ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4946
Скачиваний: 5
551.
За робітна плата то ка ря ста но ви ла 2000 грн. Спо чат ку її
бу ло збіль ше но на 10 %, а потім че рез рік – ще на 20 %. На
скіль ки відсотків збіль ши ла ся заробітна плата то ка ря порівня -
но з по чат ко вою?
Кож но му доб ре відомі яви ща, що чер гу ють ся:
ра нок, день, вечір, ніч, ра нок, день...;
вес на, літо, осінь, зи ма, вес на, літо...
І ма ят ник го дин ни ка ко ли ваєть ся так, і стру на, і зна чен ня
змінно го стру му, і ба га то ме ханізмів пра цю ючої ма ши ни
зміню ють своє по ло жен ня періодич но і плав но. Ма те ма тич не
мо де лю ван ня та ких явищ і про цесів зруч но здійсню ва ти за до -
по мо гою фор му ли гар монічно го ко ли ван ня.
Ко ли ван ня – ритмічні пе реміщен ня чо го?не будь з од но го бо -
ку в інший, зміна зна чень ве ли чи ни то що. Мож на го во ри ти про
ко ли ван ня ма ят ни ка, ко ли ван ня тем пе ра ту ри повітря, ко ли -
ван ня цін то що. Ко ли ван ня бу ва ють різни ми, зок ре ма віль ни -
ми, ви му ше ни ми, за ту ха ю чи ми (на ведіть відомі вам прик ла ди
з фізи ки). Особ ли во цікаві
гар монічні ко ли ван ня
– періодичні,
здійсню вані за за ко ном си ну са чи ко си ну са. Ко рот ше їх на зи ва -
ють
гар моніка ми
.
Як зміню ва ти меть ся зна чен ня функції
у
=
sin
х
, як що зна -
чен ня ар гу мен ту
х
рівномірно збіль шу ва ти? Від та кої зміни
зна чен ня
y
гар монійно ко ли ва ти меть ся (на осі
у
) у ме жах від
–1 до 1. Це – найп ростіший прик лад гар монічно го ко ли ван ня
з ампліту дою 1. Прик лад гар монічно го ко ли ван ня з амплі -
тудою
А
, здійсню ва но го за леж но від зміни ча су
t
, дає фор му ла
у
=
A
sin
t
.
Розг ля не мо за галь ний ви па док. Не хай точ ка
М
ру хаєть ся
по ко
лу радіуса
А
в до дат но му нап рямі зі ста лою ку то вою
швидкістю
ω
радіанів за се кун ду (мал. 77).
Як що в по чат ко вий мо мент ча су (тоб то
ко ли
t
=
0) точ ка
М
зай ма ла по ло жен ня
М
0
, яке виз на ча єть ся ку том
ϕ
, то че рез
t
се кунд во на зай ме де я ке по ло жен ня
М
,
яке виз на чаєть ся ку том
ω
t
+
ϕ
. Ор ди на та
точ ки
М
дорівнює
A
sin (
ω
t
+
ϕ
).
Фор му ла
у
=
A
sin (
ω
t
+
ϕ
) виз на чає
змінну
у
як функцію ча су
t
. Це і є фор му -
ла
гар монічно го
ко ли ван ня.
У
ній
у
– зна чен ня функції,
t
– ар гу мент, а чис ла
А
,
ω
і
ϕ
– сталі:
§ 15. Періодичні функції і гармонічні коливання
§ 15
ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ І ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
117
Мал. 77
А
– ампліту да ко ли ван ня,
ϕ
– по чат ко ва фа за,
ω
– ку то ва швидкість,
ω
t
+
ϕ
– фа за ко ли ван ня.
Ампліту да виз на чаєть ся в лінійних оди ни цях дов жи ни, фа -
за і по чат ко ва фа за – у радіанах.
Ампліту да – це ве ли чи на найбіль шо го відхи лен ня від по ло -
жен ня рівно ва ги.
Період Т
гар монічно го ко ли ван ня – це най мен ший до дат ний
період функції
у
=
A
sin (
ω
t
+
ϕ
), тоб то час, про тя гом яко го точ -
ка
М
здійснює один пов ний оберт по ко лу. За цей час точ ка
М
про хо дить
ω
Т
радіанів, або 2
π
радіанів. Як що
ω
> 0, то
ω
Т
=
2
π
, звідси
.
Період гар монічно го ко ли ван ня виз на чаєть ся в се кун дах;
він обер не но про порційний ку товій швид кості відповідно го
обер тан ня; не за ле жить ні від ампліту ди, ні від по чат ко вої фа -
зи ко ли ван ня. Прик ла ди простіших графіків гар монічних ко -
ли вань – на ма люн ках 74–76.
Г р а ф і к гар монічно го ко ли ван ня
у
=
A
sin (
ω
t
+
ϕ
),
де
А
,
ω
і
ϕ
– дані чис ла, бу ду ють у такій послідов ності:
а) спо чат ку бу ду ють графік функції
у
=
sin
х
;
б) стис нен ням до осі
у
у відно шенні 1 :
– діста ють графік
функції
у
=
sin
ω
х
;
в) із ць о го графіка за до по мо гою па ра лель но го пе ре несен ня
на відстань
впра во при
ϕ
< 0 і вліво при
ϕ
> 0 діста ють графік
функції
у
=
sin (
ω
x
+
ϕ
);
г) на решті, з графіка цієї функції стис нен ням до осі
х
у від?
но шенні
k
=
діста ють графік за да ної функції
у
=
A
sin(
ω
x
+
ϕ
).
Існу ють періодичні функції, відмінні від гар монічних ко ли -
вань. Та кою є, наприклад, функція
у
=
tg
x
(мал. 71). Уза галі,
періодич ни ми є всі функції ви ду
A
sin (
ω
x
+
ϕ
),
A
cos (
ω
x
+
ϕ
),
A
tg (
ω
x
+
ϕ
),
A
ctg (
ω
x
+
ϕ
) та ба га то інших.
Період пер ших двох функцій зна хо дить ся за фор му лою
,
а двох дру гих
Періодич ною є та кож функція, графік якої – кардіог ра ма
здо ро вої лю ди ни (див. мал. 15). Періодич ни ми бу ва ють не тіль ки
функції та їхні графіки, а й ба га то інших зоб ра жень: ви шив ки,
ор намен ти, візе рун ки на тка ни нах чи шпа ле рах то що (мал. 78).
Та ки ми є, зок ре ма, давнь ог рецькі ор на мен ти
ме андр
і
акант
(мал. 79), візе
рун
ки на ого
ро
жах то
що. Усе це – прик
ла
ди
Ðîçäië
2
118
стрічко вих ор на ментів, періодич них в од но му нап рямі. А є та кож
пло щинні ор на мен ти, періодичні в ба гать ох різних нап ря мах.
Подібні пло щинні ор на мен ти особ ли во по ши рені в країнах
ісла му. Але – без зоб ра жень лю дей та інших жи вих істот, ад же
Ко ран за бо ро няє ство рю ва ти такі зоб ра жен ня: «Не ство ри собі ку -
ми ра!» А гол ла ндсь кий ху дож ник М. Ешер, ігно ру ю чи цю за бо ро -
ну, ство рив ба га то оригіналь них ор наментів із зоб ра жень лю дей і
тва рин. Та кою є, нап рик лад, йо го мо заїка «Ри царі на ко нях»
(мал. 80).
§ 15
ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ І ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
119
Мал. 78
Мал. 79
Мал. 80
Як мож на ство рю ва ти такі пло щинні ор на мен ти і пар ке ти з
рівних фігур? Розг ля не мо один спосіб.
Розг лянь те періодич ну функцію, графіком якої є нескінчен на
в обид ва бо ки ла ма на
А
(мал. 81). Пе ренісши її вздовж осі ор ди -
нат на век тор
n
⋅
, де
n
пробігає мно жи ну всіх цілих чи сел,
ут во ри мо безліч подібних графіків періодич них функцій. Як що
всі ці ла мані по вер ну ти нав ко ло по чат ку ко ор ди нат на пря мий
кут, ут во рить ся ще од на мно жи на ла ма них, яка з пер шою мно -
жи ною роз би ває всю пло щи ну на безліч періодич но роз та шо ва -
них хрес то подібних фігур (мал. 82). Та ким спо со бом рівни ми
періодич ни ми лініями мож на роз би ва ти пло щи ну на безліч ре -
гу ляр но роз та шо ва них рівних фігур, ут во рю ючи різні пар ке ти,
ор на мен ти і мо заїки.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що та ке ко ли ван ня? Які бу ва ють ко ли ван ня?
2.
Яке ко ли ван ня на зи ва ють гар монічним?
3.
У яких оди ни цях виз на чаєть ся ампліту да, період, ку то ва швид кість,
фа за гар монічно го ко ли ван ня?
4.
Яки ми мо жуть бу ти ампліту да гар монічно го ко ли ван ня, йо го пері од,
по чат ко ва фа за?
1.
Виз нач те ампліту ду, фа зу, по чат ко ву фа зу і ку то ву швид -
кість гар монічно го ко ли ван ня, за да но го фор му лою:
а)
; б)
у
=
0,8 sin 3
t
.
Ðîçäië
2
120
Мал. 81
Мал. 82
Р о з в ’ я з а н н я.
а) Ампліту да дорівнює 6, 2
t
+ –
фа
за, –
по чат ко ва фа за, 2 – ку то ва швидкість.
б) 0,8 – ампліту да, 3
t
– фа за, 0 – по чат ко ва фа за, 3 – ку то ва
швидкість.
2.
По бу дуй те графік функції
у
=
3cos (2
x
+ 4).
Р о з в ’ я з а н н я.
За пи ше мо функцію у виг ляді
у
=
3cos2(
x
+ 2).
1) Бу дуємо графік функції
у
=
cos
x
;
2) стис каємо йо го до осі
у
у відно шенні 1 : ;
3) отриманий графік пе ре но си мо вз довж осі
х
па ра лель но на
2 одиниці ліво руч (мал. 83);
§ 15
ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ І ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
121
Мал. 83
Мал. 84
552.
Знайдіть ампліту ду гар монічно го ко ли ван ня, за да но го
фор му лою:
у
=
2cos
x
у
=
cos (2
x
+ 4)
у
=
3cos (2
x
+ 4)
4) роз тя гом від осі
х
у 3 ра зи діста не мо, на решті, потрібний
графік (мал. 84).