||||||||||
i=1 |
= |
|
|
−32 = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
= |
11,4 −9 = |
|
|
2,4 =1,549 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда коэффициент вариации равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
v = |
|
sx |
|
= |
1,549 |
100% |
= 51,6 %. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Построим статистический ряд распределения
xi |
0 |
2 |
4 |
5 |
ni |
1 |
4 |
3 |
2 |
По статистическому ряду распределения построим полигон частот
87
|
5 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
ni |
3 |
|
|
|
|
|
|
Частоты |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
Значения x i |
|
|
Задача 4.4. |
|
|
|
|
|
|
В таблице приведены данные о распределении предприятий района по размеру прибыли за последний отчетный год.
Прибыль, млн. руб. |
Количество |
|
предприятий |
||
|
||
|
|
|
До 60 |
15 |
|
60-80 |
35 |
|
80-100 |
30 |
|
100-120 |
12 |
|
120 и более |
8 |
|
Итого |
100 |
Рассчитайте:
-средний размер прибыли в расчете на одно предприятие;
-коэффициент вариации средней;
-долю предприятий, прибыль которых превосходит 100 млн. руб. Сделайте выводы.
Решение.
Преобразуем исходную таблицу к стандартному виду.
88