ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3459
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Писание математических текстов
––
сложное искусство, и даже луч-
шие из математиков не всегда оказываются на высоте, а уж большинство
математических публикаций (будь то научные статьи или учебники, даже
для средней или начальной школы) вовсе не выдерживают никакой кри-
тики
29
.
Недавно издательство Московского центра непрерывного математиче-
ского образования прислало мне образцы своих вновь вышедших книг,
включая новые издания классической книги Р. Куранта и Г. Роббинса
«
Что такое математика?
»
и книги И. М. Гельфанда, Е. Г. Глаголевой и
Э. Э. Шноля
«
Функции и графики
»
. И я с ужасом увидел, что даже и мои
любимые книги следовало бы исправлять.
Например, в первой из этих книг я обнаружил фантастические транс-
литерации иностранных имен и фамилий: видно, что ни переводчик, ни
издатель, ни редактор нового издания не знали, о ком идет речь. Правда,
это наша старинная традиция: редко кто может понять, что
наш
«
Гейне
» –
–
это всем известный Хайне, да и наш
«
Гильберт
» –
–
на самом деле
Хильберт
;
наш
«
Гамбург
» –
–
на самом деле Хамбург
(последними на-
прашивающимися еще здесь очевидными примерами не хочу засорять свой
текст). Меня утешает только фантастическое произношение английских
слов французами (и французских
––
американцами). Например, по фран-
цузскому телевизору ежедневно можно узнать новости
«
острова Манатан
»
и
«
города Миами
»
(с ударением в обоих случаях на последней гласной;
29
По словам Харди,
«
писать о математике
––
печальное занятие
»
. Но я думаю, что он имел
личные причины печалиться, отсутствовавшие, например, у его постоянного сотрудника, весе-
лого альпиниста Литтлвуда, работы которого по теории гамильтоновых динамических систем
предвосхищают более поздние классические результаты Нехорошева об экспоненциальной
медленности эволюции. Открытия Литтлвуда в общей теории хаоса в динамических системах
называются теперь
«
теорией подковы Смейла
»
. Замечательная книга Литтлвуда
«
Матема-
тическая смесь
»
, рассказывающая больше о жизни, чем о математике,
––
и интересная, и
веселая. Непонятно только, как он мог уживаться с Харди, который выглядит на страницах
своей (саморазоблачающей, подобно четырехтомным
«
Воспоминаниям
»
Гротендика)
«
Апо-
логии математика
»
несчастным злодеем.
Правильный совет сочинителям математических текстов дал Пушкин (хоть он и был, по
словам Набокова,
«
посредственным математиком
»
). Пушкин писал в
«
Бове
»
(1814 г.):
«
Что
примера лучше действует
?
»
К сожалению, этому призыву сейчас мало кто следует, и пи-
сания современных математиков обычно неисправимо абстрактны и вовсе лишены примеров
(
«
Уж очень примеры трудны
»
,
––
сказал мне один великий современный математик).
Книги Бурбаки о группах симметрий правильных многогранников содержат массу теорем,
но для основного примера правильного многогранника, гиперикосаэдра с его 120 вершина-
ми и шестьюстами тетраэдральными гранями в четырехмерном пространстве, замечательно
красиво и просто описанного Коксетером уже в 1928 г., места у них не нашлось.
Основную причину исключения примеров сформулировал уже в 1876 г. крупнейший аме-
риканский математик Сильвестр: по его словам,
«
удивительный интеллектуальный феномен
»
состоит в том, что
«
доказательства общих утверждений проще доказательств содер-
жащихся в них частных случаев
»
.
71
i
i
i
i
i
i
i
i
поясню для затруднившихся, что речь идет о Манхеттене и о Майами).
Смейла мои французские друзья называют
«
Смалль
»
.
В 1965 г. около Ситэ Уинверситер в Париже, на Внешнем бульваре, вы-
сунувшийся из окна лимузина неимоверной длины cornfed (краснорожий)
американец потребовал от меня справки, как ему проехать на
«
Чэмпл-
Зи
»
. Я пытался вспомнить полузабытый немецкий язык (из-за его
«
Зи
»
),
но он, обратившись к заполнявшим машину старушкам в голубых и ро-
зовых детских платьицах с оборками и помпончиками, высунулся вновь с
предложенным ими вариантом:
«
Чамп Элайзи
?
»
Тут я (вспомнив, что я математик) расшифровал эти ребусы и объяснил
ему дорогу к Елисейским Полям. Через много лет моей жене на уроке
французского языка в Париже довелось читать вслух текст о канадской
семье, поселившейся в Париже на
«
Avenue de Champs Elys
´
ees
»
. И она,
вспомнив мой рассказ, произнесла этот адрес и как
«
Чамп Элайзи
»
, и
как
«
Чэмпл-Зи
»
. Однако ее вина не так уж велика. Председатель Ученого
совета Математического института им. В. А. Стеклова в Москве Иван
Матвеевич Виноградов, зачитывая названия диссертаций вроде
«
Об одном
свойстве одного решения одного дифференциального уравнения
»
, всегда
произносил
«
одного диофантова уравнения
»
(поправляясь с коммен-
тарием:
«
Ну, ничего, невелика птица
»
, когда перевирал и фамилию
оппонента).
Много лет спустя мне довелось председательствовать на этом же Со-
вете, и когда мне надо было объявлять о защите диссертации по теории
чисел, то я, вспомнив о Виноградове, нечаянно прочел слова
«
диофантово
уравнение
»
как
«
дифференциальное
»
!
Но вернемся к книгам МЦНМО. Открыв
«
Функции и графики
»
, я
был поражен фразой:
«
Значение функции f
(
x
)
в точке a мы будем
обозначать через f
(
a
)
»
.
Я всегда возражал против занудства бурбакистских оборотов речи (хо-
тя мои французские друзья в 1965 г., приглашая меня на
«
Конгресс
»
Бурбаки, говорили мне:
«
Что бы ты против бурбакизма ни возражал, мы-
то знаем, что главный бурбакист в Москве
––
это ты!
»
).
В случае определения
f
(
a
) я, пожалуй, на стороне терминологической
четкости Бурбаки.
Функцией является не
sin
x, а синус, не f
(
x
)
, а f. Зна-
чение функции f в точке x
–
–
вот что означает символ f
(
x
)
, а вовсе
не саму функцию
. Смешение функций (операторов, функторов и т. д.)
с их значениями
––
недопустимая в преподавании небрежность, делающая
огромное число математических текстов совершенно неудобочитаемыми.
Иерархия типов объектов, различающая элементы и множества, ото-
бражения и значения, области определения и т. д., столь же необходима
для понятности текста, как
обязательное упоминание квантора перед
72
i
i
i
i
i
i
i
i
каждым вводимым вновь объектом
(особенно в русском тексте, где нет
артиклей, иногда заменяющих кванторы).
Что означает фраза:
«
значение функции
f
в точке
x
положительно
»
,
если о точке этой речи еще не было? Утверждения
«
значение функции
f
положительно
в каждой
точке
x
»
и
«
существует
точка
x
, в которой
значение функции
f
положительно
»
имеют совершенно разный смысл. Хотя
грамматически
и допустимо заменить любое из них приведенной выше
фразой,
математически
такая замена совершенно недопустима!
Еще одна типичная ошибка, делающая русские статьи непереводимыми
на английский,
––
это русские родительные падежи.
«
Рассмотрим значе-
ние величины
x
» ––
что здесь
x
––
величина или значение? Редакторский
принцип таков:
«
отец всегда неизвестен
»
. В математике это приводит
к такой же неоднозначной трактуемости текста, как и неизвестно к кому
относящиеся местоимения:
«
Иван просил отца, чтобы он купил ему козла,
чтобы он ездил на нем
»
; спрашивается, кто на ком будет ездить? Козел на
отце? В математике контекст далеко не всегда помогает сделать правиль-
ный выбор. Мне приходилось сталкиваться со случаями, когда редактор
изменял смысл фразы на
прямо противоположный
, так как в правильное
содержание не мог поверить, в силу его нетривиальности.
Но вернемся к
«
Функциям и графикам
»
. Перелистывая этот школьный
учебник, я обнаружил в нем массу грубых ошибок, за которые школьник
получил бы двойку (включая неверный график функции
y
=
3
x
, соответ-
ствующий, скорее, случаю
x
=
3
y
), а еще больше
––
совершенно непонят-
ных утверждений (некоторым из которых я даже умел придать правильный
смысл, но которые читателем-школьником будут в лучшем случае просто
не поняты, а в худшем
––
вследствие неправильного понимания которых он
навсегда впадет в заблуждение)
30
.
Вот еще один пример постоянно встречающегося в русских книгах и
30
Неожиданные ошибки я встретил и в публикации моей собственной лекции, также
изданной МЦНМО:
«
Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов
»
(М., 2002). Там
написано:
«
Определение. Произведение комплексного числа на сопряженное ему называется
квадратом модуля комплексного числа. Лемма. Модуль
––
действительное неотрицательное
число. Доказательство. Квадрат модуля больше или равен нулю, поэтому модуль
––
тоже
»
.
Разумеется, я не мог ни произнести, ни написать такую чушь. Из положительности ква-
драта числа вывести положительность самого числа невозможно. Видимо, слова
«
Лемма
»
и
«
Доказательство
»
добавлены либо записывавшими лекцию слушателями, либо редакторами.
Но подобные мелочи не безобидны. Они серьезно подрывают у читателей понимание того,
что такое математическое доказательство, и напоминают мне прочитанное во французском
учебнике для математиков определение импликации:
«
Пусть
A
и
B
––
два любых утверждения.
Если оба они верны, то говорят, что из
A
вытекает
B
»
.
После таких
«
импликаций
»
учить студентов каким бы то ни было естественным наукам бес-
полезно: они думают, что из того, что дважды два четыре,
«
вытекает
»
, что Земля вращается
вокруг Солнца.
73
i
i
i
i
i
i
i
i
статьях неологизма: термин
«
линейное пространство
»
. Во всем мире
слово
«
линейный
»
означает
«
одномерный
»
(как линия):
«
линейный эле-
мент
» ––
это бесконечно малый кусочек кривой,
«
линейное расслоение
» ––
расслоение на прямые, и т. п.
То, что в России долго называли
«
линейными пространствами
»
, по-
всеместно называли и называют
«
векторными пространствами
»
(хо-
тя термины
«
линейные функции
»
и
«
линейные операторы
»
всеми упо-
требляются: в этих случаях подозрения о предполагаемой одномерности
не возникает)
31
.
При всех недостатках нашей математической литературы, она все же
остается одним из последних оазисов настоящей научной культуры, с тру-
дом сохраняющейся в окружении американизирующейся действительности
супермаркетов и компьютеров.
На недавнем заседании Исполнительного комитета Международного
математического союза в Париже коллеги долго меня пытались убедить,
будто
художники должны смириться с неизбежностью победы фо-
тографии над живописью
, а сопротивляться этим процессам, как то
пытаюсь делать я, дескать, бессмысленно.
В математике их проект состоит в том, чтобы за несколько лет
пол-
ностью запретить во всем мире любое некомпьютеризированное
математическое суждение. Все математические публикации про-
шлого предлагается собрать
(
заплатив много миллионов долларов
)
в единое компьютерное издание
. Сочинение любого последующего ма-
тематического текста станет доступным самым безмозглым
«
узким специ-
алистам
»
по математике по модулю пять, незнакомым с математикой по
модулю семь, которые будут компьютерным путем компилировать
«
новые
достижения
»
, соединяя отдельные строки или страницы старых публи-
каций вроде полей Диофанта. И вся эта деятельность обещает давать
31
Когда я был
«
студентом
»
Сорбонны, мой профессор Ж. Лере рассказал мне, что он
не смог своевременно оценить по заслугам замечательную работу И. Г. Петровского о
лакунах для гиперболических уравнений из-за того, что Петровский утверждал в ней, будто
кокасательное расслоение любой сферы тривиально.
Разумеется, Петровскому нужна была только локальная тривиальность, но одно про-
пущенное слово уже может серьезно помешать читателю. Быть может, в этом одна из
причин, почему в списке филдсовских медалистов нет ни Петровского, ни Колмогорова, ни
Понтрягина, ни Лере.
Впрочем, отсутствие в этом списке таких имен, как, скажем, Г. Вейль, С. Черн, М. Морс,
Х. Уитни (называю лишь первые приходящие в голову недостающие имена) больше говорит о
свойствах филдсовских комитетов, чем об этих замечательных математиках, чьи достижения
составляют славу математики XX в.
По счастью, филдсовская пропаганда и дискриминация оказывает на развитие математики
и на репутации математиков не больше влияния, чем включение математической задачи в
список проблем Гильберта.
74
i
i
i
i
i
i
i
i
большой доход (кому
––
я не сумел узнать, но, видимо, организаторам этого
проекта
––
в первую очередь).
Как я ни пытался объяснить коллегам, что
важнее заботиться об
интересах производителей, чем продавцов
(
даже, например, нуж-
но поддерживать производителей пищи, а не организаторов цепей
продающих ее супермаркетов
), поддержки у представляющих матема-
тиков всех стран деятелей, составляющих Исполнительный комитет Меж-
дународного математического союза, я не нашел.
«
Русские не понимали и
не понимают бизнеса
»
,
––
сказали они мне.
Напротив, они рекомендовали в свою
«
Комиссию по образованию
»
специалиста по
«
дидактике применения компьютерной технологии для пе-
рестройки математического образования
»
, хотя эта
лемминговская само-
убийственная тенденция состоит просто в том, чтобы перестать
учить детей чему бы то ни было настоящему, особенно думать, а
все думание заменить нажиманием на кнопки компьютера: ведь в
Америке думать не учат
!
Французский школьник-отличник на вопрос
«
Сколько будет два плюс
три?
»
отвечает:
«
Три плюс два, так как сложение коммутативно
»
, а считать
до пяти, хотя бы на пальцах, его не научили (видимо, вследствие
«
компью-
терной дидактики
»
).
Студент четвертого курса одного из лучших университетов (на пись-
менном экзамене по теории дифференциальных уравнений, где я запретил
пользоваться компьютерами и калькуляторами):
«
А как же я узнаю,
будет ли число 4/7 больше или меньше единицы
?
»
Ему нужно было для решения трудной задачи об асимптотике решения
дифференциального уравнения выяснить, сходится ли некоторый интеграл,
и это зависело от показателя в асимптотике подынтегральной функции, ко-
торый действительно был равен 4
/
7 (и для нахождения которого студенту
потребовалась пара страниц нетривиальных математических рассуждений
качественной теории дифференциальных уравнений, которой учил его я, и
с которыми студент хорошо справился). Но
простым дробям его учил не
я, а
«
компьютерные дидактики
»
, и он ничего в дробях не понимал
,
а ведь хороший был студент!
Такое американизированно-компьютеризованное
«
обучение
»
совер-
шенно бессмысленно, но, к сожалению, оно постепенно, но неуклонно,
завоевывает мир: ведь потребность в понимании и думании
«
отпадает
»
,
что и является идеалом для бюрократических хозяев жизни, которые всегда
стремятся обезопасить себя от конкуренции со стороны людей мыслящих
и компетентных.
Уже упомянутый Международный математический союз принял реше-
ние
повысить с этого года на 10 процентов членские взносы для
75