ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1454
Скачиваний: 2
Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 1.14). По формуле (1.10) найдем координаты векторов A1 A2 , A1 A3 и A1 A4 :
A1 A2 ={6 − 3; 9 − 3;1 − 9}={3; 6;−8};
A1 A3 ={1 − 3;7 − 3; 3 − 9}={− 2; 4; − 6};
A1 A4 ={8 − 3;5 − 3; 8 − 9}={5; 2;−1}.
n |
A4 |
A1 |
• D |
A2 |
A3
Рис. 1.14
1) Длину ребра A1 A2 найдем по формуле (1.11):
A A = |
32 + 62 + (−8)2 = |
109 . |
|||||||||||||
1 |
2 |
||||||||||||||
2) Угол ϕ между ребрами A1 A2 и A1 A4 |
найдем как угол между |
||||||||||||||
векторами A1 A2 , A1 A4 |
по формуле (1.18): |
||||||||||||||
cos ϕ = |
A1 A2 A1 A4 |
= |
3 5 + 6 2 + (−8) (−1) |
= |
|||||||||||
A1 A2 |
A1 A4 |
32 |
+ 62 + (−8)2 |
52 + 22 + (−1)2 |
|||||||||||
= |
35 |
30 ≈ 0,6121, |
|||||||||||||
109 |
|||||||||||||||
откуда ϕ = arccos 0,6121 ≈52°15'. |
|||||||||||||||
3) Для нахождения угла α между ребром |
A1 A4 и гранью |
A1 A2 A3 |
|||||||||||||
найдем нормальный вектор n , перпендикулярный плоскости |
A1 A2 A3 , |
||||||||||||||
30 |
|||||||||||||||
в качестве которого можно взять векторное произведение векторов A1 A2 и A1 A3 , вычисляемое по формуле (1.16):
n = A A × A A = |
i |
j |
k |
6 |
−8 |
i − |
3 |
−8 |
j + |
3 6 |
k = |
|||||||||
3 |
6 |
−8 |
= |
|||||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
3 |
4 |
− 6 |
− 2 |
− 6 |
− 2 4 |
||||||||||||
− 2 |
4 |
− 6 |
||||||||||||||||||
= −4 i + 34 j + 24 k .
Синус искомого угла α равен косинусу угла β между векторами n
и A1 A4 , так как сумма этих углов равна π2 . Поэтому
n A1 A4 |
−4 5 +34 2 + 24 |
( |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin α = cosβ = |
= |
) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
A1 A4 |
( |
) |
2 +342 + 242 |
52 + |
22 + |
( |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−4 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
24 |
≈ 0,1048, т. е. α ≈ arcsin 0,1048 ≈6°1'. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1748 |
30 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) Площадь грани A1 A2 A3 вычислим по формуле (1.20): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
S = |
1 |
A A × A A |
= 1 |
n |
= 1 |
(− 4)2 |
+ 342 + 242 |
= |
1748 = |
437 ≈ 20,9 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) Объем V пирамиды A1 A2 A3 A4 |
найдем по формулам (1.17) и (1.21): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V = |
1 |
A A A A A A |
1 |
3 |
6 |
−8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
− 2 4 |
− 6 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
2 |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
3 |
4 − 6 |
− |
6 |
− 2 − 6 |
+ (−8) |
− 2 |
4 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
2 |
−1 |
5 |
−1 |
5 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=16 3 8 − 6 32 −8 (−24) = 16 24 = 4 (куб. ед.).
6)Уравнение прямой A1 A2 найдем по формуле (1.33):
x −3 |
= |
y −3 |
= |
z −9 |
, т. е. |
x −3 |
= |
y −3 |
= |
z −9 |
. |
||
6 −3 |
3 |
||||||||||||
9 −3 1 −9 |
6 |
−8 |
|||||||||||
31
7) Уравнение плоскости A1 A2 A3 найдем по формуле (1.38):
x −3 |
y −3 z −9 |
x −3 y −3 z −9 |
|||||||||||||||||||||||
6 −3 |
9 −3 |
1 −9 |
= 0 , т. е. |
3 |
6 |
−8 |
= 0 ; |
||||||||||||||||||
1 −3 7 −3 |
3 −9 |
− 2 |
4 |
− 6 |
|||||||||||||||||||||
(x −3) |
6 |
−8 |
− (y −3) |
3 −8 |
+ (z −9) |
3 6 |
= 0; |
||||||||||||||||||
4 |
− 6 |
− 2 |
− 6 |
− 2 4 |
|||||||||||||||||||||
− 4(x −3) + 34( y −3) + 24(z −9) = 0.
Отсюда, − 4x + 34 y + 24z −306 = 0 , или 2x −17 y −12z −153 = 0 –
искомое уравнение плоскости.
8) Из полученного выше уравнения плоскости следует, что ее нормальный вектор n ={2; −17; −12}.
Нормальный вектор n перпендикулярен плоскости A1 A2 A3 , поэтому
его можно взять за направляющий вектор высоты, опущенной из вершины A4 на эту плоскость. Следовательно, уравнение этой высоты
можно найти по формуле (1.33):
x 2−8 = y−−175 = z−−128 .
Задача 3. Найти уравнение окружности, описанной около тре-
угольника с вершинами А(–1; 1), В(2; –1), С(4; 0).
Решение. Сначала найдем координаты центра окружности. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, проведенных к серединам сторон треугольника.
Поэтому для решения этой задачи поступим следующим образом:
1)составим уравнения сторон AB и AC;
2)найдем координаты середин сторон AB и AC;
3)составим уравнения прямых, перпендикулярных сторонам AB
иAC и проведенных через их середины;
4)найдем координаты центра окружности;
5)найдем радиус описанной окружности;
6)запишем уравнение описанной окружности.
Для наглядности решения сделаем рис. 1.15.
1) Уравнения сторон AB и AC найдем по формуле (1.28). Уравнение стороны AB будет:
32
x − |
( |
−1 |
y −1 |
x +1 |
y −1 |
2 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||
) |
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
, |
или |
= |
, т. е. |
y = − 3 x + |
3 ; |
kAB = − |
3 . |
|||||||||||||||||||||
2 − |
( |
−1 |
−1 −1 |
3 |
−2 |
||||||||||||||||||||||||
) |
|||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение стороны AС: |
|||||||||||||||||||||||||||||
x − (−1) |
= |
y −1 |
, |
или |
x +1 |
= |
y −1 |
, |
т. е. |
y = − |
1 x + |
4 |
; |
kAC = − |
1 . |
||||||||||||||
4 − (−1) |
5 |
−1 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||
0 −1 |
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||
2) Найдем координаты точек M и N, являющихся серединами сторон AB и AC соответственно, по формулам
xM |
= |
xA + xB |
= |
−1 + 2 |
= |
1 |
; yM |
= |
yA + yB |
= |
1−1 |
= 0 ; |
|||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
xN |
= |
xA + xC |
= −1 + 4 |
= |
3 |
; yN |
= |
yA + yC |
= |
1 + 0 |
= |
1 . |
|||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
Итак, M 1 |
; 0 |
и N |
3 |
; 1 |
– середины сторон AB и AC. |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
3) Для составления уравнений прямых, проходящих через точки M и N перпендикулярно сторонам треугольника, используем формулу (1.30), найдяпредварительноугловыекоэффициентыпрямыхизусловия(1.31).
Так как |
kAB = − |
2 |
(см. |
найденное |
уравнение прямой |
AB), |
то |
|||||||||||||||
1 |
= 3 , |
3 |
||||||||||||||||||||
k |
= − |
значит, |
уравнение первой прямой, проходящей через |
|||||||||||||||||||
1 |
kAB |
2 |
||||||||||||||||||||
точку М, имеет вид |
||||||||||||||||||||||
(y − y |
M |
) = k (x − x |
M |
), |
т. е. y − 0 = 3 |
x − |
1 , или |
y = 3 x − 3 . |
||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
4 |
|||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
Поскольку kAC = − |
1 |
(см. найденное уравнение прямой AC), |
то |
|||||||||||||||||||
1 |
5 |
|||||||||||||||||||||
k2 |
= − |
= 5 , значит, уравнение второй прямой, проходящей через |
||||||||||||||||||||
kAC |
||||||||||||||||||||||
= 5 x − |
3 , или |
|||||||||||||||||||||
точку N, |
имеет вид |
y − y |
N |
= k |
2 |
(x − x |
N |
), т. |
е. y − 1 |
|||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
y= 5x − 7 .
4)Решив систему из двух уравнений, найдем координаты точки О1 – точкипересеченияпрямых, являющейсяцентромискомойокружности:
33