Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 900

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4 СИЛЛ РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

55

Гюдной, то скорость точки А относительно инерциальной системы отсчета не изменялась бы и мы имели бы ЦА = const. Однако из-за взаимодействия точек А и В производная dqAldt отлична от нуля. Как уже указывалось выше, механика не отвечает на вопрос о том, почему наличие точки В оказывает воздействие на движение точки А, а исходит из того факта, что такое воздействие имеет место, и отождествляет результат этого воздействия свектором dqAldt. Воздействие точки В на движение точки А называют силойи говорят, что точка В действует на точку А с силой, изображаемой вектором

 

 

 

 

 

 

 

(16)

Именно это равенство

(используя

термин «сила») обычно назы-

вают вторым законом Ньютона.

 

 

 

 

Пусть, далее, та же точка А взаимодействует

с несколькими

материальными

объектами Въ

В2,

•••, Bk.

Каждый из эгих

объектов, если

бы он был один,

обусловил

бы возникновение

силы Fi, F2, .

., Fk

соответственно. При этом

постулируется

гак называемый

принцип

независимости действия сил: сила,

обусловленная каким-либо

источником, не зависит от наличия

сил, обусловленных иными источниками. Центральным при этом является предположение о том, что силы, приложенные к одной и той же точке, могут складываться по обычрым правилам сложения векторов и что полученная таким образом сила эквивалентна исходным. Благодаря предположению о независимости действия сил множество воздействий, приложенных к материальной точке, можно заменить одним воздействием, представленным <. оответственно одной силой, которая получается геометрическим суммированием векторов всех действующих сил.

Сила —результат взаимодействияматериальных объектов. Это

шачит, что если

FA= dyAldt={=§ из-за наличия точки В, то и,

наоборот, FB = dqB/dt=£0

из-за

наличия точки А. Соотношение

между

силами FA И FB устанавливается третьим

постулатом

(шконом) Ньютона.

Согласно

этому

постулату

при взаимодей-

i шии

между материальными объектами силы FA

и FB

равны

по

величине, действуют

вдоль

одной

прямой,

но направлены

и противоположные

стороны

Эгот закон формулируется

иногда

кратко

так: «любое действие ржно и противоположно противо-

действию».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утверждение это — новый постулат. Он не возникает как-либо

us

предыдущих

исходных

предположений, и,

вообще

говоря,

можно

построить

механику

без этого

постулата

или с иной его

формулировкой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

ГЛ. П. ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

При

рассмотрении

 

системы материальных

точек удобно раз-

делить

все силы, действующие на точки рассматриваемой системы,

на два

класса. К первому

классу

относят силы, которые возни-

кают

благодаря взаимодействиям материальных

точек,

входящих

в данную

систему. Силы такого рода называются

внутренними.

Силы,

 

возникающие

благодаря

воздействию

на

материальные

точки

рассматриваемой

системы других материальных

объектов,

не включенных в эту

систему, называют внешними.

 

2. Работа силы. Скалярное произведение Fi-dr{,

где drt —

бесконечно

малое приращение радиуса-вектора

о

при смещении

t'-й материальной точки

вдоль ее траектории, называется элемен-

тарной

работой силы F{

и обозначается бЛ;. Сумму элементар-

ных работ

всех сил,

Действующих на точки системы,

называют

элементарной работой сил

системы и обозначают

 

 

 

 

 

 

 

 

ЬА= 2

6/4,.

 

 

 

Выражая скалярные произведения через проекции сомножителей

на

оси координат, получаем

 

 

 

 

 

ЬА i = Flxdx, + Flydyt + Fltdz{,

(17)

 

 

8А = 2

(Ftxdxt + Flydyt

+ Fltdzt).

(18)

Если проекции

сил Fu,

Fiy

и Fiz и приращения координат dxit

dyt

и dzt

выражены через

один и тот

же скалярный параметр

(например,

через время

/ или —в случае системы, состоящей из

одной точки, —через элементарное перемещение ds),

то величины

в

правых

частях

равенств

(17) и (18)

могут быть

представлены

в виде функций

от этого

параметра,

умноженных

на его диф-

ференциал, и могут быть проинтегрированы по этому параметру,

например по t

в пределах от /, до t2.

Результат

интегрирования

обозначается

А1Х 2 и

А{ 2

и называется

полной работой силы Ft

и полной работой

сил

системы за

время (tlt

1г) соответст-

венно.

 

 

 

 

 

При подсчете элементарной и полной работы всех сил системы, ЬА и А1ш 2 , должны быть приняты во внимание все силы, как внешние, так и внутренние. Тот факт, что внутренние силы попарно равны и противоположно направлены, оказывается несущественным, так как при подсчете работы играют роль еще и перемещения точек, и поэтому работа внуфенних сил, вообще говоря, отлична от нуля.

§ {. СИЛА РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

57

Рассмотрим частный случай, когда величины в правых частях равенств (17) и (18) могут быть представлены как полные дифференциалы

8А1 = с1Ф1,

(19)

N

 

бА = 2] d(t)i = dO.

(20)

В этом случае также естественно принять введенные выше обозначения и определения:

A[.t=

\ « М ^ Ф ^ - Ф , . ! ,

(21)

 

Фа

 

Л 1 > 2 =

$ЛФ = Ф 2 - Ф Х .

(22)

ф,

Из равенств (21) и (22) следует, что в тех случаях, когда элементарная работа является полным дифференциалом некоторой функции Ф, работа на любом конечном интервале зависит лишь от значений Ф в начале и в конце УГОГО интервала и не зависит от промежуточных значений Ф, т. е. от того, каким образом происходило перемещение.

3. Силовое поле. Во многих задачах механики часто приходится иметь дело с силами, зависящими от положения рассматриваемых точек (и, быть может, от времени) и не зависящими от их скоростей. Так, например, сила может зависеть от расстояния между взаимодействующими точками. В технических задачах силы, обусловленные пружинами, зависят от деформации пружин, т. е. также от положения в пространстве рассматриваемой точки или тела.

 

Рассмотрим сначала случай, когда изучается движение одной

точки и поэтому рассматривается только одна сила,

зависящая

от

положения точки. В таких случаях

вектор силы

связывают

не

с точкой, на которую осуществляется

воздействие, а с точками

пространства. Предполагается, что с каждой точкой пространства, определяемой в некоторой инерциальной системе отсчета, связан нектор, изображающий ту силу, которая действовала бы на материальную точку, если бы последняя была помещена в эту точку пространства. Таким образом, условно считается, что пространство всюду «заполнено» векторами. Это множество векторов называется силовым полем.

Говорят, что силовое поле стационарно, если рассматриваемые силы не зависят явно от времени. В противном случае силовое поле называется нестационарным.

Поле называется потенциальным, если существует такая скалярная функция координат точки (и, быть может, времени)

58 ГЛ. II ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Ф(х,

у,

г,

t),

что

частные

производные

от

этой

функции

по х,

у и г равны проекциям Fx,

Fy,

F2

силы

F

на оси

х,

у и z

соот-

ветственно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

х

~ д х '

 

Г

У ~ д у '

 

 

г ~ ~ ~ д г -

В связи с тем, что сила

F есть функция точки пространства,

т. е.

координат х,

у

и

г,

и, может быть, времени, ее проекции

Fx,

Fy

и

Fg

также

 

являются функциями

переменных х,

у,

г, t.

Функция Ф(х, у, z, t),

если она существует, называется сило-

вой

функцией.

Разумеется,

силовая

функция существует

не для

всякого силового поля, и условия ее существования,

т.

е.

усло-

вия

того,

что

поле

 

потенциально,

выясняются в

курсе

матема-

тики и

определяются

равенствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

 

дх

'

dz

 

ду

'

 

дх

дг

 

 

 

При

исследовании движения

N взаимодействующих

точек

необ-

ходимо

учитывать

наличие

N действующих

на них

сил Flt

F2, ...

. . . .

Fn.

В

этом

случае

вводят

ЗМ-мерное

пространство

коорди-

нат

точек

Xi, г/(, гг

(г =

1,

2, ...,

N).

Задание точки этого

про-

странства

определяет

расположение

 

всех

N материальных

точек

изучаемой

системы. Далее вводят

в рассмотрение ЗЛ'-мерный век-

тор

с координатами

Fix,

F.iy, Ftz

и условно

считают,

что

ЗЛ^-мер-

ное пространство х{, уи г{

всюду плотно заполнено такими век-

торами. Тогда

задание точки этого ЗЛ^-мерного пространства

опре-

деляет

не только положение всех материальных точек относительно

исходной

системы

отсчета,

но и все силы, действующие

на

мате-

риальные

точки

системы.

Такое ЗЛ^-мерное силовое поле

назы-

вается

потенциальным,

если существует

силовая функция

Ф от

всех

3Af

координат

xt, yt,

Z{ такая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

„

 

дФ

с

 

дФ

г,

 

дФ

 

/•

1

о

 

лг\

 

Если

силы Ft

 

могут

быть

представлены

в

виде

суммы

двух

слагаемых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(« = 1,

2,

. . . , ЛО

 

 

 

так,

что

слагаемые

FT

удовлетворяют

соотношениям

(24),

а сла-

гаемые

FT*

им не удовлетворяют,

то FT

называются

потенциаль-

ными, a

F**

непотенциальными

силами.

 

 

 

 

 

 

Система

материальных

точек

называется

консервативной1),

если

существует силовая функция

Ф{хЛ,

ух,

гг,

...,

xN,

yN,

)

*) Далее будет дано более общее определение понятия консервативной системы (см. гл. IV и VII).

§ 4 СИЛА РАБОТА СИЛОВЫЕ ПОЛЯ

59

 

пе зависящая явно от времени (силовое поле стационарно) и такая, что все силы, действующие на точки, удовлетворяют соотношениям (24).

Элементарную работу сил консервативной системы

удобно представить в ином Еиде, Еыразив скалярные произведения через проекции векторов-сомножителей (формула (18)). Учитывая существование силовой функции Ф, в силу (23) получаем

N

бЛ = 1 Ы^ +Ж^ +Ж*

т.е. элементарная работа 6/1 равна полному дифференциалу силовой функции

ЬА = dO). I

(25)

Таким образом, при дгижениях консервативной системы элементарная работа выражается полным дифференциалом некоторой функции, и поэтому

Гиперповерхности

 

Л1>8 = Ф , - Ф Х .

(26)

 

 

 

 

 

Ф ( * ь

У\,

ги ..., х„,

уп,

г„) = const

называют поверхностями

уровня.

 

 

В формуле (26)

символы Ф1

и Ф

2 означают значения Ф

в моменты tx и /2 начала

и конца движения. Поэтому при любом

движении

системы,

началу которого соответствует точка, распо-

ложенная

на поверхности уровня

 

 

Ф(х, у, г) = Ф1 (

а концу —точка на поверхности уровня

Ф(х, у, 2) = Ф2 ,

работа подсчитываете я по формуле (26). Следовательно, при движении консервативней системы работа зависит не от пути, а лишь от того, на каких поверхностях уровня началось и закончилось движение. В частности, работа равна нулю, если движение начинается и заканчивается на одной и той же поверхности уровня.

Формулой (25) можно пользоваться иногда для того, чтобы определить силовую функцию Ф. Продемонстрируем это на простых примерах.

Смотрите также файлы