Файл: TVMS-3.pdf

ми: a = x =49,6, σ=σX =10,64 и рассчитаем значения функции плотности нормального закона

(x−a)2

fN (x) = σ 1 π e− 2σ2 2

в правых концах интервалов. Результаты расчетов представлены в седьмом и восьмом столбцах табл. 5.2.1 (первые шесть столбцов табл. 5.2.1 взяты из табл. 5.1.3). Графики функ ций fN(x) и FN(x) построены на рис. 5.2.3 и 5.2.4 соответственно.

435.По данным задачи 429 вычислить выборочные характеристики: коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиану.

436.Доказать, что выборочное среднее X (5.1.1) является эффективной (в классе линейных несмещенных оценок) оценкой математического ожидания MX .

64

437.Доказать, что относительная частота является состоятельной, не смещенной и эффективной (в классе всех несмещенных оценок) оценкой веро ятности наступления события.

438.Доказать, что выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия являются состоятельными оценками дисперсии.

65

66

5.2.2. М е т о д ы п о с т р о е н и я т о ч е ч н ы х о ц е н о к

Будем считать, что известен общий вид p(x;θ) закона распределения слу чайной величины X , соответствующей генеральной совокупности, из которой извлечена выборка x1,x2,…,xn (функция вероятности p(xi ;θ) =P{X =xi } для дискретной случайной величины или плотность распределения p(x;θ) = fX (x) для непрерывной случайной величины), где θ — некоторый неизвестный па раметр закона распределения.

Метод моментов заключается в следующем. Определяется зависимость

параметра θ от начальных моментов с первого по k й и центральных моментов с первого по l й, после чего для вычисления оценки θмм параметра θ по мето% ду моментов в эту зависимость (5.2.7) вместо неизвестных теоретических мо

Очевидным достоинством метода моментов является его простота, одна ко качество оценок, полученных с помощью этого метода, не всегда бывает вы соким, особенно при небольших объемах выборки.

Изложим теперь алгоритм метода максимального правдоподобия. По выборке x1,x2,…,xn составляется функция правдоподобия

выборки объемом n из генеральной совокупности в случае дискретной слу чайной величины (и плотности распределения этой вероятности — в случае непрерывной случайной величины). Чем больше L(θ), тем вероятнее (или п р а в д о п о д о б н е е) получить при наблюдениях и м е н н о д а н н у ю к о н к р е т н у ю в ы б о р к у x1, x2,…, xn .

Оценкой максимального правдоподобия параметра θ называют при этом такое значение θммп , которое максимизирует функцию правдоподобия L(θ):

так как натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией. Если существует состоятельная и эффективная оценка θ параметра θ (в классе всех оценок — несмещенных и смещенных), то при весьма общих усло виях такой оценкой является θммп , если при этом оценка θммп оказывается смещенной, то ее подправляют аналогично тому, как это было сделано с выбо

рочной дисперсией [см. формулу (5.2.5)].

67