1962 |
752,7 |
366,8 |
1977 |
844,7 |
296,5 |
1963 |
756,1 |
365,2 |
1978 |
853,1 |
297,4 |
1964 |
760,7 |
359,9 |
1979 |
865,9 |
299 |
1965 |
767 |
348,5 |
1980 |
876,8 |
296,5 |
1966 |
768,1 |
343,8 |
1981 |
887,2 |
294,4 |
1967 |
770,3 |
336,8 |
1982 |
903,6 |
296,7 |
1968 |
776,9 |
331,8 |
1983 |
920,8 |
294,9 |
1969 |
781,1 |
326,8 |
1984 |
938,7 |
301,7 |
1970 |
785,7 |
319,9 |
1985 |
956,7 |
308 |
Решение.
Абсолютные цепные приросты ряда динамики определяем по формуле yk = yk +1 − yk ,
где k – год, yk – значение показателя на начало k-го года. Результаты расчета приведены в табл. 2.
Таблица 2. Абсолютные цепные приросты населения Томской области по годам.
|
Год |
Все |
Абсолютные |
Год |
Все |
Абсолютные |
|
население |
цепные приросты |
население |
цепные приросты |
|
|
|
|
1956 |
753,5 |
5,7 |
1971 |
793,9 |
8,9 |
|
1957 |
759,2 |
-3,1 |
1972 |
802,8 |
8,7 |
|
1958 |
756,1 |
-9,3 |
1973 |
811,5 |
3,5 |
|
1959 |
746,8 |
-2,9 |
1974 |
815 |
6,3 |
|
1960 |
743,9 |
-4,1 |
1975 |
821,3 |
10,3 |
|
1961 |
739,8 |
12,9 |
1976 |
831,6 |
13,1 |
|
1962 |
752,7 |
3,4 |
1977 |
844,7 |
8,4 |
|
1963 |
756,1 |
4,6 |
1978 |
853,1 |
12,8 |
|
1964 |
760,7 |
6,3 |
1979 |
865,9 |
10,9 |
|
1965 |
767 |
1,1 |
1980 |
876,8 |
10,4 |
|
1966 |
768,1 |
2,2 |
1981 |
887,2 |
16,4 |
|
1967 |
770,3 |
6,6 |
1982 |
903,6 |
17,2 |
|
1968 |
776,9 |
4,2 |
1983 |
920,8 |
17,9 |
|
1969 |
781,1 |
4,6 |
1984 |
938,7 |
18 |
|
1970 |
785,7 |
8,2 |
1985 |
956,7 |
|
Среднегодовую численность населения найдем по формуле средней хронологической
|
|
1 |
y |
+ y |
+... + y |
+ |
1 |
y |
753,5 |
+ 759,2 +... +938,7 + |
956,7 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
y = |
1956 |
1957 |
1984 |
|
1985 |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
23486,4 |
= 809,88 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим линейную модель временного ряда в виде парной линейной регрессии.
Рассмотрим вначале все население. Уравнение парной линейной регрессии – зависимость условной средней численности населения от года имеет вид
y(t) = yˆ = b0 +b1t ,
где t – год.
Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
ty |
|
− |
t |
|
|
y |
|
, b = |
|
−b |
|
. |
|
|
|
|
y |
t |
|
|
|
−( |
|
)2 |
1 |
|
t 2 |
|
0 |
1 |
|
|
t |
Подставив в эти формулы исходные данные (ti , yi ), i =1,30 , получим:
|
|
|
1956 +1957 +... +1985 |
|
|
|
|
|
t |
= |
|
|
|
=1970,5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195612 +19572 +... +19852 |
= 3882945,17 ; |
|
|
t 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
y = |
753,5 + 759,2 +... +956,7 |
= 811,38 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1956 753,5 +1957 759,2 +... +1985 956,7 |
=1599335,78 . |
|
ty |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда b1 = 6,740 , b0 = −12469,44 .
Таким образом, линейная модель временного ряда численности всего населения имеет вид: yˆ = −12469,44 +6,740t .
Коэффициент корреляции между двумя переменными T и Y вычисляется по формуле:
ryt = |
n∑ti yi −(∑ti ) (∑yi ) |
]. |
[n∑ti2 −(∑ti )2 ][n∑yi2 −(∑yi )2 |
Подставив исходные данные в эту формулу, получим: ryt = 0,943 .
Для парной линейной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции
Ryt2 = ryt2 = 0,9432 = 0,889 .
Определим расчетное значение F-статистики через коэффициент детерминации,
|
используя соотношение |
|
|
F = (n −2) |
R2 |
. |
|
|
1 − R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда расчетное значение F-статистики равно |
|
Fрасч = 28 |
|
|
0,889 |
|
= 223,27 . |
|
1 |
−0,889 |
|
|
|
Уравнение регрессии статистически значимо с надежностью более 99%.
Построим график динамики исходных и предсказанных значений показателя – всего населения. Он приведен на рис. 1.
График динамики всего населения
|
1200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.чел.
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тыс
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
y = 10,728x - 20355 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 = 0,966 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1970 |
1972 |
1974 |
1976 |
1978 |
1980 |
1982 |
1984 |
1986 |
Год
Рис. 1. График динамики всего населения: точки – исходные значения показателя; линия – предсказанные значения показателя.
Рассмотрим теперь сельское население. Уравнение парной линейной регрессии – зависимость условной средней численности сельского населения от года имеет вид
x(t) = xˆ = a0 + a1t ,
где t – год.
Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
|
tx |
|
− |
t |
|
|
x |
|
, a |
|
= |
|
−a |
|
. |
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
−( |
|
)2 |
|
1 |
|
t 2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
t |
|
Подставив в эти формулы исходные данные (ti , xi ), i =1,30 , получим:
|
|
|
1956 +1957 +... +1985 |
|
|
|
|
|
t |
= |
|
|
|
=1970,5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
195612 +19572 +... +19852 |
= 3882945,17 ; |
|
t 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
x = |
431,7 + 428,2 +... +308 |
= 334,16 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1956 431,7 +1957 428,2 +... +1985 308 |
= 658138,14 . |
|
tx |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда a1 |
= −4,327 , a0 = 8859,784 . |
|
Таким образом, линейная модель временного ряда численности сельского населения |
имеет вид: xˆ = 8859,784 −4,327t . |
|
Коэффициент корреляции между двумя переменными T и X вычисляется по формуле: |
rxt = |
n∑ti xi −(∑ti ) (∑xi ) |
]. |
[n∑ti2 −(∑ti )2 ][n∑xi2 −(∑xi )2 |
Подставив исходные данные в эту формулу, получим: rxt = −0,918 .
Для парной линейной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции
Ryt2 = ryt2 = 0,9182 = 0,843 .
|
Определим расчетное значение |
F-статистики через коэффициент детерминации, |
|
используя соотношение F = (n −2) |
|
|
R2 |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
− R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда расчетное значение F-статистики равно Fрасч = 28 |
|
|
0,843 |
=150,03 . |
|
1 |
−0,843 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение регрессии статистически значимо с надежностью более 99%.
Построим график динамики исходных и предсказанных значений показателя – сельского населения. Он приведен на рис. 2.
График динамики сельского населения
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тыс. чел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
200 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
y = 2,4044x - 4453,3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
= 0,578 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1970 |
1972 |
1974 |
1976 |
1978 |
1980 |
1982 |
1984 |
1986 |
Год
Рис. 2. График динамики сельского населения: точки – исходные значения показателя; линия
– предсказанные значения показателя.
148
Ответим на вопрос, для какого показателя – «все население» или «сельское» – линейная модель подходит в большей степени.
Формально обе модели статистически значимы. Однако, если исходить из содержательного анализа, то видим, что рост всего населения вызван ростом городского населения, а не сельского, которое, наоборот, снизилось. Т.к. городское население входит в общее население, то можно говорить о том, что линейная модель подходит в большей степени для описания тенденции изменения всего населения.
Задача 6.12.
Объем услуг населению по району характеризуется следующими данными:
Месяц |
Объем услуг, тыс. р. |
Январь |
210 |
Февраль |
218 |
Март |
220 |
Апрель |
224 |
Май |
225 |
Определить:
1.Цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста и прироста.
2.Абсолютное содержание одного процента прироста.
3.Среднемесячный объем услуг за период.
4.Средние темпы роста и прироста.
5.Среднемесячный абсолютный прирост.
6.Предполагая, что выявленная закономерность сохранится и в дальнейшем, спрогнозировать объем услуг за первое полугодие, используя в качестве закономерности: а) средний абсолютный прирост; б) средний темп роста; в) трендовую модель по уравнению прямой.
Решение.
Абсолютные приросты равны:
- базисные |
0i = yi − y0 , |
- цепные |
i = yi − yi−1 , |
где yi – уровень i–го месяца, y0 – уровень января. Темпы роста равны: