Файл: TVMS-3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.09.2024

Просмотров: 180

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

55

56

57

ˆa = X

§ 5.2.ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

5.2.1. С в о й с т в а т о ч е ч н ы х о ц е н о к

Статистикой называется любая функция γ= γ(X1, X2,…, Xn ) от элемен тов выборки X1, X2,…, Xn [на конкретной выборке x1, x2,…, xn эта статистика принимает конкретное значение γ= γ(x1,x2,…,xn ) ]. Очевидно, любая стати стика является случайной величиной, поскольку она является функцией слу чайных величин.

Оценкой θ числовой характеристики или параметра θ называется любая статистика θ=θ(x1, x2,…, xn ) , используемая в качестве приближенного значе ния θ.

Например, в качестве оценки параметра a =MX случайной величины X, распределенной по нормальному закону (с неизвестными параметрами), мож но использовать:

•результат единичного наблюденияˆa = X1 ;

•полусумму минимального и максимального элементов выборки:ˆa = X(min) +X(max) ;

2

•выборочную медиануˆa = Xmed ;

•выборочную модуˆa = Xm o d ;

• выборочное среднее и др.

Как определить, какая из этих оценок лучше?

Качество оценки определяется по выполнению следующих трех свойств: состоятельности, несмещенности и эффективности.

Прежде всего, от оценки θn хотелось бы требовать, чтобы по мере роста числа наблюдений она сходилась по вероятности к оцениваемому параметру, т. е. чтобы для любого сколь угодно малого ε>0 было справедливо предельное равенство

lim P{

 

θn −θn

 

<ε}=1.

(5.2.1)

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

Оценка θn , обладающая свойством (5.2.1), называется состоятельной

оценкой параметра θ.

 

Также от «хорошей» оценки θn естественно требовать, чтобы она не со держала систематической ошибки, т. е. при любом фиксированном объеме вы борки n результат осреднения оценки по всем возможным выборкам данного

объема должен приводить к точному значению параметра:

 

Mθn =θ.

(5.2.2)

Оценка θn , обладающая свойством (5.2.2), называется несмещенной оцен% кой параметра θ.

Наконец, от оценки θn желательно требовать, чтобы ее дисперсия была минимальной в некотором классе оценок Θ:

58

Dθn =min Dθn .

(5.2.3)

θn Θ

 

Оценка θn , обладающая свойством (5.2.3), называется эффективной оцен% кой параметра θ в классе оценок Θ.

Выборочное среднее X (5.1.1) является состоятельной, несмещенной и эффективной (в классе линейных несмещенных оценок) оценкой математиче ского ожидания MX .

Доказательство. Выборочное среднее X является состоятельной оценкой математического ожидания, если генеральная совокупность имеет ограниченную дисперсию, поскольку предель

ное равенство lim P{

X

−MX

<ε} =1 непосредственно следует из теоремы Чебышева (4.3.2), так

 

 

 

n

n→∞

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑MXi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xi

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

как X =

 

, а

MX =M

 

 

 

=

 

=MX . Из того, что MX =MX , следует также, что

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выборочное среднее X является несмещенной оценкой математического ожидания MX . Дока зательство эффективности выборочного среднего оставляем читателю в задаче 436.

Относительная частота ˆp (5.1.8) является состоятельной, несмещенной и

эффективной (в классе линейных несмещенных оценок) оценкой вероятности успеха p .

Доказательство этого утверждения оставляем читателю в задаче 437.

Выборочная дисперсия ˆ (5.1.2) является смещенной оценкой диспер

σ2

X

сии DX :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

n −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mˆσ

=

 

 

 

 

 

 

 

 

DX ≠DX .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

=M

 

∑

(Xi −X) =

 

 

 

∑

(M(Xi )−2M(Xi X)+M X ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MσX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при этом: по определению дисперсии M(Xi2 ) =DXi

+(MXi )2 =σ2 +a2 ; поскольку наблюдения

Xi и Xj

независимы, M(Xi Xj ) =MXiMXj (при i ≠ j ), и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

σ

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(Xi X) =M Xi

 

 

 

 

 

=

 

 

MXi

 

+

(MXiMXj )=

 

(σ +a

+(n −1)a

 

) =

 

+a

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j≠i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наконец,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

X

i ∑

Xj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

∑∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n(σ +a )+n(n −1)a ) = +a .

M(X ) =M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

MX

 

+

MX

MX

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ∑

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

j=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j≠i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя найденные выражения для математических ожиданий в формулу для

Mσ2X , получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1 n

2

 

 

2

 

 

 

σ2

 

 

2

 

 

 

σ2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 n 2

 

σ2

 

 

1 2

σ2

 

 

 

n −1 2

 

n −1

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mˆσ

=

 

 

 

(σ +a )−2

 

 

+a

+

 

 

+a

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

σ =

 

 

 

 

 

DX ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ −

 

 

 

 

n σ −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n i=1

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

является смещенной оценкой дисперсии.

 

 

 

 

 

 

 

поэтому выборочная дисперсияˆσ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

59

Однако смещенность выборочной дисперсииˆ легко исправима, доста

σ2

X

точно в качестве оценки дисперсии выбрать величину

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑(Xi −

 

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

n

 

 

 

 

 

 

2

 

i=1

 

 

 

2

 

 

s

 

=

 

 

 

=

 

 

ˆσ

,

(5.2.5)

 

n −1

 

 

 

X

 

 

n −1

X

 

 

называемую исправленной выборочной дисперсией; исправленная выбороч ная дисперсия s2X является состоятельной и несмещенной оценкой дисперсии.

При доказательстве состоятельности выборочной дисперсии (и исправ ленной выборочной дисперсии), что мы предлагаем сделать читателю само стоятельно в задаче 438 полезно следующее

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СОСТОЯТЕЛЬНОСТИ. Для того, чтобы несмещенная

оценка θn была состоятельной, достаточно, чтобы lim Dθn =0 .

 

 

n→∞

 

 

Доказательство. Согласно неравенству Чебышёва (4.1.2), для любого

ε>0

P{ |θn −Mθn | -ε} >1−Dθn /ε2 , откуда, учитывая несмещенность оценки θn (т. е.

Mθn =θ), по

лучаем: P{ |θn −θ| -ε} >1−Dθn /ε2 , и поскольку lim Dθn =0 , окончательно

имеем,

что

n→∞

 

 

lim P{|θn −θ|-ε} =1 , т. е. θn является состоятельной оценкой θ.

n→∞

Если известно точное значение a =MX математического ожидания нор

мальной случайной величины X , распределенной п о

н о р м а л ь н о м у

з а к о н у, то статистика

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

∑(Xi −a)2

 

s2

=

i=1

 

(5.2.6)

 

0

 

n

 

 

 

 

является состоятельной, несмещенной и эффективной (в классе всех несме щенных оценок) оценкой дисперсии DX случайной величины X . Однако на практике оценка (5.2.6) не используется, так как точное значение математиче ского ожидания почти никогда не известно.

Для получения оценки дисперсии случайной величины X, распределен ной по нормальному закону, на основании интервального вариационного ряда

с шириной интервала ∆ следует пользоваться п о п р а в к о й Ш е п п а р д а:

2

2

∆2

 

 

− .

 

(5.2.7)

σ

X

=ˆσ

 

 

X

12

 

 

 

 

 

 

 

Выборочное среднее квадратичное отклонение — этоˆσ

2

, а стан%

= ˆσ

 

 

 

X

X

 

дартное отклонение — это sX = s2X .

По аналогии с т е о р е т и ч е с к и м начальным моментом порядка k (k = 0, 1, 2, …) случайной величины X [т. е. величиной νk (X) =M(Xk ) — см. п. 2.8.1] и т е о р е т и ч е с к и м центральным моментом порядка k (k = 0, 1, 2, …) этой случайной величины [т. е. величиной µk (X) =M(X −MX)k ] определяются выбо% рочные начальный и центральный моменты порядка k (k = 0, 1, 2, …) — это статистики

60

ˆν = Xk

k

и

ˆµ =(X −X)k

k

соответственно.

С в о й с т в а выборочных моментов аналогичны свойствам соответст вующих теоретических моментов (2.8.3)—(2.8.7).

В качестве выборочных оценок асимметрии (2.8.8) и эксцесса (2.8.9) можно взять выборочную асимметрию

ˆ =ˆµ

A 3

X σ3

ˆ

и выборочный эксцесс

ˆ =ˆµ −

E 4 3

X σ4

ˆ

соответственно; эти оценки являются смещенными, однако их можно подпра вить и получить несмещенные оценки AX и EX — исправленную выборочную асимметрию

= n(n −1)ˆ

AX n −2 AX

и исправленный выборочный эксцесс

 

 

ˆ

+6]

 

EX

=

(n −1)[(n +1)EX

.

 

 

 

 

(n −2)(n −3)

Отношение

ˆ = sX

VX X

называется выборочным коэффициентом вариации. Выборочный коэффици ент вариации оценивает относительный разброс значений случайной величи ны вокруг математического ожидания.

Задачи

433. В условиях задачи 432 требуется с помощью программы «Описа тельная статистика» пакета Microsoft Excel вычислить выборочные характери стики: среднее, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации, асимметрию, эксцесс, моду, медиану.

Решение. Для вычисления в ы б о р о ч н ы х х а р а к т е р и с т и к воспользуемся программой «Описательная статистика», выбрав соответствующий пункт меню надстройки «Анализ данных» пакета Microsoft Excel.

В окне ввода исходных данных программы «Описательная статистика» (рис. 5.2.1) ука жем входной интервал (ссылку на ячейки A1:A101, содержащие данные об объеме продаж с заголовком; так как первая строка входного интервала содержит заголовок, отметим фла жок «Метки»), установим флажок для генерации итоговой статистики — набора основных вы борочных характеристик. Укажем, что исходные данные помещены в столбце, а результаты работы программы необходимо вывести на новый рабочий лист.

61

Смотрите также файлы