ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.08.2024
Просмотров: 881
Скачиваний: 19
2.Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3.Коэффициент вариации.
4.С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
5.С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение.
Запишем исходные данные в виде таблицы 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Стаж рабочих, лет |
|
В среднем в группе xi, лет |
Число рабочих ni, чел |
|
|||||||||
|
|
0 |
- 5 |
|
|
2,5 |
|
5 |
|
|
||||
|
|
5 - 10 |
|
|
7,5 |
|
10 |
|
|
|||||
|
|
10 |
- 15 |
|
|
12,5 |
|
35 |
|
|
||||
|
|
15 |
- 20 |
|
|
17,5 |
|
25 |
|
|
||||
|
|
20 |
- 25 |
|
|
22,5 |
|
15 |
|
|
||||
|
|
25 |
- 30 |
|
|
27,5 |
|
10 |
|
|
||||
|
|
Итого |
|
|
|
|
100 |
|
|
|||||
Средний стаж рабочих цеха определим по формуле средней арифметической |
||||||||||||||
взвешенной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
∑xi ni |
= |
2,5 5 +7,5 10 +12,5 35 +17,5 25 + 22,5 15 + 27,5 10 |
= |
1575 |
=15,75 лет. |
||||||||
∑ni |
|
|
5 +10 +35 + 25 +15 +10 |
|
|
100 |
||||||||
Дисперсия равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
σ2x |
= ∑(xi |
− x)2 ni = |
4068,75 |
= 40,69 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
∑ni |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Среднее квадратическое отклонение равно
σx = σ2x = 40,69 = 6,38 лет.
Коэффициент вариации равен
v = σxx = 156,,3875 = 0,405 , или 40,5%.
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
По условию задачи имеем 10% бесповторную, собственно-случайную, механическую выборку. Т.к. обследовано 10% рабочих, то
109
Nn = 0,1,
где n = 100 – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.
При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Тогда предельная ошибка выборки равна
|
|
= t |
σ2x |
|
− |
n |
= 3 |
40,69 |
(1 |
−0,1) |
= 3 0,3662 =1,815 . |
|
|
n |
1 |
|
100 |
||||||
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Определим возможные границы, в которых находится средний размер прибыли в генеральной совокупности:
x − x ≤ μx ≤ x + x .
Подставив имеющиеся данные, получим
15,75 −1,815 ≤ μx ≤15,75 +1,815 , или 13,935 ≤ μx ≤17,565 .
Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.
Выборочная доля числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет составляет
W = 60/100 = 0,6 или 60%.
Отсюда дисперсия доли равна:
σW2 |
=W (1 −W ) = 0,6 0,4 = 0,24 . |
|
|
|
|
|
||||||
Тогда предельная ошибка выборки равна: |
|
|
||||||||||
|
|
= t |
σW2 |
|
n |
|
0,24 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 − |
|
= 3 |
100 |
(1 |
−0,1) |
= 2 |
0,004838 |
= 0,1391. |
|
W |
||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||
Определим возможные границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет:
W − W ≤ Ω ≤W + W .
Подставив имеющиеся данные, получим
0,461 ≤ Ω ≤ 0,739 , или 46,1% ≤ Ω ≤ 73,9% .
Задача 5.4.
Для определения средней величины заработной платы работников малых предприятий необходимо провести выборочное обследование методом случайного повторного отбора. Какое количество работников нужно отобрать, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не превышала 2 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 10 тыс. руб.
Решение.
110
Предельная ошибка признака для случайного повторного отбора равна
х = t |
σ2 |
, |
|
n |
|||
|
|
отсюда
( х)2 = t 2 σ2 . n
следовательно, n = tσx .
Т.к. по условию σ =10 и t = 2, при р = 0,954, то имеем n = tσx = 2 210 =10 чел.
Таким образом, необходимо отобрать не менее 10 работников, чтобы ошибка выборки с вероятностью 0,954 не превышала 2 тыс. руб.
Задача 5.5.
Среди выборочно обследованных 13000 семей по уровню дохода-(выборка бесповторная, 2%) малообеспеченных оказалось – 3900 семей. Определите с вероятностью 0,997 долю малообеспеченных семей во всем регионе.
Решение.
Т.к. обследовано 2% семей, то
Nn = 0,02 ,
где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности. При доверительной вероятности p = 0,997 коэффициент доверия t = 3. Выборочная доля малообеспеченных семей составляет
W = 3900/13000 = 0,3 или 30%.
Отсюда дисперсия доли равна:
σW2 =W (1 −W ) = 0,3 0,7 = 0,21.
Тогда предельная ошибка выборки равна:
|
|
= t |
σW2 |
|
− |
n |
= 3 |
0,21 |
(1 |
−0,02) |
= 0,012 . |
|
|
n |
1 |
|
13000 |
||||||
W |
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
Определим возможные пределы доля малообеспеченных семей:
W − W ≤W ≤W + W .
111
Подставив имеющиеся данные, получим
0,298 ≤W ≤ 0,312 , или 29,8% ≤W ≤ 31,2% .
Задача 5.6.
Для определения среднего возраста студентов вуза с числом студентов 1250 был зафиксирован возраст 87 студентов (см. табл.)
Возраст |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
Число студентов |
23 |
25 |
5 |
8 |
3 |
23 |
Определите:
1)средний возраст студентов выборки;
2)среднеквадратическое отклонение возраста по выборке;
3)99% доверительный интервал для среднего возраста студентов вуза.
Решение.
Средний возраст студентов выборки равен
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
∑xi ni |
17 23 +... + 22 |
23 |
|
1665 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
i=1 |
|
= |
= |
=19,14 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
23 +... + 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое отклонение возраста по выборке равно |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
(xi |
− x)2 ni |
|
(17 |
−19,14) |
2 |
23 +... + (22 |
−19,14) |
2 |
23 |
|
342,345 |
=1,984 . |
|||||
σ |
x |
= |
|
i=1 |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
23 +... + 23 |
|
|
|
87 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ni |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По условию задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
= |
|
87 |
= 0,0696 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
N |
|
1250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где n – объем выборочной совокупности, N – объем генеральной совокупности.
При доверительной вероятности p = 0,99 коэффициент доверия t = 2,58. Тогда
предельная ошибка выборки равна: |
|
||||||||
|
|
|
σ2x |
|
|
n |
|
1,984 |
2 |
|
|
= t |
n |
1 |
− |
|
= 2,58 |
87 |
(1 −0,0696) = 0,529 . |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
Определим возможные границы, в которых находится средний возраст в генеральной совокупности:
112
x − x ≤ μx ≤ x + x .
Подставив имеющиеся данные, получим
19,14 −0,529 ≤ μx ≤19,14 +0,529 , или 18,61 ≤ μx ≤19,67 .
Задача 5.7.
В городе проводится обследование семей с целью выявления доли расходов семейных бюджетов на оплату жилья. Предыдущее аналогичное обследование дало результат в 21,6%. Сколько нужно обследовать семей, чтобы с вероятностью 0,99 и точностью не менее 0,5% определить эту долю?
Решение. |
|
|
|
||||
Искомое число семей равно |
|
||||||
n = |
t 2 |
σ |
2 |
= |
2,582 0,216 (1 −0,216) |
= 45089 . |
|
|
2 |
|
0,005 |
2 |
|||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Задача 5.8.
Для оценки стоимости основных средств региона проведен 5%-ный механический отбор, в результате чего установлено:
Группы предприятий по стоимости |
Число предприятий |
|
основных средств, млн. р. |
||
|
||
До 10 |
131 |
|
10 – 20 |
227 |
|
20 – 30 |
294 |
|
30 – 40 |
146 |
|
40 – 50 |
128 |
|
50 и выше |
74 |
|
Итого |
1000 |
Определить:
1)с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать среднюю стоимость основных средств на одно предприятие и долю предприятий со стоимостью выше 50 млн. р. В целом по региону;
2)ожидаемую сумму налога на имущество (2%) со стоимости основных средств по обследованной группе предприятий и по региону в целом.
Сделать выводы.
113