Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

рые не изменяются во время движения системы, эти функции называются первыми интегралами дифференциальных уравнений движения. В механике указываются приемы нахождения таких первых интегралов, которые не только позволяют упростить уравнения движения, но и зачастую дают возможность довести решение задачи до конца. В качестве примера можно указать рассматриваемую ниже задачу о движении материальной точки в поле центральной силы.

Эти четыре основных приема используются механикой для вывода ее обших законов и для изучения некоторых часто встречающихся типов движения или важных классов динамических систем. Предполагается, что не только выполнены все исходные постулаты, о которых шла речь в § 2 этой главы, но что выполняются следующие дополнительные условия.

1° Рассмотрение ведется в инерциальной системе отсчета.

2° Рассматривается движение постоянной по составу системы материальных объектов, т. е. считается, что на протяжении всего движения система состоит из одних и тех же материальных объектов.

3° В пространстве «нет преград», т. е. ничто не препятствует ни одному из рассматриваемых материальных объектов (точек или тел) находиться в любом месте в любой момент времени.

Эти три условия выполняются далеко не всегда, и механика изучает методы, с помощью которых законы, полученные для систем, удовлетворяющих этим условиям, могут быть использованы и в тех случаях, когда какое-либо из этих условий не выполняется. Как мы уже видели выше, предположение о том, что время не зависит от пространства и материи и что просгранство является евклидовым, однородным и изотропным, сделало невозможным рассматривать причины такого важнейшего явления материального мира, как взаимодействие материи, и заставило в рамках

чтобы распространить ее законы на случай, когда изучается движение относительно неинерциальных систем отсчета. Аналогичным образом изучается движение системы, материальный состав которой меняется во время движения. Этот же прием используется иногда и для исследования движений в тех случаях, когда в пространстве существуют ограничения, наложенные на координаты

3 М А. Айзерман

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

один из них связан с введением некоторых специальным образом

таких функций мы рассмотрим меры движения, которые были введены в предыдущей главе: скалярную функцию —кинетическую энергию системы и векторную функцию —количество движения (импульс) системы. Рассматривая вектор количества движения qh естественно рассматривать также и момент этого вектора, т. е. ввести еще одну векторную характеристику, зависящую от координат точек и их скоростей.

Исследование этих функций проводится ниже в такой последовательности. Сначала мы выясним, каким образом меняются и при каких условиях сохраняются векторные характеристики

характеристики, которая будет введена далее, —полной энергии Е. Утверждения, касающиеся законов изменения этих функций,

носят название основных теорем классической механики,а утверждения, касающиеся условий, при которых эти функции сохраняются неизменными, называются законами сохранения. Далее в формулировках основных теорем будут использоваться два вектора, которые определяются совокупностью сил, действующих

Векторы Ft приложены к разным точкам, а вектор R — свободный вектор, он может быть построен в любой точке О простран-

3*

Непосредственно видно, что главный момент сил взаимодействия двух точек системы относительно любого полюса равен нулю (рис. III. 1). В связи с тем, что внутренние силы могут входить только попарно, главный момент внутренних сил системы равен нулю, так что главный момент всех сил системы равен главному моменту только внешних сил:

внут) = О»

(6)

1=1

Условимся всюду далее индекс i ОТНОСИТЬ только к номеру точки в системе материальных точек и при

§ 2. Количество движения системы материальных точек

По определению количеством движения системы называется вектор

Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона

~ж~-