Файл: лекции по планирован.эксперименту.doc

Если расчетное значение Gр (экспериментальное) Gр<Gкр (Gкр - критическое значение при принятом уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы ₁=m-1 ₂=N, m - число параллельных опытов, N - число строк матрицы планирования или число опытов), то дисперсии однородны. Если Gр>Gкр - то дисперсии неоднородны, что указывает на то, что исследуемая величина не подчиняется нормальному закону и следует увеличить число m. Если дисперсии опытов однородны, то дисперсиювоспроизводимости эксперимента определяют по формуле:

(59)

По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты модели. Свободный член равен:

(60)

Коэффициенты регрессии, характеризующие линейные эффекты определяются по выражению:

(61)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия равны:

(62)

где i, l - номера факторов; , - кодированные значения факторов i и l в j-м опыте.

Коэффициенты b₀, b_i, b_ij - оценки теоретических коэффициентов ₀, _i, _ij регрессии. Оценки получены по МНК, они распределены нормально со средними, равными теоретическими коэффициентами с

Проверка значимости коэффициентов проводится по Н₀: =0.

1) сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

2) с помощью t-критерия Стьюдента.

По первому способу:

а) вычисляется дисперсия коэффициентов регрессии i-го коэффициента по формуле:

(63)

б) определяется доверительный интервал по выражению:

(64)

где t - табличное значение t-критерия Стьюдента при принятом уровне значимости  и числе степеней свободы , с которым определялась дисперсия ; f = (m-1)N; - ошибка в определении i-го коэффициента регрессии.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента

(65)

сравнивается с критическим по таблицам при и .

Коэффициент значим, если и. Гипотеза Н₀ отвергается и оценка коэффициентов значима. Статистически незначимыемогут быть исключены из уравнения.

Если , то гипотезу Н₀ не отвергают и - незначимы. Статистическая незначимостьможет объясняться следующим:

- данный i-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е. ;

- интервал варьирования выбран малым.

Проверка адекватности математического описания

Гипотеза об адекватности математического описания опытным данным проверяется по оценке отклонения предсказаний по полученному уравнению регрессии величины отклика от результатов наблюденийв одних и тех же точкахg-факторного пространства.

Рассеяние результатов проводится с помощью дисперсии адекватности:

(66)

где - среднее значение параметра оптимизации в j-м опыте;

- значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для условий j-го опыта;

f - число степеней свободы: f=N-(k+1);

k - число факторов;

(k+1)=d - число членов аппроксимируемого полинома.

Проверку гипотезы проводят по критерию Фишера:

(67)

где (68)

Если при заданном , , критическое значение (по таблицам):, то модель считают адекватной. При - гипотеза об адекватности отвергается, т.е. гипотеза о соотношении между и - оценкой дисперсии воспроизводимости отклика. Проверка адекватности возможна при что требует выполнения соотношения N>d.

Обработка результатов эксперимента при неравномерном дублировании опытов

По разного рода причинам не всегда удается провести одинаковое число параллельных опытов. При этом нарушается ортогональность матрицы планирования и, как следствие, изменяются формулы для расчета ,и их ошибок. Обработка результатов экспериментов при неравномерном дублировании опытов производится по следующему алгоритму.

1. Для каждой строки матрицы планирования находят среднее значение параметра оптимизации по выражению:

где - число параллельных опытов в j-й строке матрицы.

2. Для каждой строки матрицы вычисляют дисперсию опыта:

3. Проверяют с помощью критерия Бартлета гипотезу однородности дисперсий опытов. Для этого подсчитывают дисперсию воспроизводимости эксперимента по формуле:

где - число степеней свободы, с которым определялась дисперсия опыта.

Определяют критерий Бартлета по выражению:

где .

Критерий Бартлета Q приближенно подчиняется ² распределению Пирсона с (N-1) степенями свободы, где N - число сравниваемых дисперсий.

Если ( - критическое значение ²-Пирсона для данного числа (N-1) степеней свободы и принятого уровня значимости =0,05), то дисперсии однородны ( берется из таблиц).

Критерий Бартлета основан на нормальном законе распределения N: 0,1. Если распределение случайной величины не подчиняется N: 0,1, то проверка однородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

Пример №5.

Матрица планирования предусматривает постановку 4-х опытов. Для 1^го опыта n₁=5 (повторен пять раз); n₂=6; n₃=4; n₄=4. При этом дисперсии по опытам равны: Требуется проверить гипотезу об однородности выборок Н₀: .

Определяем дисперсию параметра оптимизации:

где где - число степеней свободы, с которым определялась дисперсия j-го опыта: ;

Вычисляем величину с:

Определяем критерий Бартлета:

Критическое значение -Пирсона при =0,05 для 3^х степеней свободы:  = N-1 = 4-1 = 3, равно:

Так как (1,37<7,82), то Н₀: - отвергается, что означает, что однородность дисперсий обеспечивается.

4. Вычисляют коэффициенты уравнения регрессии, дисперсиикоэффициентов регрессии и ошибки - стандартв определении коэффициентов, ковариация коэффициентов регрессии.