ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.08.2024
Просмотров: 872
Скачиваний: 19
Интервалы прибыли, |
Средняя прибыль xi, |
Количество |
|
млн. руб. |
млн. руб. |
предприятий ni |
|
|
|
|
15 |
40 |
- 60 |
50 |
|
60 |
- 80 |
70 |
35 |
80 - 100 |
90 |
30 |
|
100 |
- 120 |
110 |
12 |
120 |
- 140 |
130 |
8 |
|
Итого |
100 |
|
Средний размер прибыли в расчете на одно предприятие определим по формуле
средней арифметической взвешенной |
|
|
|
|
|
|
||||||
x = |
∑xi ni |
= |
50 15 +70 35 |
+90 30 +110 12 +130 8 |
= |
8260 |
= 82,6 млн. руб. |
|||||
∑ni |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
15 + |
35 +30 +12 +8 |
100 |
|||||||||
Дисперсия прибыли равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D = |
∑(xi |
− x)2 ni |
= |
(50 −82,6)2 15 +... + (130 −82,6)2 8 |
= |
50124 |
= 501,24 . |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
∑ni |
|
|
|
100 |
|
|
|
|
100 |
|
|
Отсюда среднее квадратическое отклонение прибыли равно
s = D = 501,24 = 22,388 млн. руб.
Тогда коэффициент вариации средней прибыли равен
v = |
s |
= |
22,388 |
= 0,271 , или 27,1%. |
|
x |
82,6 |
||||
|
|
|
Доля предприятий, прибыль которых превосходит 100 млн. руб. равна
w = |
n4 + n5 |
= |
12 +8 |
= |
20 |
= 0,2 , или 20%. |
||
|
|
|
|
|
||||
∑ni |
|
100 |
100 |
|||||
Выводы. Поскольку коэффициент вариации средней прибыли меньше 30%, то исходную выборку считаем однородной.
Задача 4.5.
В трех магазинах 16 июля 2000 года были проданы кроссовки следующих размеров:
Размер |
40 |
41 |
|
42 |
43 |
44 |
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Магазин № 1 |
18 |
10 |
|
2 |
35 |
20 |
15 |
Магазин № 2 |
2 |
21 |
|
15 |
17 |
15 |
10 |
Магазин № 3 |
17 |
6 |
|
20 |
40 |
12 |
15 |
|
|
|
89 |
|
|
|
|
1.Изобразите данные в виде полигонов распределения и суммарный.
2.Вычислите дисперсии (общую, групповые, межгрупповую).
3.Рассчитайте коэффициенты вариации.
4.Найти моду и медиану суммарного распределения.
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим таблицу с частотами разных размеров обуви |
w |
= |
ni |
. Имеем: |
|
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размер |
40 |
41 |
42 |
|
|
43 |
|
|
44 |
45 |
|
Магазин № 1 |
0,18 |
0,1 |
0,02 |
|
0,35 |
|
0,2 |
0,15 |
||
|
Магазин № 2 |
0,025 |
0,263 |
0,188 |
|
0,213 |
|
0,188 |
0,125 |
||
|
Магазин № 3 |
0,155 |
0,055 |
0,182 |
|
0,364 |
|
0,109 |
0,136 |
||
|
Все магазины |
0,128 |
0,128 |
0,128 |
|
0,317 |
|
0,162 |
0,138 |
||
Изобразим ниже данные в виде полигонов распределения и суммарный.
Частота
Магазин № 1
0,4
0,3
0,2
0,1
0
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
Размер
90
Частота
Частота
Частота
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
39
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
39
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
39
Магазин № 2
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
Размер
Магазин № 3
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
Размер
Все магазины
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
Размер
91
Общий средний размер обуви по всем магазинам найдем по формуле средней арифметической взвешенной
|
y = |
∑y j nij |
= |
40 (18 |
+ 2 |
+17) |
+... + 45 (15 +10 +15) |
= |
12375 |
= 42,672 . |
|||||||||||||
|
|
∑nij |
|
(18 |
+ 2 |
+17) |
+... + (15 +10 +15) |
|
|
290 |
|
||||||||||||
Среднее значение квадратов равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∑y2j nij |
|
|
402 (18 |
+ 2 |
+17) |
+... + 452 (15 +10 +15) |
|
528765 |
|
|||||||||
|
y |
2 |
= |
= |
= |
=1823,328 |
|||||||||||||||||
|
|
∑nij |
|
(18 |
+ 2 |
+17) |
+... + (15 +10 +15) |
|
|
|
|
290 |
|||||||||||
Общая дисперсия равна
σ2y = y 2 − ( y)2 =1823,328 − 42,6722 = 2,3927 .
Средние размеры обуви по каждому из магазинов соответственно равны:
y |
= |
∑y j n1 j |
= |
40 18 +... + 45 15 |
|
= |
|
4274 |
|
= 42,74 ; |
|
|||||
∑n1 j |
18 +... +15 |
|
|
|
100 |
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y2 |
= |
∑y j n2 j |
= |
|
40 2 +... + 45 10 |
= |
3412 |
|
= 42,65 ; |
|
||||||
∑n2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 +... +10 |
|
|
80 |
|
|
|||||||||||
y3 |
= |
∑y j n3 j |
= |
|
40 17 +... + 45 15 |
= |
|
4689 |
= 42,627 . |
|
||||||
∑n3 j |
17 +... +15 |
|
|
110 |
|
|
||||||||||
Межгрупповая дисперсия равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
δ2 |
= ∑( y j − y)2 n j = |
(42,74 − 42,672)2 + (42,65 − 42,672)2 + (42,627 − 42,672)2 |
= |
|||||||||||||
y |
|
∑n j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 +80 +110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 0290,721 = 0,0025 .
Внутригрупповая дисперсия равна
δε2 = σ2y −δ2y = 2,3927 −0,0025 = 2,390 .
Коэффициент вариации равен
ν = σyy 100 = 422,,3927672 100 = 3,62% .
Из последней строки последней таблицы видим, что мода Mo = 43, а медиана равна
Me = 43 .
Задача 4.6.
По данным таблицы вычислите среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичеcкое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте выводы.
92
Курс продажи акций, руб. |
Кол-во проданных акций, шт. |
1093 |
487 |
1059 |
309 |
1154 |
101 |
Решение.
Средний курс акций определим по формуле средней арифметической взвешенной:
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
∑xi ni |
|
1093 |
|
487 +1059 309 +1154 101 |
|
976076 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i=1 |
= |
|
= |
=1088,16 руб. |
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
487 +309 +101 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
897 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∑ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее линейное отклонение равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d = |
∑ |
|
xi − x |
|
ni |
|
1039 −1088,16 |
|
+ |
|
1059 −1088,16 |
|
+ |
|
1154 −1088,16 |
|
= |
18018,45 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
897 |
|
|
897 |
|
||||||||||||
|
|
|
∑ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i=1
=20,09 руб.
По методу моментов дисперсия равна
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D[x] = |
|
−( |
|
)2 |
|
∑xi2 ni |
−( |
|
)2 = |
1093 |
2 |
487 |
+1059 |
2 |
309 |
+1154 |
2 |
101 |
−1088,162 = |
x2 |
|
= |
i=1 |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∑ 897 ni
i=1
793,73 руб2.
Отсюда среднее квадратическое отклонение равно
sx = D[x] = 793,73 = 28,17 руб.
Коэффициент вариации равен
v = sxx = 108828,17,16 = 0,0259 , или 2,59%.
Вывод. Поскольку коэффициент вариации меньше 30%, то выборка является однородной.
Задача 4.7.
По данным о распределении сотрудников двух фирм по тарифному разряду вычислите дисперсию (по взвешенной формуле) и среднее квадратическое отклонение (по простой формуле). Сравните полученные результаты.
93
Фирма С |
Фирма Д |
||
Тариф, разряд |
Число |
Тариф, разряд |
Число |
сотрудников |
сотрудников |
||
12 |
13 |
12 |
17 |
13 |
14 |
13 |
29 |
14 |
21 |
14 |
19 |
15 |
51 |
15 |
37 |
16 |
43 |
16 |
19 |
17 |
14 |
17 |
29 |
18 |
10 |
18 |
17 |
Решение.
Средний тарифный разряд определим по формуле средней арифметической взвешенной. Для фирмы С средний тарифный разряд составит
|
n |
|
|
|
|
|
|
x = |
∑xi ni |
|
12 13 |
+... +18 10 |
|
2503 |
|
i=1 |
= |
= |
=15,08 . |
||||
n |
|
+... +10 |
|
||||
|
13 |
|
166 |
|
|||
|
∑ni |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1
Для фирмы Д средний тарифный разряд составит
|
n |
|
|
|
|
|
|
y = |
∑yi mi |
|
12 17 |
+... +18 17 |
|
2505 |
|
i=1 |
= |
= |
=15 . |
||||
n |
|
+... +10 |
|
||||
|
13 |
|
167 |
|
|||
|
∑mi |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1
Определим вначале среднее квадратическое отклонение по простой формуле. По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы С равна
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D1[x] = |
|
−( |
|
)2 = |
∑xi2 |
−( |
|
)2 |
= |
12 |
2 |
+... +18 |
2 |
|
x2 |
|
i=1 |
|
|
|
−15,082 =1,644 . |
||||||||
x |
x |
|
||||||||||||
n |
|
|
7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда среднее квадратическое отклонение равно
s1x = D1[x] = 1,644 =1,28 .
По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы Д равна
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D1[ y] = |
|
−( |
|
)2 = |
∑yi2 |
−( |
|
)2 |
= |
12 |
2 |
+... +18 |
2 |
|
y2 |
|
i=1 |
|
|
|
−152 = 4 . |
||||||||
y |
y |
|
||||||||||||
m |
|
|
7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда среднее квадратическое отклонение равно
s1y = D1[ y] = 4 = 2 .
Определим теперь среднее квадратическое отклонение по взвешенной формуле. По методу моментов дисперсия тарифного разряда для фирмы С равна
94