ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4949
Скачиваний: 5
437.
За повніть таб ли цю:
438.
По кажіть за до по мо гою ма люнків ку ти:
а) 420
°
; 540
°
; 670
°
; 730
°
; 890
°
;
б) ; ; ; ; .
439.
Які зна ки ма ють sіn
α
, соs
α
, tg
α
, як що
α
дорівнює:
а) ; б) 1,2
π
; в)
π
; г)
π
; ґ)
π
?
440.
Виз нач те знак ви ра зу:
а) sіn 2
⋅
соs 3; б) sіn 4
⋅
tg 5;
в) соs
⋅
соs
π
; г) tg
⋅
соs 2
π
.
441.
Збіль шуєть ся чи змен шуєть ся зна чен ня sіn
х
при збіль?
шенні чис ла
х
від 0 до ? А при збіль шенні
х
від до
π
?
442.
Збіль шуєть ся чи змен шуєть ся зна чен ня соs
х
при збіль -
шенні чис ла
х
від 0 до 2? А при збіль шенні
х
від 2 до
π
?
443.
Збіль шуєть ся чи змен шуєть ся зна чен ня tg
х
при збіль?
шенні чис ла
х
від 0 до ? А при збіль шенні
х
від –
до 0?
444.
Об числіть за до по мо гою каль ку ля то ра:
а) sіn 1,5; б) sіn 2,7; в) соs 0,8; г) tg 1,5.
Об числіть
(445–447)
.
445.
446.
а) sіn 2,5
π
; б) соs 3
π
; в)
г)
447.
α
0,5
π
π
1,5
π
2
π
2,5
π
3
π
3,5
π
sіn
α
соs
α
tg
α
§ 11
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ
97
448.
Знайдіть зна чен ня ви ра зу:
а) sіn
х
⋅
соs
х
, як що
x
=
; б) sіn
х
+ соs
х
, як що
x
=
.
449.
Що біль ше: а) sin 1
°
чи sin 3
°
; б) sin 1 чи sin 3?
450.
Які
з
чи
сел ; ; ; ; ; ; ; :
а) менші за 1; б) більші за 2?
451.
Які з чи сел sin 2; соs 2; tg 2; sin 3; соs 3 від’ємні?
452.
Розмістіть у по ряд ку зрос тан ня чис ла:
sin 0; соs 0; sin 1; сos 1; sin 2; соs 2; sin 3; соs 3.
453.
Який знак має:
sin 3; sin 3,1; sin 3,5; sin 7,2; sin (–2); соs 7?
454.
Об числіть за до по мо гою мікро каль ку ля то ра (з точ ні стю
до ти сяч них):
sin 2; tg 0,5; соs 0,5; sin 3,14; sin
π
; sin
; tg
.
455.
Знайдіть зна чен ня ви ра зу (з точністю до ти сяч них):
а) sin
α
+ соs
α
, як що
α =
2;
α =
0,3;
α =
;
б) 2 sin
α
соs
α
, як що
α =
1;
α =
2,7;
α =
13;
в) 1 + tg
2
α
, як що
α =
0,7;
α =
12,5;
α =
.
Об числіть зна чен ня ви ра зу
(456–458)
.
456.
457.
458.
в) sin 2,5
π
+ соs 2,5
π
; г) tg 4
π
+ sin 3
π
.
459.
Швидкість од но го літа ка на 100 км/год біль ша від швид-
кості дру го го. То му пер ший до лає відстань 980 км на 0,4 год дов -
ше, ніж дру гий – відстань 600 км. Знайдіть швид кості літаків.
Á
Ðîçäië
2
98
460.
Розв’яжіть нерівність:
а) 5(
х
+ 2) – 2(
х
–3) < 3(
x
– 1) – 4(
х
+ 3);
б) 3(2
x
– 1) – 3(
х
– 1)
5(
х
+ 2) + 2(2
x
– 3).
461.
Ки да ють два граль них ку би ки. Яка ймовірність то го,
що на них ви па дуть оч ки, су ма яких дорівнює: а) 5; б) 6; в) 7?
Відо мо ба га то то тож нос тей, які по -
в’язу ють різні три го но мет ричні функ -
ції. Розг ля не мо най важ ливіші з них.
Співвідно шен ня між три го но мет -
рич ни ми функціями о д н о г о а р г у -
м е н т у. При га даємо рівнян ня ко ла.
Як що
х
і
у
– абс циса й ор ди на та
якої?не будь точ ки оди нич но го ко ла,
то
х
2
+
у
2
=
1 (мал. 60), соs
α
і sin
α
–
абсци са й ор ди на та де я кої точ ки оди -
нич но го ко ла (мал. 58). То му, яке не
бу ло б дій сне чис ло
α
, завж ди соs
2
α
+
+ sin
2
α =
1. Це –
ос нов на три гоно мет рич на то тожність
.
Приєднав ши до неї ще фор му ли, які вип ли ва ють з оз на чен ня
тан генса і ко тан ген са, діста не мо такі то тож ності (за умо ви, що
tg
α
i ctg
α
– існу ють):
sin
2
α
+ соs
2
α =
1; (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Фор му ли (4) і (5) мож на до вес ти так:
§ 12. Основні тригонометричні формули
§ 12
ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ
99
Мал. 60
Фор му ла (6) до во дить ся ана логічно.
Ко рис ту ю чися ци ми фор му ла ми, мож на чис ло ве зна чен ня
будь?якої три го но мет рич ної функції ви ра зи ти че рез зна чен ня
іншої три го но мет рич ної функції та ко го са мо го ар гу мен ту. Але
при ць о му тре ба вра хо ву ва ти, якій чверті на ле жить цей ар гу -
мент. Нап рик лад:
1.
Знайдіть соs
α
і tg
α
, як що sin
α =
0,6 і
<
α
<
π
.
Р о з в ’ я з а н н я.
Як що
<
α
<
π
, то соs
α
< 0. Оскіль ки sin
α =
=
0,6 і соs
2
α
+ sin
2
α =
1, то соs
α =
Тоді
2.
Знайдіть sin
α
, соs
α
і сtg
α
, як що
Р о з в ’ я з а н н я.
Відо мо, що
і
α
– кут третьої
чверті, то му:
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Сфор му люй те ос нов ну три го но мет рич ну то тожність. До ведіть її.
2.
Які фор му ли пов’язу ють си нус, ко си нус і тан генс або ко тан генс то го
са мо го чис ла?
3.
Як пов’язані тан генс і ко тан генс то го са мо го чис ла?
4.
Чи пра виль но, що тан генс і ко тан генс то го са мо го чис ла – чис ла од -
но го зна ка?
1.
Чи пра виль но, що при будь?яко му зна ченні
х
:
Р о з в ’ я з а н н я.
Як що
π
<
х
< 2
π
, то sin
х
< 0. У цих ви пад ках
sin
х
=
. Як що
, то соs
х
< 0, і от же,
Ðîçäië
2
100
. То
му на
ве
дені в за
дачі рівності пра
вильні не
завж ди.
2.
Спростіть ви раз sin
α
– tg
α ⋅
соs
α
.
Р о з в ’ я з а н н я.
sin
α
– tg
α ⋅
соs
α =
sin
α
–
⋅
соs
α =
=
sin
α
– sin
α =
0.
3.
Об числіть sin
2
3 + ctg
2
3
⋅
sin
2
3.
Р о з в ’ я з а н н я.
sin
2
3 + ctg
2
3
⋅
sin
2
3
=
sin
2
3 +
⋅
sin
2
3
=
=
sin
2
3 + соs
2
3
=
1.
Спростіть ви раз
(462–464)
.
462.
а) 1 – sin
2
α
;
б) 1 – соs
2
α
;
в) tg
2
α
соs
2
α
;
г) 5соs
2
β
– 5;
ґ) 7 sin
2
β
– 7;
д) tg
β
ctg
β
.
463.
464.
а) 2sin
2
α
+ 2соs
2
α
;
б) –sin
2
x
– sin
2
x
;
в) sin
2
3
α
+ соs
2
3
α
;
г) 1 – sin
2
с
– соs
2
с
.
До ведіть то тожність
(465, 466)
.
465.
а) (1 – sin
2
α
)tg
2
α =
1 – cos
2
α
;
б) tg
2
α
– sin
2
α =
tg
2
α
sin
2
α
.
466.
а) (tg
α
+ ctg
α
) cos
2
α =
ctg
α
;
б) (1 – cos
2
α
)(1 + tg
2
α
)
=
tg
2
α
.
Спростіть ви раз
(467, 468)
.
467.
а) 1 – sin
2
α ⋅
ctg
2
α
;
б) (1 – cos
α
)(1 + cos
α
);
в) 2 – cos
2
α
– sin
2
α
;
г) (соs
х
– 1)(2 + 2 соs
х
);
ґ) sin
α
cos
α
tg
α
;
д) tg
α
ctg
α
– соs
2
α
.
468.
469.
Відо мо, що кут
α
гост рий. Об числіть зна чен ня:
а) cos
α
, як що sin
α =
;
б) sin
α
, як що cos
α =
;
в) tg
α
, як що cos
α =
;
г) ctg
α
, як що tg
α =
4.
À
§ 12
ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФОРМУЛИ
101