Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

60 ГЛ. II. ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Для этого силового поля 6Л = йФ = — czdz и

Ф= — i i - + const.

Пр и м е р 3. Рассмотрим поле произвольной центральной силы (мы будем называть силу центральной, если она всегда направлена вдоль прямой, проходящей через центр — неподвижную точку О, а величина ее зависит лишь от расстояния до центра). Приняв точку О за начало координат, можно записать общую формулу для любой центральной силы

Элементарная работа центральной силы равна

поэтому

г + const.

Силовое поле, имеющее такую силовую функцию, называется

центральным полем.

П р и м е р 4. В качестве последнего примера рассмотрим поле двух точек, между которыми действует сила взаимного притяжения (или отталкивания), зависящая только от расстояний между точками.

Сила, действующая на первую точку, может быть представлена выражением

сила же F2, действующая на вторую точку, равна и противоположна силе Fx (здесь F( \rx —r2 !) — F (г) — некоторая заданная функция расстояния между точками). Тогда

8А = Ft • drx -f F2 • dr2 =

Дословно повторяя рассуждения, проведенные в третьем примере, получаем

<S = \F (г) dr + const.

Таким образом, силовая функция поля тяготения двух точек определяется так же, как и для поля центральной силы, но переменной служит уже не радиус-вектор точки, а расстояние между взаимодействующими точками.

Последний пример иллюстрирует, в частности, то обстоятельство, что функция Ф не аддитивна. Действительно, функцию

нельзя получить как сумму значений, подсчитанных порознь для первой и второй точек, так как она является функцией расстояния г, определяемого положением двух точек одновременно.

§ 5. Основные задачи и методы классической механики

Основная задача, которую решает классическая механика, может быть сформулирована так: в начальный момент t — t0 известны положения и скорости всех точек, образующих некоторую систему; заданы силы, действующие на все материальные точки

этой системы; требуется определить движение точек системы для

всех t>t0.

Говоря, что «силы заданы», иногда имеют в виду, что они заданы как функции времени, т. е. что заранее известно, как меняются во времени производные dq/dt для всех точек; чаще,

62 ГЛ II ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

однако, при этом имеют в виду, что dq/dt для каждой точки зависит также от положения всех материальных точек в рассматриваемой системе отсчета или (и) от их скорости относительно нее; тогда слова «силы заданы» означают, что силы заранее известны как функции не только времени, но и координат и скоростей точек системы.

Как уже указывалось в предыдущих параграфах, сила — результат сложных физических процессов, обусловливающих взаимодействие материальных объектов. Механика не изучает физическую природу этих взаимодействий. Поэтому силы как функции положений и скоростей материальных точек или тел в каждой конкретной механической задаче считаются известными —их определяют в иных дисциплинах.

В тех случаях, когда физическая природа взаимодействий не изучена, сила как функция координат и скоростей точек может быть все же определена в результате творческих обобщений результатов экспериментальных наблюдений. В исследованиях такого рода могут быть использованы методы механики—типич- ным примером служит открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, однако основная задача механики как науки начинается только после того, как такая предварительная и, вообще говоря, выходящая за рамки механики работа проделана и сила задана как функция времени, координат точек системы и их скоростей.

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек, и выделим в ней /-ю точку. Все силы, действующие на эту точку в результате внутренних и внешних взаимодействий, можно заме-

Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона в некоторой инерциальной системе отсчета имеют место N равенств

§ 5 ОСНОВНЫЕ ЗАД VIII И МЕТОДЫ б'5

ференциальные уравнения называют иногда основными уравне-

например обычными методами приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. Если же,однако, речь идет о нахож-

Поэтому вседальнейшее построение механики, ее цели и методы связаны с обходом или преодолением затруднений, обусловленных тем, что основные дифференциальные уравнения динамики систем не могут быть проинтегрированы в общем виде. Методы, которые используются в механике, чтобы преодолеть указанные трудности, могут быть кратко описаны так.

64 ГЛ. И ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1° Механика тщательно собирает и изучает все те случаи, когда функциональные зависимости, выражающие силы, такопы, что дифференциальные уравнения (28) могут быть сведены к квадратурам и поэтому движения могут быть непосредственно изучены. Так, например, обстоит дело в таком важном случае, как движение материальной точки в поле тяготения какого-либо иного материального объекта. Однако уже в так называемой задаче трех тел, когда рассматривается система из трех материальных точек, движущихся под действием взаимного тяготения, дифференциальные уравнения вида (28) не решаются в общем виде и исследование движения становится значительно сложнее.

2° В тех случаях, когда нельзя найти решение системы дифференциальных уравнений (28) в замкнутой форме, разрабатываются методы, позволяющие значительно упростить эти уравнения для последующего исследования, в частности понизить их порядок. Так, например, при изучении движения абсолютно твердого материального тела, состоящего из бесконечного количества точек, заполняющих некоторый объем, система дифференциальных уравнений вида (28) должна была бы состоять из бесконечного числа уравнений. Однако в механике установлены приемы, позволяющие полностью описать движение всех точек твердого тела с помощью только шести дифференциальных уравнений не выше второго порядка каждое.

3° В тех случаях, когда интегралы уравнений (28) не могут быть найдены даже при предельном упрощении этих уравнений методами механики, изучаются общие свойства решений этих уравнений без их непосредственного нахождения. Так, например, для случая, когда движение происходит в потенциальных полях, механика определяет многие общие свойства движений без того, чтобы доводить до конца задачу об определении самих движений.

4° Наконец,—и, по-видимому, этот прием является наиболее важным и чаще всего употребляемым — вводятся специально выбранные функции от координат точек и их скоростей и изучается зависимость этих функций от времени. В качестве таких функций используются, в частности, введенные выше меры движения —кинетическая энергия Т и количество движения Q системы. Во многих случаях оказывается, что для описания изменения этих функций во времени можно составить дифференциальные уравнения значительно более простые, чем основные дифференциальные уравнения динамики, так что изменение этих функций во времени исследуется гораздо проще. Так, например, можно установить условия, когда количество движения системы Q заведомо не меняется во время движения. В этом случае можно сразу выписать три равенства типа «заданная функция от координат и скоростей точек равна постоянной». Каждый раз, когда удается найти функции от координат точек и их скоростей, кото-