ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4941
Скачиваний: 5
Заз на чи мо ос новні влас ти вості три го но мет рич них функцій.
Функція
у
=
sin
х
.
Її об ласть виз на чен ня – мно жи на всіх
дійсних чи сел
R
, а об ласть зна чень – відрізок [–1; 1]. Функція
не пар на, періодич на, її най мен ший до дат ний період дорів -
нює 2
π
. Графік функції зоб ра же но на ма люн ку 68.
Функція
у
=
соs
х
.
Її об ласть виз на чен ня – мно жи на всіх
дійсних чи сел
R
, об ласть зна чень – відрізок [–1; 1]. Функція
пар на, періодич на, її най мен ший до дат ний період дорівнює 2
π
.
Графік функції
у
=
соs
х
зоб ражено на ма люн ку 70.
Функція
у
=
tg
х
.
Її об ласть виз на чен ня – мно жи на всіх дійс?
них чи сел, за ви нят ком зна чень
, де
n
∈
Z
, об ласть
зна чень – мно жи на
R
. Функція не пар на, періодич на, її най мен -
ший до дат ний період дорівнює
π
. Графік функції
у
=
tg
х
скла -
даєть ся з безлічі рівних між со бою нескінчен них і цент раль -
но?си мет рич них ліній (мал. 71). Графік функції
у
=
tg
х
на зи ва -
ють тан ген соїдою.
Ðîçäië
2
112
Мал. 71
Функція
у
=
ctg
х
.
Її об ласть виз на чен ня – мно жи на всіх
дійсних чи сел, за ви нят ком зна чень
х
= π
n
, де
n
∈
Z
, об ласть зна -
чень – мно жи на
R
. Функція не пар на, періодич на, її най мен -
ший до дат ний період дорівнює
π
. Графік функції
у
=
ctg
х
скла -
даєть ся з безлічі рівних між со бою нескінчен них і цент раль -
но?си мет рич них ліній (мал. 72).
Мал. 72
Інші влас ти вості три го но мет рич них функцій (нулі, про між -
ки зна коста лості, зрос тан ня і спа дан ня) мож на про чи та ти за
відповідни ми графіка ми. Спро буй те це зро би ти са мостійно.
Для порівнян ня всі влас ти вості функцій зве де но в од ну таб -
ли цю (всю ди
k
∈
Z
). Із ча сом усі во ни бу дуть обґрун то вані і ви
нав чи те ся виз на ча ти їх аналітич но.
Таб ли ця
§ 14
ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
113
f
(
x
)
у
=
sin
х
у
=
cos
х
у
=
tg
х
у
=
ctg
х
D
(
y
)
(–
∞
; +
∞
)
(–
∞
; +
∞
)
х
≠
+
π
k
х
≠ π
k
Е
(
у
)
[–1; 1]
[–1; 1]
(–
∞
; +
∞
)
(–
∞
; +
∞
)
не пар на
пар на
не пар на
не пар на
Т
2
π
2
π
π
π
у
= 0
π
k
+
π
k
π
k
+
π
k
у
> 0
(2
π
k
;
π
+ 2
π
k
)
у
< 0
(–
π
+ 2
π
k
; 2
π
k
)
у
↑
(–
π
+ 2
π
k
; 2
π
k
)
–
у
↓
(2
π
k
;
π
+ 2
π
k
)
–
(
π
k
;
π
+
π
k
)
Зна ю чи, який виг ляд має, нап рик лад, графік функції
у
=
соs
х
,
мож на по бу ду ва ти графік функції
у
=
3 + соs
х
(мал. 73).
Мал. 73
у
=
соs
х
у
=
3 + соs
х
А див ля чись на графік, мож на вка за ти й ос новні влас ти вості
функції
у
=
3 + соs
х
. Її об ласть виз на чен ня – мно жи на
R
, об -
ласть зна чень – відрізок [2; 4]. Функція пар на, періодич на з
най мен шим до дат ним періодом 2
π
.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Яку функцію на зи ва ють періодич ною?
2.
Назвіть об ласть виз на чен ня і мно жи ну зна чень кож ної з три го но -
ме т рич них функцій.
3.
Назвіть ос нов ний період кож ної з три го но мет рич них функцій.
4.
Чи ма ють нулі три го но мет ричні функції?
5.
Як на зи ва ють ся графіки ос нов них три го но мет рич них функцій?
1.
По бу дуй те графік функції:
а)
у
=
3sin
х
; б)
у
=
3sin 2
х
; в)
у
=
sin (
х
+ 2).
Р о з в ’ я з а н н я.
a) Щоб по бу ду ва ти графік функції
у
=
3sin
х
(див. с. 33), тре ба графік функції
у
=
sin
х
роз тяг ну ти від осі
х
у 3 ра зи (мал. 74). Чо му?
б) Щоб по бу ду ва ти графік функції
у
=
sin 2
х
(див. с. 35), тре -
ба графік функції
у
=
sin
х
стис ну ти до осі
у
вдвічі (мал. 75).
Ðîçäië
2
114
Мал. 74
Мал. 75
у
=
3sin
х
у
=
sin
х
у
=
sin 2
х
у
=
sin
х
в) Щоб по бу ду ва ти графік функції
у
=
sin (
х
+ 2), тре
ба
графік функції
у
=
sin
х
пе ре нес ти на 2 оди ниці вліво (мал. 76).
§ 14
ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
115
Так са мо мож на пе рет во рю ва ти й інші графіки три го но мет -
рич них функцій. По ясніть ці пе рет во рен ня са мостійно.
521.
По ясніть, як змінюєть ся зна чен ня функції
у
=
sin
х
при
збільшенні її ар гу мен ту
х
від 0 до 2
π
.
522.
Як змінюєть ся зна чен ня функції
у
=
cos
х
і
у
=
tg
х
при
збіль шенні їх ар гумен ту
x
від 0 до 2
π
?
523.
Чи мож на вва жа ти пар ною функцію
у
=
cos
х
, за да ну на
мно жині (0; +
∞
)? А на мно жині [–
π
;
π
]?
524.
Чи мож на вва жа ти не пар ною функцію
у
=
sin
х
, за да ну
на множині [–2
π
; 2
π
]? А на мно жині [0; +
∞
)?
525.
Чи мож на вва жа ти не пар ною функцію
у
=
cos(
х
– 1), за -
да ну на [0; 20
π
]? А на [–20
π
; 20
π
]?
По бу дуй те графік функції
(526–533)
.
526.
а)
у
=
sin
х
,
х
∈
[–
π
;
π
];
б)
у
=
cos
х
,
х
∈
[–
π
; 3
π
].
527.
а)
у
=
1 + cos
х
,
х
∈
[0; 2
π
];
б)
у
=
sin
х
– 2,
х
∈
[–2
π
; 2
π
].
528.
а)
у
=
tg
х
,
х
∈
(0; 2
π
);
б)
у
=
–1 + tg
х
,
х
∈
(–
π
;
π
).
529.
а)
у
=
sin (
х
+ 1),
х
∈
[–
π
;
π
]; б)
у
=
cos (
х
– 1),
х
∈
[0; 2
π
].
530.
у
=
4sin
х
на [–
π
;
π
].
531.
у
=
–0,5cos
х
на [–
π
;
π
].
532.
у
=
sin 3
х
на [–3; 3].
533.
на [0; 2
π
].
534.
Знайдіть об ласть виз на чен ня функції:
а)
; б)
; в)
у
=
tg 3
х
; г)
у
=
cos (2
х
+ 3).
À
Мал. 76
у
=
sin (
х
+ 2)
у
=
sin
х
535.
Знайдіть об ласть зна чень функції:
а)
у
=
2sin
х
; б)
в)
г)
у
=
–17tg
х
.
536.
Чим відрізняєть ся графік функції
у
=
tg
х
, за да ної на
від графіка функції
у
=
х
3
?
537.
Знайдіть абс ци си то чок пе ре ти ну графіка функції
y
=
sin
з віссю
х
.
538.
Знайдіть абс ци си то чок пе ре ти ну графіків функцій
у
=
соs 2
х
і
у
=
0,5.
539.
Пар ною чи не пар ною є функція:
а)
у
=
sin 2
х
;
б)
у
=
3cоs
х
;
в)
у
=
–tg
х
;
г) ґ) д)
540.
Як мож на по бу ду ва ти графік функції:
а) б)
у
=
соs
2
х
+ sin
2
х
;
в)
у
=
г)
у
=
tg
х
⋅
ctg
х
?
По бу дуй те графік і виз нач те ос новні влас ти вості функцій
(541–546)
.
541.
а)
у
=
3 + sin
х
;
б)
у
=
2 + соs
х
;
в)
у
=
3 + tg
х
.
542.
а)
у
=
–sin
х
;
б)
у
=
–соs
х
;
в)
у
=
–tg
х
.
543.
а)
у
=
1 – sin
x
;
б)
у
=
1 – соs
х
;
в)
у
=
1 – tg
х
.
544.
а)
у
=
2sin
x
;
б)
у
=
3соs
х
;
в)
у
=
0,5tg
х
.
545.
а)
у
=
|sin
x|
;
б)
у
=
|соs
х
|;
в)
у
=
|tg
х
|.
546.
а)
у
=
sin |
x
|;
б)
у
=
соs |
х
|;
в)
у
=
tg |
х
|.
547.
Чи пра виль но, що графік функції
є та кож
графіком функ ції
у
=
sin
x
?
548.
Чи пра виль но, що графік функції
у
=
|1 + соs
х
| є та кож
графіком функції
у
=
1 + соs
х
?
549.
Розв’яжіть рівнян ня:
а)
х
2
– 7|
х
|
=
0;
б)
х
2
+ 3|
х
| –
х
=
0.
550.
Спростіть ви раз:
Á
Ðîçäië
2
116