ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4952
Скачиваний: 5
470.
Зна ю чи, що sin
α =
, об числіть зна чен ня cos
α
, tg
α
i
ctg
α
за умо ви, що:
а) 0 <
α
< ; б)
<
α
<
π
.
471.
Зна ю чи, що cos
α =
0,8, об числіть зна чен ня sin
α
, tg
α
i
ctg
α
за умо ви, що:
а) 0 <
α
< ; б) –
<
α
< 0.
472.
Спростіть ви раз:
а) sin
2
α
+ соs
2
α
– tg
α
ctg
α
;
б)
в) 1– (sin
α
+ cos
α
)
2
;
г) (1– sin
α
)(1 + sin
α
);
ґ) tg
α
ctg
α
– соs
2
α
;
д) sin
α
cos
α
ctg
α
.
473.
До ведіть то тожність:
а) (1– sin
2
α
)
⋅
tg
2
α =
sin
2
α
; б) (1– соs
α
)(1 + соs
α
)
=
sin
2
α
;
в) 1– sin
2
α
– соs
2
α =
0;
г) sin
4
α
+ sin
2
α
соs
2
α
+ соs
2
α =
1.
474.
До ведіть то тожність:
а) sin
4
α
– соs
4
α =
sin
2
α
– соs
2
α
;
в) sin
2
α
– sin
2
β =
соs
2
β
– соs
2
α
;
До ведіть то тожність
(475–477)
.
475.
a) 1 + sin
α
+ соs
α
+ tg
α =
(1 + соs
α
)(1 + tg
α
);
б) (sin
α
+ tg
α
)(соs
α
+ ctg
α
)
=
(1 + sin
α
)(1 + соs
α
).
476.
a) sin
3
α
(1 + ctg
α
) + соs
3
α
(1 + tg
α
)
=
sin
α
+ соs
α
;
б) 3(sin
4
α
+ соs
4
α
) – 2 (sin
6
α
+ соs
6
α
)
=
1.
477.
Спростіть ви раз
(478–480)
.
478.
а) 1 – соs
2
α
+ sin
2
α
;
б) 1 – sin
2
α
+ sin
2
α
ctg
2
α
;
в) (1 + tg
2
α
) соs
2
α
;
г) (tg
β
соs
β
)
2
+ (ctg
β
sin
β
)
2
.
479.
а) (tg
α
+ ctg
α
) соs
2
α
;
б) 1 – sin
β
соs
β
tg
β
;
в) соs
4
α
+ sin
2
α
соs
2
α
;
г) (tg
ϕ
+ ctg
ϕ
) sin
ϕ
соs
ϕ
.
480.
Á
Ðîçäië
2
102
481.
Знайдіть зна чен ня:
а) sin
α
, tg
α
, ctg
α
, як що соs
α =
–
і 90
°
<
α
< 180
°
;
б) соs
α
, tg
α
, ctg
α
, як що sin
α =
–0,8 і 180
°
<
α
< 270
°
;
в) sin
α
, соs
α
, ctg
α
, як що tg
α =
–1 і 270
°
<
α
< 360
°
.
482.
По бу дуй те графік функції
у
=
4 –
x
2
. При яких зна чен -
нях во на зрос тає, а при яких спа дає? Знайдіть її нулі і найбіль -
ше зна чен ня.
483.
Спростіть ви раз:
484.
Розв’яжіть рівнян ня:
Кож ну три го но мет рич ну функцію
кутів
± α
,
π ± α
,
± α
, 2
π ± α
мож?
на ви ра зи ти че рез три го но мет рич ну
функцію ку та
α
. По ка же мо це спо чат -
ку для си нусів і ко си нусів.
Не хай
α
– довіль ний кут, ви ра же -
ний у радіанах. На одинично му колі
йо му відповідає пев на точ ка
А
, а ку ту
–
α
– точ ка
В
(мал. 61). Опус тив ши
пер пен ди ку ля ри
АK
на вісь
х
,
ВL
на
вісь
у
, діста не мо два рівних три кут ни ки
АОK
і
ВОL
(оскільки
∠
АОK
= ∠
ВОL
і
ОА
=
ОВ
). То му
ОL
=
ОK
і
ВL
=
АK
, тоб то
Ку там
+
α
i –
α
на оди нич но му колі відповіда ють точ ки,
си метричні віднос но осі
у
(мал. 62). Їх ор ди на ти рівні, абс ци си
про ти лежні. То му
§ 13. Формули зведення
§ 13
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
103
Мал. 61
Ку там
π
–
α
і
α
та кож відповіда ють точ ки оди нич но го ко ла,
си метричні віднос но осі
у
(мал. 63). То му
sin (
π
–
α
)
=
sin
α
, соs (
π
–
α
)
=
–соs
α
.
Ку там
π
+
α
і
α
(а та кож
–
α
і –
α
, +
α
і +
α
) від по?
віда ють точ ки оди нич но го ко ла, си -
мет ричні віднос но по чат ку ко ор ди -
нат (мал. 64). Їх ор
ди
на
ти про
ти
-
лежні й абс циси та кож про ти лежні.
То му
sin(
π
+
α
)
=
–sin
α
, соs(
π
+
α
)
=
–соs
α
,
Ку там 2
π
–
α
і
α
відповіда ють точ -
ки оди нич но го ко ла, симет ричні
віднос но осі
х
(мал. 65). Їх абс ци си
рівні, а ор ди на ти про ти лежні. То му
sin (2
π
–
α
)
=
–sin
α
,
соs (2
π
–
α
)
=
соs
α
.
Ðîçäië
2
104
Мал. 62
Мал. 63
Мал. 64
Мал. 65
Ку там 2
π
+
α
і
α
відповідає од на й та са ма точ ка оди нич ного
ко ла, то му
sin (2
π
+
α
)
=
sin
α
, соs (2
π
+
α
)
=
соs
α
.
З по пе редніх мірку вань маємо 16 фор мул.
Ще 16 подібних фор мул мож на до вес ти для тан ген са і ко тан -
ген са:
От же,
Усі ці 32 фор му ли на зи ва ють
фор му ла ми зве ден ня
, оскіль ки
во ни да ють мож ливість кож ну три го но мет рич ну функцію
довіль ного ку та (а от же, і чис ла) звес ти до три го но мет рич ної
функції гост ро го ку та. За пам’ято ву ва ти кож ну із цих фор мул
не має пот ре би, кра ще ко рис ту ва ти ся за галь ним пра ви лом.
Щоб зро зуміліше сфор му лю ва ти пра ви ло, до мо ви мося
синус вва жа ти
ко функцією
ко си ну са, і нав па ки, а тан генс –
ко -
функ цією
ко тан ген са, і нав па ки.
Го во ри ти ме мо та кож, що кут звод жу ва ної функції відкла -
даєть ся від го ризонталь но го діамет ра, як що він має виг ляд
π ± α
або 2
π ± α
, чи від верти каль но го діамет ра, як що він має виг ляд
± α
або
± α
.
Пра ви ло зве ден ня
мож на сфор му лю ва ти так:
як що кут да ної
три го но мет рич ної функції відкла даєть ся від вер ти каль но го
діамет ра, то її заміню ють ко функцією, як що ж – від го ри зон -
таль но го діамет ра, то її наз ву не зміню ють. Знак став лять
та кий, який має зна чен ня да ної функції за умо ви, що кут
α
гост рий.
П р и к л а д. Не хай тре ба спрос ти ти ви раз
. Пе ред
ре зуль та том тре ба пос та ви ти знак мінус, оскільки ко ли кут
α
гострий, то кут
на ле жить ІІІ чверті і йо го ко си нус від’єм?
ний. Кут
–
α
відкла даєть ся від вер тикаль но го діаметра,
то му наз ву функції соs тре ба заміни ти на sin. От же,
=
–sin
α
.
§ 13
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
105
За у ва жен ня.
Користуючися пра ви лом зве ден ня, ми тіль ки
для зруч ності прий маємо, що кут
α
гост рий. Насп равді ж у кож -
ній із фор мул зве ден ня під змінною
α
мож на ро зуміти й міру
довіль но го ку та, зок ре ма й від’ємно го, і будь?яке дійсне чис ло.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що та ке фор му ли зве ден ня?
2.
Сфор му люй те пра ви ло зве ден ня.
3.
Які зна ки ма ють три го но мет ричні функції в кожній із чвер тей?
4.
Яку функцію на зи ва ють ко функцією для си ну са? А тан ген са?
5.
Чи мо же у фор мулі зве ден ня
α
дорівнювати
? А 120
°
?
1.
До ведіть то тожність:
Р о з в ’ я з а н н я.
2.
Да ну три го но мет рич ну функцію зведіть до най мен шо го
до дат но го ар гу мен ту:
а) sin 845
°
; б) соs 212
°
.
Р о з в ’ я з а н н я.
а) sin 845
° =
sin (360
° ⋅
2 + 125
°
)
=
sin 125
° =
=
sin (90
°
+ 35
°
)
=
соs 35
°
;
б) соs 212
° =
соs (180
°
+ 32
°
)
=
–соs 32
°
.
485.
Які функції ма ють бу ти у по рожніх клітин ках таб лиці?
Ðîçäië
2
106
–
α
+
α
π
–
α
π
+
α
–
α
sin
соs
tg
Ку ти
Функції