ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.11.2019
Просмотров: 4938
Скачиваний: 5
Ðîçäië
1
42
Щоб вив ча ти про це си і яви ща нав ко лишнь о го сві ту, потріб -
но вміти досліджу ва ти відповідні ма те ма тичні мо делі, зок ре ма
і функції.
Досліди ти функцію
– це оз на чає ви я ви ти її най важ -
ливіші влас ти вості:
1) вка за ти об ласть виз на чен ня;
2) вка за ти об ласть зна чень;
3) з’ясу ва ти, чи не є да на функція пар ною або не пар ною;
4) знай ти точ ку пе ре ти ну графіка функції з віссю
у
;
5) знай ти нулі функції та проміжки зна кос та лості;
6) виз на чи ти проміжки зрос тан ня чи спа дан ня.
Узагальнивши все, слід по бу ду ва ти графік функції.
Об ласть виз на чен ня і об ласть зна чень.
Уста нов лю ючи об ласть
виз на чен ня функції, вка зу ють усі зна чен ня, яких мо же на бу ва ти
ар гу мент. Як що функцію за да но фор му лою, а про її об ласть виз на -
чен ня нічо го не ска за но, то ро зуміють, що во на та ка са ма, як і об -
ласть до пус ти мих зна чень змінної, яка вхо дить до цієї фор му ли.
Як що функцію за да но графічно, то об ласть виз на чен ня
функ ції – про екція її графіка на вісь
х
; об ласть зна чень функції –
про екція її графіка на вісь
у
(див. мал. 12). Нап рик лад, об ласть
виз на чен ня функ ції
у
=
х
2
– мно жи на всіх дійсних чи сел
R
, об -
ласть її зна чень – проміжок [0; +
∞
).
Парність.
Функція
у
=
f
(
х
) на зи ваєть ся
пар ною
, як що її об ласть
виз на чен ня си мет рич на віднос но ну ля і для кож но го зна чен ня
х
з
об ласті виз на чен ня
f
(–
х
)
=
f
(
х
). Функція
у
=
f
(
х
) на зи ваєть ся
не -
пар ною
, як що її об ласть виз на чен ня си мет рич на віднос но ну ля і
для кож но го зна чен ня
х
із об ласті ви з на чен ня
f
(–
х
)
=
–
f
(
х
).
Існу ють функції ні парні, ні не пар ні. Це такі функції, у яких
або об ласть виз на чен ня не си мет рич на віднос но ну ля, або для
яких не ви ко нуєть ся жод на з умов
f
(–
х
)
= ±
f
(
х
). Як що функцію
за да но графічно, то дослі ди ти її на парність або не парність до сить
прос то, оскіль ки графік пар ної функції си мет рич ний віднос но
осі
у
(мал. 23), а не пар ної – віднос но по чат ку ко ор ди нат (мал. 24).
§ 5. Властивості функції
Мал. 23
Мал. 24
§ 5
ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ
43
Нап рик лад, з функцій, за да них на
R
,
у
=
х
2
,
у
=
2 –
х
2
,
у
=
|
х|
– 3 – парні,
у
=
х
3
,
у
=
х
3
+
х
– не парні, а
у
=
2
х
+ 3,
у
=
х
2
+
х
– ні парні, ні не парні. По бу дуй те їхні графіки.
Нулі функції та проміжки зна кос та лості.
Зна чен ня ар гу мен -
ту, при яких зна чен ня функції дорівнює ну лю, на зи ва ють
ну -
ля ми функції
. Проміжки об ласті виз на чен ня функції, на яких
функція не змінює зна ка (тоб то має тіль ки до датні або тіль ки
від’ємні зна чен ня), на зи ва ють
проміжка ми
зна кос та лості
.
Щоб знай ти нулі функції
у
=
f
(
х
), потрібно розв’яза ти рів -
нян ня
f
(
х
)
=
0. Ко рені ць о го рівнян ня є ну ля ми функції.
Щоб знай
ти проміжки зна
кос
та
лості, потрібно розв’яза
ти
нерівності
f
(
х
) > 0 і
f
(
х
) < 0. Розв’яз ки нерівності
f
(
х
) > 0 – це
зна чен ня ар гу мен ту, при яких функція на бу ває до дат них
значень.
Нап рик лад, ну ля ми функції
у
=
х
2
– 9 є чис ла 3 і –3, оскільки
f
(3)
=
0 і
f
(–3)
=
0.
Функція на
бу
ває від’ємних зна
чень,
як що
х
2
– 9 < 0, тоб то ко ли
х
∈
(–3; 3).
Мо но тонність.
Функцію на зи ва ють
зрос та ю чою
на де я ко му проміжку, як -
що кож но му біль шо му зна чен ню ар гу -
мен ту із ць о го проміжку відповідає біль -
ше зна чен ня функції. Функцію на зи ва -
ють
спад ною
на де я ко му проміжку, як що
кож но му біль шо му зна чен ню ар гу мен ту
із ць о го проміжку відповідає мен ше зна -
чен ня функції.
Як що функція на всій об ласті виз на -
чен ня зрос тає або на всій об ласті виз на -
чен ня спа дає, її на зи ва ють
мо но тон ною
.
Як
що ж функція зрос
тає на де
я
ко
му
проміжку або спа дає на нь о му, то го во -
рять, що во на мо но тон на на да но му
проміжку. Нап рик лад, мо но тон ною є
функція
у
=
5
х
– 3, во на на всій об ласті
виз на чен ня зрос тає (мал. 25). Функція
у
=
4 –
х
2
мо но тон на на проміжку (–
∞
; 0),
на яко му зрос тає, і на проміжку (0; +
∞
),
на яко му спа дає. На всій об ласті виз на -
чен ня во на не мо но тон на (мал. 26).
Ха рак те ри зу ю чи влас ти вості функції,
час
то зазнача
ють та
кож, у яких точ
ках
во
на має найбіль
ше зна
чен
ня, у яких –
най мен ше. Нап рик лад, функ ція
у
=
4 –
х
2
,
за да на на проміжку [–1; 3], у точці
х
=
0
має найбіль ше зна чен ня 4, а в точці
х
=
3 –
Мал. 25
Мал. 26
Ðîçäië
1
44
най мен ше зна чен ня, яке дорівнює –5
(мал. 27).
Графік функції
скла даєть ся з двох
роз’єдна
них віток (мал. 28). При
х
=
0
зна чен ня цієї функції не існує. Ка жуть,
що в точці
х
=
0 во на має
роз рив
. Як що
графіком функції є не пе ре рв на лінія (її
мож на про вес ти, не відри ва ю чи олівець
від па пе ру), то та ку функцію на зи ва ють
не пе ре рв ною функцією
. Прик ла ди не пе -
ре рв них функцій по да но на ма люн ках
25–27. А на ма люн ках 29 і 30 зоб ра же но
графіки функцій, які ма
ють роз
рив у
точці
х
=
1. Во ни не є не пе ре рв ни ми в цій
точці.
Де які з влас ти вос тей функцій до сить прос то з’ясо ву ва ти,
див ля чись на її графік. Нап рик лад, функція, графік якої зо -
бра же но на ма люн ку 31, має такі влас ти вості.
1. Об ласть виз на чен ня
D
(
у
)
=
[–2; 24].
2. Об ласть зна чень
Е
(
у
)
=
[–2; 4].
3. Парність. Функція ні пар на, ні не пар на.
4. Точ ки пе ре ти ну графіка функції з віссю
у
. Од на точ ка –
(0; 1).
5. Нулі функції та проміжки зна кос та лості. Функція має два
нулі:
х
1
=
2 і
х
2
=
9.
f
(
х
) > 0, як що
х
∈
(–2; 2)
∪
(9; 24), а
f
(
х
) < 0,
як що
х
∈
(2; 9).
6. Мо но тонність. Функція спа дає на двох проміжках
х
∈
(–2; 6)
і
х
∈
(18; 24); зрос тає функція на од но му проміжку
х
∈
(6; 18).
Мал. 28
Мал. 29
Мал. 30
4
4
5
Мал. 27
§ 5
ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ
45
7. Функція не пе ре рв на. Має найбіль ше зна чен ня
у
=
4 і най -
мен ше зна чен ня
у
=
–2.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1.
Що та ке об ласть виз на чен ня і об ласть зна чень функції? Як їх знай -
ти за до по мо гою графіка?
2.
Що на зи ва ють ну ля ми функції?
3.
Які функції на зи ва ють зрос та ю чи ми? А спад ни ми?
4.
Чи мо же функція на од но му проміжку спа да ти, а на іншо му – зрос -
та ти?
5.
Які функції на зи ва ють ся пар ни ми? На ведіть прик ла ди пар них
функцій.
6.
Які функції на зи ва ють ся не пар ни ми? На ведіть прик ла ди не пар них
функцій.
7.
Чи пра виль но, що кож на функція є пар ною або не пар ною?
8.
Чи існу ють функції, які од но час но є і пар ни ми, і не пар ни ми?
1.
По бу дуй те графік функції
у
=
х
2
+ 4
х
і виз нач те, на якій
мно жині зна чень ар гу мен ту да на функція спа дає, а на якій зрос -
тає. При яко му зна ченні
х
зна чен ня да ної функції най мен ше?
Р о з в ’ я з а н н я.
Да на функція квад -
ра тич на, її графік – па ра бо ла. Фор му -
лу
у
=
х
2
+ 4
х
мож на по да ти в іншо -
му виг ляді:
у
=
х
(
х
+ 4). З ос тан ньої
фор му ли вид но, що зна чен ня функції
дорівню ють ну лю при
х
=
0 і
х
=
–4.
У точ ках з та ки ми ко ор ди на та ми гра -
фік да ної функції пе ре ти нає вісь
х
.
Вісь па ра бо ли про хо дить че рез точ ку
з абс ци сою
х
=
–2. При та ко му зна -
чен ні ар гу мен ту
у
=
2
2
– 4
⋅
2
=
–4. За
знайде ни ми ко ор ди на та ми трь ох то чок
бу дуємо па ра бо лу (мал. 32). Як вид но
з графіка, да на функція спа дає на про -
Мал. 31
Мал. 32
Ðîçäië
1
46
міжку (–
∞
; –2), зрос тає на про міжку (–2; +
∞
), а най мен ше зна -
чен ня має при
х
=
–2; во но дорівнює –4.
2.
Пар ною чи не пар ною є функція:
Р о з в ’ я з а н н я.
а) Об ласть виз на чен ня
D
(
у
) функції
у
=
х
2
– 9
(мно жи на всіх дійсних чи сел
R
) є си мет рич ною віднос но 0 i
f
(–
x
)
=
(–
х
)
2
– 9
=
х
2
– 9
=
f
(
x
). От же,
у
=
х
2
– 9 – функція пар на.
б)
D
(
у
)
=
(–
∞
; 0)
(0; +
∞
), си мет рич на віднос но 0 і
От же,
– функція не пар на.
в)
D
(
у
)
=
R
.
f
(–
x
)
=
5(–
x
) + 1
=
–5
x
+ 1
=
–(5
x –
1)
≠ ±
f
(
x
).
От же, функція
у
=
5
х
+ 1 – ні пар на, ні не пар на.
Відповідь.
а) Пар на; б) не пар на; в) ні пар на, ні не пар на.
195.
Які з функцій виз на чені на всій чис ловій осі:
а)
у
=
3
х
– 5; б)
у
=
х
2
+ 10; в)
у
=
х
–1
+ 1?
196.
Функція
у
=
f
(
x
) має най мен ше зна чен ня, що дорівнює 4.
Яке най мен ше зна чен ня має функція: а)
у
=
f
(
x
) + 5; б)
у
=
f
(
x
) – 7?
197.
Функція
f
(
x
) має найбіль
ше зна
чен
ня в точці
х
=
7.
У якій точці має найбіль ше зна чен ня функція: а)
у
=
f
(
x
) – 15;
б)
у
=
f
(
x
) + 7?
198.
Які з функцій зрос та ючі, які спадні:
а)
у
=
2
х
+ 3;
б)
у
=
7 –
х
;
в)
; г)
?
199.
На яких проміжках зрос тає і на яких спа дає функція:
а)
у
=
х
2
; б)
у
=
–
х
2
; в)
у
=
1 +
х
2
; г)
у
=
(
х
+ 3)
2
?
200.
Функція
у
=
f
(
x
) – пар на. Чи бу де пар ною функція:
а)
у
=
–
f
(
x
); б)
у
=
f
(
x
+
a
); в)
у
=
f
(
x
) +
b
?
201.
По бу дуй те графік функції
у
=
0,5
х
+ 3 і виз нач те, на
якій мно жині зна чень ар гу мен ту да на функція на бу ває до дат -
них зна чень, а на якій – від’ємних. При яко му зна ченні
х
зна -
чен ня да ної функції дорівнює ну лю?
202.
По бу дуй те графіки функцій
у
=
0,1
х
– 2 і
у
=
1 – 2
х
. Яка
із цих функцій зрос та ю ча, а яка спад на?
À