ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4942
Скачиваний: 5
486.
Зведіть до най мен шо го до дат но го ар гу мен ту функції:
а) sin 94
°
;
б) соs 105
°
;
в) tg 192
°
;
г) соs 269
°
;
ґ) ctg 179
°
;
д) sin 282
°
.
Спростіть ви раз
(487, 488)
.
487.
а) sin (90
°
+
α
);
б) соs (90
°
+
α
);
в) sin (
α
+ 90
°
);
г) tg (90
°
+
α
);
ґ) ctg (90
°
+
α
);
д) tg (
α
+ 180
°
).
488.
а) sin (180
°
–
α
);
б) соs (180
°
–
α
);
в) соs (
α
+ 90
°
);
г) tg (180
°
–
α
);
ґ) ctg (180
°
–
α
);
д) ctg(
α
+ 270
°
).
Спростіть ви раз
(489–494)
.
489.
а) sin (360
°
–
α
);
б) tg (360
°
–
α
);
в) соs (270
°
+
α
);
г) tg (270
°
–
α
).
490.
а) sin (270
°
–
α
);
б) соs (270
°
–
α
);
в) соs (360
°
+
α
);
г) ctg (360
°
–
α
).
491.
а) sin (90
°
– 2
α
);
б) соs (90
°
+ 3
α
);
в) tg (180
°
– 2
х
);
г) ctg (180
°
+ 3
х
).
492.
493.
494.
ґ) tg(3
π
+
α
); д) cos(
π
+
α
); е) ctg(3
π
–
α
); є) соs(
α
+ 5
π
).
Спростіть ви раз
(495–499)
.
495.
а) sin
2
(
π
+
α
);
б) в)
496.
497.
а) sin (
π
–
х
) + sin
б) соs (
π
+
х
) + cos
.
498.
а) sin (–
α
) + sin
α
;
б) соs
α
+ соs (–
α
);
в) tg (–
α
) – tg
α
;
г) ctg
х
+ ctg (–
х
).
À
§ 13
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
107
499.
а) sin (
α
–
β
) : sin (
β
–
α
);
б) соs (
х
–
α
) : соs (
α
–
х
);
в) tg (1 –
α
) : tg (
α
– 1);
г) ctg (1 – 2
х
) : ctg (2
х
–1).
Знайдіть зна чен ня ви ра зу
(500–502)
.
500.
а) sin 300
°
;
б) соs 240
°
;
в) tg 225
°
;
г) ctg 330
°
.
501.
a) sin(–210
°
); б) соs (–225
°
); в) tg (–240
°
); г) ctg (–315
°
).
502.
а) sin 405
°
;
б) соs 720
°
;
в) tg 750
°
;
г) ctg 1110
°
.
Спростіть ви раз
(503, 504)
.
503.
504.
Знайдіть зна чен ня ви ра зу
(505–508)
.
505.
а) соs 810
°
;
б) sin (–1470
°
);
в) ctg 1125
°
; г) tg 1830
°
.
506.
а) ctg1500
°
; б) соs(–945
°
);
в) соs3660
°
;
г) sin 1620
°
.
507.
а) соs 450
°
;
б) sin (–4095
°
);
в) соs 945
°
;
г) tg 1215
°
;
ґ) sin 585
°
;
д) соs 750
°
;
е) tg (–9405
°
);є) sin 1140
°
.
508.
а) sin 3,5
π
;
б) соs 2,5
π
;
в) tg
π
;
г) ctg 1,75
π
.
Зведіть функцію до най мен шо го до дат но го ар гу мен ту
(509,
510)
.
509.
510.
а) sin(3
π
+ 2); б) соs(5
π
– 3); в) tg(0,5
π
+ 1); г) сtg(
π
–4).
Спростіть ви раз
(511–514)
.
511.
512.
Á
Ðîçäië
2
108
513.
514.
До ведіть то тожність
(515, 516)
.
515.
516.
517.
До ведіть, що ко ли
α
,
β
,
γ
– ку ти три кут ни ка, то:
518.
У скіль ки разів і на скіль ки по рядків чис ло 4
⋅
10
7
біль -
ше за 8
⋅
10
6
?
519.
Розв’яжіть рівнян ня:
520.
Які із функцій
у
=
х
2
,
у
=
–
х
,
у
=
0,5
х
3
,
у
=
2
х
2
+ 3,
у
=
парні, які – не парні?
Од на з най важ ливіших влас ти вос тей три го но мет рич них
функ цій в то му, що кож на з них – функція періодич на.
Функцію
у
=
f
(
x
) на зи ва ють
періодич ною,
як що існує та ке
дійсне чис ло
Т
≠
0
,
що для всіх зна чень
х
із об ласті її визна чен ня
f
(
x
–
T
)
=
f
(
x
)
=
f
(
x
+
T
).
Чис ло
Т
на зи ва ють
періодом
да ної функції. Як що
Т
– період
де я кої функції, то
nТ
, де
n
∈
Z
і
n
≠
0, та кож її період. Графік
§ 14. Властивості і графіки
тригонометричних функцій
§ 14
ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
109
Ðîçäië
2
110
Мал. 66
та кої функції па ра лель ним пе ре не сен ням уз довж осі
х
на
Т
,
2
Т
, ...,
nТ
оди
ниць вліво чи впра
во відоб
ра
жаєть
ся на се
бе
(мал. 66).
Розг ля не мо спо чат ку конк рет ний прик лад.
Функція
у
=
sin
х
.
Си нус чис ла
х
– ор ди на та точ ки одинич но -
го ко ла, яка відповідає чис лу
х
(див. § 11). Оскіль ки кож но му
дійсно му чис лу
х
відповідає єди не зна чен ня sin
х
, то
у
=
sin
х
–
функція, виз на че на на мно жині всіх дійсних чисел
R
. Щоб ви -
я ви ти най важ ливіші влас ти вості цієї функції, по бу дуємо її
графік. Спо чат ку – тіль ки на проміжку [0; 2
π
].
Скла де мо таб ли цю зна чень.
x
0
π
2
π
y
0
1
0
–1
0
Точ ки з відповідни ми ко ор ди на та ми на не се мо на ко ор динат -
ну пло щи ну (мал. 67,
а
). Як що об чис ли ти зна чен ня sin
х
для
всіх дійсних зна чень
х
і поз на чи ти на ко ор ди натній площині
всі відповідні їм точ ки, то діста не мо кри ву, зоб ра же ну на ма -
люн ку 67,
б
. Це – графік функції
у
=
sin
х
на [0; 2
π
].
На по бу до ва но му графіку по ка за но, як змінюєть ся ор дина та
точ ки оди нич но го ко ла, здійсню ючи о д и н пов ний обхід ць о го
ко ла. На дру го му, треть о му і нас туп них об хо дах усе пов то -
рюєть ся. Це вип ли ває та кож із то тож ності sin (
х
+ 2
π
n
)
=
sin
х
.
То му, як що кри ву, зоб ра же ну на ма люн ку 67,
б
, пе ре нес ти на
кож ний з проміжків [2
n
π
; 2(
n
+ 1)
π
], де
n
– чис ла цілі, діста не -
мо весь графік (мал. 68).
Мал. 67
а)
б)
Функція
у
=
sin
х
періодич на з най мен шим до дат ним пері о -
дом 2
π
. Це вид но на графіку функції (мал. 68). Мож на мірку ва ти й
інак ше. Оскіль ки завж ди sin (
х
– 2
π
)
=
sin
x
=
sin (
х
+ 2
π
), то 2
π
–
період функції
у
=
sin
х
. А ко ли ця функція ма ла б до датний
період
l
< 2
π
, тоді пра виль ною бу ла б рівність
.
А за умо ви, що 0 <
l
< 2
π
, ця рівність неп ра виль на (пе ре ко най -
тесь у ць о му за до по мо гою одинич но го ко ла). От же, най мен -
ший до дат ний період функції
у
=
sin
х
дорівнює 2
π
.
§ 14
ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
111
Мал. 68
Графік функції
у
=
sin
х
– си ну соїда (мал. 68); во на нескін чен -
на в обид ва бо ки. Розг ля не мо од ну ма теріаль ну мо дель си ну соїди.
Як що об гор ну ти свічку кіль ка разів па пе ром, потім пе ре рі за -
ти її гост рим но жем під ку том 45
°
до осі свічки (мал. 69) і роз гор -
ну ти папір, ма ти ме мо ма теріаль ну мо дель час ти ни си ну соїди.
Мал. 69
Оскіль ки для кож но го зна чен ня
х
пра виль на рівність cos
x
=
то графік функції
у
=
соs
х
– та ка са ма си ну соїда,
тіль ки зміще на вздовж осі
х
на
оди ниць уліво (мал. 70).
Мал. 70
у
=
sin
х