ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2019
Просмотров: 3460
Скачиваний: 58
i
i
i
i
i
i
i
i
Для уравнений алгебраических кривых высокой степени
{
H
(
x
,
y
)
=
0
}
одного знания степени недостаточно для заключения о рациональности
кривой рода
g
=
0. Все неособые кривые степени
n
имеют одинаковый и
большой род, даваемый формулой Римана, так что рациональные следует
искать среди особых кривых.
Оказывается, здесь тоже имеется простой общий критерий: появле-
ние особенностей контролируемым образом уменьшает род, так что для
рациональности нужно только, чтобы у кривой было достаточно много
особенностей (хотя бы комплексных).
А именно, каждая простая особая точка (самопересечение кривой) за-
меняет одну трубочку в построении римановой поверхности кривой, близ-
кой к набору
n
прямых, а потому уменьшает род на 1, так что достаточно
иметь (
n
−
1)(
n
−
2)
/
2 точек самопересечения, чтобы род был нулем и все
абелевы интегралы вдоль этой кривой выражались бы в элементарных
функциях.
Например, так обстоит дело для кубических кривых, имеющих хоть
одну особую точку: (3
−
1)(3
−
2)
/
2
=
1, так что все особые кубические кри-
вые рациональны. Комплексная точка самопересечения может выглядеть
на вещественной кривой как изолированная точка (пример:
{
y
2
=
x
3
−
x
2
}
).
Доказательство теоремы Абеля об интегралах топологическое: если род
больше нуля, то характер многозначности выражающей интеграл ком-
плексной функции (измеряемый надлежащей группой монодромии, т. е.
неоднозначности) более сложен, чем таковой для всех комбинаций эле-
ментарных функций (главное здесь
––
абелевость, т. е. коммутативность,
групп монодромии исходных многозначных элементарных функций
z
1
/m
и
log
z
, через которые выражаются и остальные).
Работы Абеля, связавшие так много областей математики, были наив-
но представлены им для публикации Парижской академии наук, которая
поручила Коши оценить их. В результате тексты Абеля были потеряны
на много лет, так как Академия оказалась
6
не в состоянии их оценить
вследствие их чрезмерной для нее новизны (впрочем, подобным же образом
Коши и Академия обошлись несколькими годами позже и с Галуа). Хотя
Лиувилль в конце концов и опубликовал их обоих, топологические идеи
Абеля остаются и сегодня в тени и не включаются почему-то в универси-
6
Абель жаловался, что французские математики хотят только всех учить, не желая сами
ничему учиться: один из них разбирается только в своей небесной механике (это Лаплас),
другой
––
только в теории упругости (это Пуассон), третий
––
только в теории тепла (это
Фурье), а Коши думает только о своем приоритете в решении всех на свете вопросов
(например, проблемы Ферма).
Французы же опубликовали в газете, когда Абель в конце концов уехал от них в Хри-
стианию, что долго живший в Париже бедняк был настолько беден, что вынужден был
26
i
i
i
i
i
i
i
i
тетские учебники анализа (Гурса их еще упоминал, но Бурбаки, пытаясь
овладеть теоремой Стокса и векторным анализом, поставил себе задачей
преодолеть влияние Гурса и блестяще с этим справился, хотя до не понятой
им теоремы Стокса так и не добрался).
В 1963
––
64 гг. я читал лекции об этой топологической теории
школь-
никам
московской школы-интерната №18, и один из них (В. Б. Алексеев)
впоследствии их опубликовал в виде книжки
«
Теорема Абеля в задачах
и решениях
»
. М.: Наука, 1976. Я воспользовался этой темой, чтобы за
семестр рассказать школьникам с нулевыми начальными знаниями такие
вещи, как комплексные числа,
«
формулу Муавра
»
, фундаментальную груп-
пу, топологию римановых поверхностей, разветвленные накрытия, моно-
дромию, группы преобразований и симметрий, группы перестановок, дока-
зательство неразрешимости алгебраических уравнений высших степеней.
А. Г. Хованский, бывший тогда моим учеником, перенес идеи мое-
го топологического доказательства теоремы Абеля на дифференциальную
алгебру и теорию линейных дифференциальных уравнений, где группа мо-
нодромии состоит не из перестановок, а из линейных операторов, да и
понятие фундаментальной группы нужно усовершенствовать из-за беско-
нечного, вообще говоря, числа точек ветвления. К его достижениям в этой
области относится доказательство невозможности представления реше-
ний дифференциальных уравнений, вроде гипергеометрического уравнения
Гаусса, причем он доказал не только непредставимость при помощи эле-
ментарных функций и их интегралов, но непредставимость даже и если,
кроме того, допускать к участию в формуле для решения произвольные
однозначные голоморфные функции от нескольких переменных.
В самые последние годы я прочел в журнале
«
Topological Methods in
Nonlinear Analysis
»
статью молодого польского математика (долго учив-
шегося в Москве)
«
Новое топологическое доказательство теоремы Абе-
ля
»
, как две капли воды похожее на мои лекции 1963
––
64 гг., изданные
В. Б. Алексеевым в 1976 г. Причем в списке литературы книга Алексеева
упомянута (рядом с цитатой из книги Новикова, Дубровина и Фоменко,
указавших, что топологическое доказательство
«
существует
»
, но не со-
славшихся на какое-либо его изложение).
возвращаться в свою область Сибири, называемую Норвегией, пешком по льду Атланти-
ческого океана. На самом деле Абель переправлялся на одном из первых пароходов, и денег
на билет у него вполне хватало.
Из недавно выпущенной издательством
«
Шпрингер
»
интереснейшей биографии Абеля
можно узнать, в частности, что его первоначальное математическое образование дал ему
отец-священник, обучавший его, будто 0
+
n
=
0. Это вселяет надежду, что и вред от подго-
тавливаемой
«
модернизации
»
школьного обучения в России будет меньше, чем тот, которого
хотели бы добиться реформаторы (например, сокращая число часов на обучение математике
в два-три раза, а логарифмы, литературу или физику желая отменить вовсе).
27
i
i
i
i
i
i
i
i
Вопрос о том, кого считать автором того или иного математического
достижения, не столько научный, сколько социальный.
Ю. И. Манин в своей цитированной выше статье о
«
математике как
профессии и призвании
»
пишет, что никакое разумное правительство или
сообщество не станет кормить людей, занимающихся тем переливанием
из пустого в порожнее, к которому он приравнивает все занятия матема-
тикой: ведь если в результате игры с символами и получается что-либо
полезное, то это просто означает, что оно содержалось уже в исходных
предпосылках.
Поэтому, заключает философ, математикам пришлось изобрести свой
метод, как получать гранты, стипендии и тому подобное субсидирование
своей науки: этот метод состоит в том, чтобы
претендовать
на открытия,
которых не совершал (и к которым жонглирование цепочками символов и
не может привести по самой своей природе).
Но это претендование
––
не простое искусство, и чтобы обучать ему
не испорченную еще им молодежь, служат, согласно Манину, колледжи,
университеты и факультеты, где именно и обучают искусству саморекламы
и претенциозности. Это, будто бы, и составляет
суть математического
образования
.
Хотя я категорически не согласен с этим философскими мнениями как с
идеалом, я вынужден согласиться, что объективное рассмотрение состоя-
ния дел нередко их подтверждает, как констатацию беды. По долгу службы
я участвую в комиссиях для отбора из числа сотен кандидатов на пре-
подавательские и профессорские места в ряде университетов, например,
в Париже. И я заметил, что при честном демократическом голосовании
всегда остаюсь в меньшинстве, голосующем за сильных кандидатов, а
наибольшее число голосов получает далеко не самый сильный кандидат
(а часто даже и самый слабый из претендентов на место).
Мои коллеги так объяснили мне это явление:
«
Мы прекрасно пони-
маем, кто сильнее, но
голосуем за слабейшего, часто просто из чув-
ства самосохранения
––
ведь через пару лет он будет нашим
соперником
при очередном продвижении, и поэтому
лучше выбрать кого послабее
.
К тому же,
если бы мы, как ты, считались только с научными дости-
жениями и перспективами кандидатов, то нам пришлось бы на все
посты назначать одних русских
: они подготовлены гораздо лучше всех
остальных, и это нам всем совершенно очевидно
»
.
Среди обсуждавшихся тогда кандидатов русских как раз не было, но в
общих чертах я скорее согласен с высокой оценкой их подготовки. Дело в
том, что уровень научного образования во всех странах неуклонно снижа-
ется, а Россия и в этом общемировом процессе, как и в других, отстает.
Например, наши школьники до сих пор свободно складывают дроби, тогда
28
i
i
i
i
i
i
i
i
как американские
студенты
давно уже думают, будто 1
/
2
+
1
/
3
=
2
/
5.
Калифорния приняла даже постановление, подготовленное комиссией, ру-
ководимой Нобелевским лауреатом Гленом Сиборгом, и оспаривавшееся
федеральными властями как
«
антиконституционное
»
, требовать от посту-
пающих в университеты математиков умение делить 111 на 3 без ком-
пьютера (чего большинство из них не умеет). Сенаторы пытались проти-
востоять этому обучению
«
вещам, которые им (сенаторам) непонятны и
недоступны
»
.
Международный математический союз, членом Исполнительного ко-
митета которого я сейчас (до августа 2002 г.) являюсь (а был даже и
вице-президентом), демократическим голосованием своей Ассамблеи при-
нимает важные для оценки математиков во всем мире решения, например,
о переводе той или иной страны из одной
«
категории
»
в другую.
Это деление на категории (от первой до пятой) было введено в на-
чале XX в., во времена Пуанкаре и Гильберта, по простому принципу: в
некоторых странах
один
серьезный математик
––
их включили в
первую
категорию, и так далее до пятой включительно, а больше пяти математиков
мирового класса в одной стране
«
не бывает
»
.
При различных международных голосованиях страны разных катего-
рий имеют разное число голосов, так что принадлежать к той или иной
категории практически важно (меняется и членский взнос страны). При
обсуждении перевода страны в категорию повыше предъявляется список
работ, опубликованных этой страной в предыдущие годы.
Рассматривая эти списки, я заметил, что была бы нужна нулевая ка-
тегория: огромное большинство опубликованных работ не заслуживало
публикации. В разных случаях у меня получались, в зависимости от кри-
териев, немного разные статистики, но в среднем
число напрасных пу-
бликаций оказывается б
´
ольшим
90% (
возможно, мировое среднее
––
99%)
7
.
Статьи, нужные прежде всего их авторам для карьеры и трудоустрой-
ства, легко опознаются по названиям (вроде
«
Об одном свойстве одного
решения одного дифференциального уравнения
»
).
7
Подчеркну, что речь здесь идет не о моих личных интересах, а о попытке объективной
оценки работ по степени их новизны: лично меня интересует по своей тематике и немало таких
работ, публикацию которых я, по рассмотрении, признаю ненужной. Типичный результат
(верной) ненужной работы такой: шесть раз по семь дюжин составляет сорок две дюжины. Не
нужно это публиковать потому, что аналогичный результат для яблок вместо дюжин хорошо
известен.
Чтобы понимать, что такое математика, вовсе не обязательно быть математиком. Маяков-
ский сказал, что
«
человек, открывший, что дважды два
––
четыре, был великим математиком,
даже если он открыл это, считая окурки. А тот, кто теперь считает по той же формуле гораздо
б
´
ольшие предметы, например локомотивы, никакой не математик
»
.
29
i
i
i
i
i
i
i
i
Именно к поощрению или прославлению такого рода массовой дея-
тельности чаще всего приводят принимаемые
«
демократическим большин-
ством
»
решения (включая даже присуждение самых престижных наград,
вроде нобелевских
––
чтобы не говорить о математике
––
премий): ведь это
демократическое большинство как раз и состоит из занимающихся
«
одним
свойством...
»
так называемых
«
узких специалистов
»
.
Они распространяют легенду, будто в наш век никто и не может пони-
мать больше, чем один узкий вопрос (об особенностях строения мизинца
левой ноги у обезьян такого-то вида, живших в таком-то тысячелетии).
И никакие попытки вернуться к более широким точкам зрения не оказы-
ваются успешными: ведь люди яростно отстаивают интересы своего клана
и свои собственные. Я даже решил, в конце концов, публиковать свои
личные мнения о заслуживающих внимания работах, так как
научный вес
мнения одного человека легко может в описанных условиях быть
больше, чем подлинная
(научная, а не рекламная)
ценность
«
демо-
кратических
»
решений целых научных комитетов этих
«
специали-
стов
»
8
.
Статью Манина, о которой я здесь рассказываю, заказал ему я сам,
для книги, подготавливавшейся и выпущенной к концу тысячелетия Меж-
дународным математическим союзом.
Во время Берлинского Всемирного Математического Конгресса 1998 г.
мы встретились с Маниным, и я сказал ему, что срок сдачи книги в ти-
пографию уже подходит, а его статьи еще нет. Тогда Манин рассказал
мне, что пишет статью, и сообщил ее первые два тезиса
––
о том, что такое
математика и что такое математическое образование (которые я пересказал
выше).
Я стал резко возражать, и Манин обещал письменно ответить на мои
возражения своим третьи тезисом, что он вскоре и сделал. Вот этот те-
зис. Введение к нему я понял так:
«
Некоторые идиоты утверждают, будто
математика
полезна
для прогресса человечества, физики, техники, инже-
нерного дела...
»
(в тексте статьи слова
«
идиоты
»
нет, но утверждал это в
Берлине именно я, который тоже не назван в статье).
Третий тезис посвящен как раз вопросу о
пользе математики
. Здесь
цитируется мнение Г. Харди (в его книге
«
Апология математика
»
), ком-
ментирующего слова Гаусса, что
«
теория чисел
––
королева математики
»
.
По словам Харди,
главная общая черта королевы и теории чисел
–
–
8
Мнение одного Ньютона или Пуанкаре может значить больше, чем голосование десятков
Лейбницев или Харди (даже после того, как Лейбниц признал ошибочность своего мнения,
будто производная от произведения равна произведению производных сомножителей, и да-
же если бы Харди признал сделанные после 50 лет, в противоречие с его мракобесными
заявлениями, цитиремыми ниже, работы Эйлера или Гаусса).
30