ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1442
Скачиваний: 2
Интегральная функция распределения имеет вид:
0, |
x < 0, |
||||||||||
F (x) |
= 1 |
−e−λx , x ≥ 0. |
(12.45) |
||||||||
Числовые характеристики: |
|||||||||||
M |
ξ |
= 1 |
; D |
= |
1 |
; σ |
ξ |
= |
1 |
(12.46) |
|
λ2 |
λ |
||||||||||
λ |
ξ |
||||||||||
Вероятность попадания в заданный интервал (α; β) будет равна: |
|||||||||||
p(α < ξ < β) = e−λα − e−λβ . |
(12.47) |
||||||||||
Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:
p(x) = |
1 |
− |
(x−a )2 |
||||
2 |
|||||||
e |
, |
(12.48) |
|||||
σξ |
2π |
2σξ |
|||||
где M ξ = a ; Dξ = σξ2 .
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (α; β) вычисляется по формуле
(12.49) |
||||
p(α < ξ <β) = Φ |
β − a |
− Φ |
α − a . |
|
σξ |
σξ |
Вероятность отклонения случайной величины от математического
ожидания на величину δ равна: |
|||||||||||||
p( |
< δ)= |
δ |
|||||||||||
ξ − M |
ξ |
2Φ |
. |
(12.50) |
|||||||||
x |
σξ |
||||||||||||
Здесь Φ(x) = |
1 |
2 |
|||||||||||
∫e |
− |
t |
dt |
– |
функция Лапласа; |
Φ(−x) = −Φ(x) – |
|||||||
2 |
|||||||||||||
2π 0 |
Φ(x ≥ 5) = 0,5 . Значения функции Φ(x) |
||||||||||||
функция нечетная; |
Φ(0) = 0 ; |
||||||||||||
представлены в прил. 2.
Задача 13. Случайная величина ξ – время работы радиолампы – распределена по показательному закону. Среднее время работы лампы 400 часов. Найти вероятность того, что радиолампа проработает не менее 600 часов.
150
Решение. По условию Mξ = 400 . Для |
показательного закона рас- |
|||||||||
пределения M |
= |
1 |
= 400 . Следовательно, |
λ = |
1 |
. Искомую вероят- |
||||
ξ |
λ |
400 |
||||||||
ность p(ξ ≥ 600) |
будем искать, используя вероятность противопо- |
|||||||||
ложного события и формулу (12.47): |
||||||||||
p(ξ ≥ 600) =1 − p(0 ≤ ξ < 600) =1−(e− |
0 |
− e−600400 )= e− |
3 |
≈ 0,22 . |
||||||
400 |
2 |
|||||||||
Задача 14. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10.
Найти: а) вероятность попадания случайной величины в интервал (20; 50); б) вероятность p( ξ − Мξ < σξ ) .
Решение. а) По условию α = 20 ; β = 50; a = 30 ; σ =10 . По формуле (12.49) и прил. 2 получим:
p(20 < ξ < 50) = Φ 50 −30 −Φ 20 −30 = Φ(2) −Φ(−1) =10 10
= Φ |
( |
2 |
) |
( ) |
= 0,4772 +0,3413 = 0,8185 . |
||||||||
+ Φ |
1 |
||||||||||||
б) По формуле (12.50) |
получим: |
||||||||||||
p( |
ξ − Мξ |
σ |
ξ |
= 2 0,3413 = 0,6826 . |
|||||||||
< σξ) = |
2Φ |
= 2Φ(1) |
|||||||||||
σξ |
|||||||||||||
151
Тема 13. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
13.1. Статистический ряд и его описание
Математическая статистика занимается установлением закономерностей, которым подчинены массовые, однородные, случайные явления, на основеизучениястатистических данных– результатовнаблюдений.
Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений случайной величины ξ.
Выборкой объема n называется множество x1, x2 , , xn наблюдае-
мых значений изучаемой случайной величины, которые соответствуют n независимым испытаниям (опытам).
Размах выборки W – разность между максимальным и минимальным значениями элементов выборки: W = xmax − xmin .
Статистический ряд – совокупность пар (xi ; ni ), i =1,k , где xi − разные элементы выборки, ni – частота появления выборочного
k
значения xi . Очевидно, что ∑ni = n .
i=1
Величины ωi = nni , i =1,k называются относительными частотами,
k
и для них ∑ωi =1.
i=1
Обычно статистический ряд записывают в виде табл. 13 1.
... |
Таблица 13.1 |
|||||||
xi |
x1 |
x2 |
xk |
|||||
ni |
n1 |
n2 |
... |
nk |
||||
ωi |
n1 |
n2 |
... |
nk |
||||
n |
n |
n |
||||||
При изучении непрерывной случайной величины или при большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы, и записывают интервальный статистический ряд (табл. 13.2).
Если все интервалы имеют одинаковую длину h, то h = Wk . Коли-
чество интервалов выбирают по формуле
k =1+3,2lg n . |
(13.1) |
152
Таблица 13.2 |
||||||||
Интервал |
[xmin ; x2 ) |
[x2 ; x3 ) |
... |
[xk ; xmax ] |
||||
Середина интервала |
x1* |
x*2 |
... |
x*k |
||||
Частота |
n1 |
n2 |
... |
nk |
||||
Относительная частота |
n1 |
n2 |
... |
nk |
||||
n |
n |
n |
||||||
Полигоном частот статистического ряда называется ломаная линия с вершинами в точках (xi ; ni ), i =1, k .
Полигоном относительных частот статистического ряда называ-
ni |
|||
ется ломаная линия с вершинами в точках xi ; |
, i =1, k . |
||
n |
|||
Гистограммой относительных частот статистического интер-
вального ряда называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группирования с высотой
прямоугольников |
ni |
. Площадь каждого прямоугольника равна ni , |
||||
nh |
||||||
n |
||||||
а сумма площадей всех прямоугольников равна 1. |
||||||
Эмпирической функцией распределения F* (x) называется функция |
||||||
F* (x) = ∑ |
ni |
. |
(13.2) |
|||
xi < x n |
||||||
Эта функция непрерывна слева, обладает всеми свойствами функции распределения случайной величиныF(x) = P(ξ < x) и является
приближенным представлением последней.
13.2. Статистическая оценка параметров распределения
Анализ полигона, гистограммы и эмпирической функции распределения дает возможность сделать предположение о законе распределения изучаемой случайной величины. Данный закон может быть установлен и на основании теоретических предположений.
Затем возникает задача оценки параметров предполагаемого закона распределения по полученной выборке. Оценкой параметра называют функцию от выборки, значение которой является приближенным
153