ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4927
Скачиваний: 5
Ðîçäië
1
32
Тут:
•
об ласть виз на чен ня: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 };
•
об ласть зна чень: { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }.
Таб лич ний спосіб за дан ня функції зруч ний тим, що для пев -
них зна чень ар гу мен ту до таб лиці вже за не се но відповідні зна -
чен ня функції, то му не тре ба ро би ти будь9яких об чис лень. Не -
з руч ний він тим, що таб ли ця зай має біль ше місця. До то го ж, як
пра ви ло, містить зна чен ня функції не для всіх зна чень ар гу мен -
ту, а тіль ки для де я ких.
Функцію мож на за да ва ти і
сло вес но
. Нап рик лад, як що кож но -
му ціло му чис лу пос та ви ти у відповідність йо го квад рат, то одер -
жи мо функцію, об лас тю виз на чен ня якої є мно жи на цілих чи сел,
а об лас тю зна чень – мно жи на на ту раль них чи сел і чис ло нуль.
Час то функції за да ють у виг ляді графіків, по бу до ва них у
де кар товій сис темі ко ор ди нат.
Г р а ф і к о м ф у н к ц і ї на зи ваєть ся мно жи на всіх то чок ко ор-
ди нат ної пло щи ни, абс ци си яких дорівню ють зна чен ням ар гу -
мен ту, а ор ди на ти – відповідним зна чен ням функції.
Нап рик лад, на ма люн ку 13 зоб ра же но графік функції
у
=
2
х
– 3, за да ної на відрізку [–1; 5], а на ма люн ку 14 – гра9
фік функції
на відрізку [1; 6].
Ма ю чи графік функції, мож на для будь9яко го зна чен ня ар -
гу мен ту (з об ласті виз на чен ня) вка за ти відповідне зна чен ня
функції. Для прик ла ду знай де мо зна чен ня функції
, як що
х
=
4, ко рис ту ю чись по бу до ва ним графіком. Шу каємо на осі
х
точ ку з абс ци сою 4, на графіку зна хо ди мо точ ку
М
з абс ци сою 4,
а на осі ор ди нат – ор ди на ту точ ки
М
; во на дорівнює 1,5. От же,
ко рис ту ю чись графіком функції, мож на склас ти таб ли цю її
зна чень, тоб то графік за дає функцію.
Графічний спосіб
за дан ня
Мал. 13
Мал. 14
§ 4
ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ
33
функції зруч ний своєю на очністю. Див ля чись на графік, од ра зу
мож на з’ясу ва ти влас ти вості функції, яку він за дає. Зок ре ма,
мож на вста но ви ти такі її ха рак те рис ти ки:
•
об ласть виз на чен ня і об ласть зна чень функції;
•
при яких зна чен нях ар гу мен ту зна чен ня функції до датні,
при яких – від’ємні, при яких дорівню ють ну лю;
•
на яких проміжках функція
зрос тає
, а на яких
спа дає
.
Існу ють при ла ди – тер мог ра фи, які самі крес лять графік тем -
пе ра ту ри. Графіком функції є та кож кардіог ра ма, нак рес ле на
кардіог ра фом (мал. 15). «Чи та ю чи» та кий графік, лікар діаг нос -
тує ро бо ту сер ця хво ро го. Вза галі, ба гать ом фахівцям тре ба вміти
«чи та ти» різні графіки.
Чи за дає функцію графік, зоб ра же -
ний на ма люн ку 16? Ні, оскільки на
ць о му графіку од но му зна чен ню ар гу -
мен ту
х
(нап рик лад,
х
=
3) від
-
повідають три різних зна
чен
ня
у
.
А згід но з оз на чен ням функцією вва -
жаєть ся тіль ки та ка відповід ність, при
якій од но му зна чен ню ар гу мен ту
х
відпо ві дає єди не зна чен ня функ ції
у
.
Існує ба га то різних видів функ цій.
Де які з них ви вже зна єте:
•
у
=
kх
– пря ма про порційність (
k
≠
0);
•
у
=
kх
+
b
– лінійна функція;
•
– обер не на про порційність (
k
≠
0);
•
у
=
ах
2
+
bх
+
с
– квад ра тич на (або квад рат на) функція (
a
≠
0).
Графіки найу жи ваніших функцій по да но в таб лиці 1.
Щоб бу ду ва ти графіки складніших функцій, ви ко рис то ву ють
такі пра ви ла.
•
Графіки функцій
y
=
f
(
х
) і
y
=
–
f
(
х
) си мет ричні віднос но осі
х
.
•
Щоб по бу ду ва ти графік функції
y
=
kf
(
х
), де
k
> 0, тре ба
графік функції
y
=
f
(
х
) роз тяг ну ти від осі
х
у
k
разів, як що
k
> 1,
або стис ну ти йо го в
разів до осі
х
, як що 0 <
k
< 1.
Мал. 16
Мал. 15
Ðîçäië
1
34
Таб ли ця 1
y
=
x
графік –
пряма
D
(
y
)
=
R
E
(
y
)
=
R
y
=
x
2
графік –
парабола
D
(
y
)
=
R
E
(
y
)
=
[0; +
∞
)
D
(
y
)
=
(
–
∞
; 0)
∪
(0; +
∞
)
E
(
y
)
=
(
–
∞
; 0)
∪
(0; +
∞
)
D
(
y
)
=
[0; +
∞
)
E
(
y
)
=
[0; +
∞
)
y
=
x
3
графік –
кубічна парабола
D
(
y
)
=
R
E
(
y
)
=
R
y
=
|
x|
D
(
y
)
=
R
E
(
y
)
=
[0; +
∞
)
графік –
гіпербола
§ 4
ЧИСЛОВІ ФУНКЦІЇ
35
Мал. 17
Мал. 18
•
Щоб побудувати графік функції
y
=
f
(
kх
), де
k
> 0, треба графік
функції
y
=
f
(
х
) розтягнути від осі
y
в
разів, якщо 0 <
k
< 1, або
стиснути його в
k
разів, якщо
k
> 1.
•
Щоб одер жа ти графік функції
y
=
f
(
х
) +
n
, тре ба графік
функції
y
=
f
(
х
) пе ре нес ти на
n
оди ниць у нап рямі осі
у
, як що
n
> 0, або на
|n|
оди ниць у про ти леж но му нап рямі, як що
n
< 0.
•
Щоб одер жа ти графік функції
y
=
f
(
х
–
m
), до сить графік
функції
y
=
f
(
х
) пе ре нес ти на
m
оди ниць у нап рямі осі
х
, як що
m
> 0, або на |
m|
оди ниць у про ти леж но му нап рям і, як що
m
< 0.
Ðîçäië
1
36
Прик ла ди по бу до ви графіків
у
=
х
2
,
у
=
2
х
2
,
у
=
–2
х
2
по да но
на ма люн ку 17, а графіків
у
=
х
2
,
у
=
(
х
– 3,5)
2
,
у
=
(
х
– 3,5)
2
+ 3 –
на ма люн ку 18.
Термін «функція» ввів у математику Г.В. Лейбніц.
ЛЕЙБНІЦ ГОТФРІД ВІЛЬ ГЕЛЬМ
(1646 –1716)
Ви дат ний німець кий уче ний. За освітою юрист,
пра цю вав бібліоте ка рем, історіог ра фом, ор га-
нізу вав Берлінсь ку ака демію на ук, досліджу вав
проб ле ми політич ної еко номії, мо воз на в ства, хі -
мії, ге о логії, констру ю вав об чис лю вальні ма ши -
ни. Ос но во по лож ник сим волічної логіки, один з
творців ма те ма тич но го аналізу. Ввів терміни:
«функція», «абс ци са», «ор ди на та», логічну сим -
воліку, зна ки мно жен ня і ділен ня (крап ку і дво -
к рап ку) та ін.
«Після Лейбніца, ма буть, уже не бу ло лю ди ни,
яка повністю охоп лю ва ла б усе інте лек ту аль не
жит тя сво го ча су».
Н. Вінер
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що та ке функція? Як поз на ча ють функції?
2.
Що та ке ар гу мент функції, об ласть виз на чен ня функції?
3.
Як мож на за да ва ти функцію?
4.
Назвіть ос новні ви ди функцій. Які їх графіки?
5.
За да но графік функції
у
=
f
(
х
). Як по бу ду ва ти графік функції:
а)
у
=
аf
(
х
); б)
у
=
f
(
х
) +
b
; в)
у
=
f
(
х
+
а
)?
6.
Які функції на зи ва ють рівни ми? А нерівни ми? На ведіть прик ла ди.
1.
Знайдіть об ласть виз на чен ня функції:
Р о з в ’ я з а н н я.
а) Про а налізуємо функцію
Змінна
х
мо же на бу ва ти будь9яких зна чень, крім тих, при яких
зна мен ник дро бу
дорівнює ну лю. Щоб їх знай ти, роз в’яже9
мо рівнян ня 9 –
х
2
=
0, (3 –
х
)(3 +
х
)
=
0, звідcи
х
1
=
3,
х
2
=
–3.
От же, об ласть виз на чен ня функції – мно жи на дійсних чи -
сел, крім
х
=
3.
D
(
y
)
=
(–
∞
; –3)
(–3; 3)
∪
(3; +
∞).