Файл: Shpory_po_geometrii_4_semestr.doc

§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.

След-е зад мы будем использовать при построении сечений многогранников.

Зад 1. Прямая (a, a₃) лежит в плоск. заданной тремя точками (A, A₃), (B, B₃), (C, C₃), не лежащими на одной прямой. По заданной прямой a построить a₃.

Реш.Строим прямые AB, A₃B₃, AC, A₃C₃, BC, B₃C₃. Мы договорились, что направление проецирования не параллельно рассматриваемым прямым и плоскостям. Поэтому точки A, B, C не лежат на одной прямой

и прямые AB, AC, BC не совпадают. Прямая a пересекает две из этих прямых в точках M и N. По этим точкам мы можем построить вторичные проекции M₃ и N₃ (для этого необходимо провести прямые параллельные OE₃). Тогда a₃=M₃N₃.

И наоборот, если задана прямая a₃, мы можем найти M₃ и N₃, по ним найти M и N. Тогда a=MN. Но здесь возможна ситуация, когда A₃, B₃, C₃ лежат на одной прямой. Тогда задача не имеет решения.

Зад 2.Точка (X, X₃) лежит в плоскости заданной тремя точками (A, A₃), (B, B₃), (C, C₃), не лежащими на одной прям. По заданной точке X₃ построить X.

Реш.Точка (X, X₃) лежит в одной плоскости с точками (A, A₃), (B, B₃), (C, C₃). Поэтому прямые (XC, X₃C₃) и (AB, A₃B₃) лежат в одной плоскости. Пусть они пересекаются в точке (M, M₃) (если эти прямые не

пересекаются, то пересекаются прямые (XA, X₃A₃) и (BC, B₃C₃), и мы рассмотрим их). Строим:1. M₃=X₃C₃A₃B₃;

2. m||OE₃, M₃m; 3. ABm=M;

4. l||OE₃, X₃l; 5. lCD=X.

Аналогично по точке X можем найти X₃.

Задача 4. Плоскость задана тремя точками (A, A₃), (B, B₃), (C, C₃), не лежащими на одной прямой. Построить её след.

Решение. Прямые (AB, A₃B₃) и (AC, A₃C₃) лежат на плоскости  их следы лежат на следе плоскости. Строим:

1. X=ABA₃B₃, Y=ACA₃C₃;

2. p=XY – след.

Если какая-либо из прямых не имеет следа, то вместо неё рассмотрим прямую (BC, B₃C₃

§14. Полные и неполные изображения.

Пусть  – плоскость изображений. Говорим, что точка M; ¯ задана, если задана её аксонометрическая проекция и одна из вторичных проекций, например, M₃. Прямая a считается заданной, если заданы 2её точки или её аксонометрическая и вторичная проекции. Плоскость считается заданной, если заданы элементы, которые её однозначно определяют (например, три точки, которые не принадлежат одной прямой, прямая и точка или две прямые).

Пусть на плоск. дано изображение F некоторой фигуры F; ¯. Это изобр-ие наз. полным, если к нему можно присоединить изобр-ие R аффинного репера так, что все прямые, точки и плоск, которые определяют фигуру F, будут заданы.

Пр1. Данное изображение параллелепипеда является полным. Если к нему присоединить изображение R ={A, B, D, A₁} аффинного репера, то все вершины будут заданы, т.е. у каждой вершины можно указать аксонометрическую и вторичную проекции. Напр, у вершины A; ¯ – (A, A), у B₁ – (B₁, B).

Оказывается свойство изображения быть полным или неполным не зависит от выбора присоединённого репера (без д-ва). Если в последнем примере выбрать за изображение репераR ={A, B, D, D₁}, то вторичная проекция точки B₁ будет отсутствовать, но её можно построить. Для этого нам нужно провести через B₁ прямую параллельную AD₁ до пересечения с прямой BC

Пр2 изображение шестигранника не явл. полным. Если к нему присоединить изображение R ={A, B, C, S} аффин.репера, то вершины A; ¯, B; ¯, C; ¯, S; ¯ будут заданы, а D; ¯ – нет. У неё есть аксонометрическая проекция D, а в качестве вторичной проекции можем взять любую точку D₃, принадлежащую прям.l||AS, проходящей через D, даже если эта точка будет находиться за пределами треуг. ABC. На след-ем чертеже мы выбрали точ. K, а точ. L потом однозначно достраивается.

Количество точек, которые необходимо добавить к чертежу, для того, чтобы изображение стало полным, называетсякоэффициентом неполноты изображения. В последнем примере он равен 1.

Пр3. Данное изображение тетраэдра и прямой имеет коэффициент неполноты равный 2. Для того чтобы оно стало полным, необходимо добавить точки пересечения прямой с гранями пирамиды (и соответственно, часть линии сделать пунктирной). Мы добавляем точки M и N, а точки M_o и N_o однозначно достраиваются.

Задачи на построение на неполном изображении не имеют единственного решения. Недостающие элементы можно добавлять произвольно.

§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.

В дальнейшем, ради удобства изложения, мы не будем отличать оригинал от изобр-ия. Напр, если A – изобр-ие вершины многогранника,то мы наз. её вершиной.

Опре. Плоскость называется секущей для многогранника, если по обе стороны от этой плоскости есть точки этого многогранника. Каждая грань многогранника пересекается секущей плоскостью по отрезку. Объединение этих отрезов образует многоугольник, который называется сечением многогранника.

Например, сечением тетраэдра может быть треугольник или четы­рёхугольник. Поскольку граней всего 4, то других вариантов быть не может.

Сечением куба может быть трех-, четырёх-, пяти- или шестиугольник. Поскольку граней всего 6, то других вариантов быть не может.

Зад 1. Дано изображение треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребре AA₁ и гранях ABB₁A₁, BCC₁B₁. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P.

Решение. На чертеже данные точки выделены крупно. Если данному изображению добавить изображение R ={A, B, C, A₁} аффинного репера, то все точки будут заданы. Для примера мы показали, как построить вторичную проекцию N₃ точки N. Поэтому изображение является полным и задача имеет единственное решение.

Точки M и N принадлежат одной грани ABB₁A₁, поэтому они принадлежат одной стороне сечения. Проводим через нихпрямую линию до пересечения с ребром, но только с тем, которое принадлежит данной грани (на данном чертеже это ребро BB₁).

Получим точку X. Точки X и P принадлежат одной грани ABB₁A₁. Проводим через них прямую линию до пересечения с ребром, которое принадлежит данной грани. Получим точку Y. Точки Y и M принадлежат одной грани. Поэтому можем соединить их отрезком. Треугольник MXY – искомое сечение.

Возможны варианты, когдаMN пересечёт ребро AB, а не BB₁. В этом случае нам нужно найти точку, которая лежит в плоскости одной грани с точкой P.

1. MNBB₁=X, MNAB=D;

2. XPCC₁=Y, XPBC=E;

3. MDEY – искомое сечение.

Точно также точка Y может оказаться на продолжении ребра CC₁. Этот случай разберите самостоятельно.

Зад 3. Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребрах EE₁, DD₁ и грани ABB₁A₁. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P.

Реш. Мы будем искать пересечение секущей плоскости с рёбрами BB₁ и CC₁. Строим:

1. BEP₃D=Q₃, CEP₃D=R₃;

2. поднимаем Q₃, R₃ до PN и пол-ем т-ки Q и R;

3. MQBB₁=X, MRCC₁=Y;

4. XPAA₁=F, XYBC=G, NYDC=H;

5. MNHGXF – искомое сечение.

Данный путь решения не является единственным. На следующем чертеже показано, как можно было найти пересечение секущей плоскости с ребромAA₁. Затем, используя линии FN и AD, мы можем найти пересечение с ребром CC₁.

Зад 4. Дано изобр-ие четырёхугольной пирамиды SABCD и трёх точек M, N, P,которые лежат соответственно на ребре SС и гранях SAB, SAD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через M, N, P.

Реш. Строим сначала вторичные проекции данных точек: SPAD=P_o, SNAB=N_o.

1. CAP_oN_o=Y_o;2. SY_oPN=Y;

3. MYSA=X; 4. XPSD=F, XNSB=E;