Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

x_i = (;\s\do10(k =1c_ik x_{k . (2.6.1)}

эти же формулы показывают связь проективных координат x_i и x_i одной и той же точки в разных реперах на плоскости. В частности, поскольку в репере R  A₁ (1, 0, 0), A₂ (0,1, 0), A₃ (0, 0, 1), E(1, 1, 1), то в репере R :

A₁ (c₁₁, c₂₁, c₃₁), A₂ (c₁₂, c₂₂, c₃₂), A₃ (c₁₃, c₂₃, c₃₃),

E(c₁₁₊c₁₂₊c₁₃, c₂₁₊c₂₂₊c₂₃, c₃₁₊c₃₂₊c₃₃).

Замечание 1. Формулы (2.6.1) имеют место и для преобразования координат точек на прямой, при условии, что индексы i, k принимают значения 1, 2.

Замечание 2. Если обозначить X и X – столбцы составленные из координат векторов x;\s\up8(–( и x(;\s\up8(–( , то формулы (2.6.1) можно переписать в виде одного матричного равенства: X = CX (2.6.1).

30 Уравнение прямой на плоскости.

Пусть на проективной плоскости даны две точки A и B, имеющие в проективном репере R координаты A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃). Требуется составить уравнение прямой AB.

ПустьM – произвольная точка прямой AB . Ее координаты совпадают с координатами вектора x;\s\up8(( на прямой OM. Координаты точек A и B также совпадают с координатами некоторых векторов a;\s\up8(–( и b;\s\up9(–( на прямых OA и OB. Значит, векторы x;\s\up8((, a;\s\up8(( и

b;\s\up9(( компланарны. И обратно, если x;\s\up8(( компланарен a;\s\up8(( и b;\s\up9((, то M l . Поэтому M AB 

x₁ x₂ x₃

a₁ a₂ a₃ = 0, (2.7.1)

b₁ b₂ b₃

Это и есть уравнение прямой AB.

После раскрытия определителя получим уравнение вида

u₁x₁ + u₂x₂ + u₃x₃ = 0. (2.7.2)

Числа u₁, u₂, u₃ называются координатами прямой. Кроме того, условие коллинеарности векторов x;\s\up8((, a;\s\up8((, b;\s\up9(( можно записать так: x;\s\up8(( = a;\s\up8(( + b;\s\up9((

x₁ = a₁ + b₁,

x₂ = a₂ + b₂, (2.7.3)

x₃ = a₃ + b₃,

где ,  R – произвольные параметры (² + ²  0). Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

Следствие. Три точки A(a₁, a₂, a₃), B(b₁, b₂, b₃), C(c₁, c₂, c₃) лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют ,  R такие, что

c₁ = a₁ + b₁,

c₂ = a₂ + b₂, (2.7.3)

c₃ = a₃ + b₃.

31 Теорема Дезарга.

Опр.2.8.1. Трехвершинником на плоскости (; ¯ наз. фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Пусть ABC и A B C  – два трехвершинника. Будем наз.соответственными вершины A и A , B и B , C и C , а также стороны a = BC и a = B C , b = AC и b = A C  , c = AB и c = A B .

Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A B C  пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.

Обратная теорема Дезарга.Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A B C , сходятся в одной

точке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Э

Рис. 2.1

Пусть прямые AA , BB , CC  имеют общую точку S . Пусть M = a  a, N = b  b, P = c  c. Необходимо доказать, что M, N, P лежат на одной прямой. Для этого выберем на плоскости (; ¯ проективную систему координат, и запишем координаты точек A(a_i ), B(b_i ), C(c_i ), A(a_i ), B (b_i ), C (c_i ), S(s_i ), i =1, 2, 3. Поскольку S лежит на AA , BB , CC , то

s_i = a_i + a_i , s_i =  b_i + b_i , s_i =  c_i + c_i , i =1, 2, 3. 

a_i –  b_i = b_i – a_i = p_i ,

  b_i –  c_i = c_i – a_i = m_i ,

 c_i –  a_i = a_i – c_i = n_i , i =1, 2, 3,

где p_i , m_i , n_i – координаты точек P, M, N . Сложив эти равенства, получим p_i + m_i + n_i = 0. Это значит, что P, M, N лежат на одной прямой s.

32 Определение проективного преобразования.

Опр.3.1.1. Пусть (; ¯ и (; ¯ – две проективные плоскости, R – проективный репер в (; ¯, R  – в (; ¯. Проективным отображением (; ¯ на (; ¯ назы-вается отображение, действующее по правилу: точка M(; ¯ c координатами (x₁, x₂, x₃) в репере R переходит в точку M (; ¯ с теми же координатами в репере R .

Отсюда, в частности, вытекает, что A₁ переходит в A₁ , A₂ – в A₂ , A₃ – в A₃ , E – в E, т.е R переходит в R .

Можно показать, что проективным отображением будет перспективное отображение (; ¯ на (; ¯, которое возникает при центральном проецировании (; ¯ на (; ¯, а также любая композиция перспективных отображений плоскости на плоскость.

Опр.3.1.2. Проективным преобразованием плоскости (; ¯ называется проективное отображение (; ¯ на себя. Оно задается двумя реперами R и R  в плоскости (; ¯ .

Движение, подобие и аффинное преобразование плоскости (; ¯ являются частными случаями проективных преобразований.

3.2. Формулы проективного преобразования.

Пусть f : (; ¯  (; ¯ – проективное преобразование, которое задается двумя реперами R и R  , а С – матрица перехода от первого репера ко второму. Пусть M  = f(M). Найдем связь между координатами M и M  в одном репере, например, в R . Пусть M(x₁, x₂, x₃)_R , тогда M  имеет такие же координаты, только относительно R  . Пусть M (x₁, x₂ , x₃ )_R . Мы видим, что задача сводится к нахождению связи между координатами одной и той же точки M  в разных реперах R и R  , а эта связь задается формулами (2.6.1). Значит,

 x_i = (;\s\do10(k =1c_ik x_k , i = 1, 2, 3. (3.2.1)

Еще раз подчеркнем, что здесь x_k – это координаты точки до преобразования, а x_i – координаты образа этой точки.