Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

§ 3. МЕРА ДВИЖЕНИЯ

51

Движется относительно старой системы отсчета вдоль

оси у или

вдоль оси г, т. е. что вектор

и

имеет

координаты

(0,

и, 0) или

(0, 0, и). Дословно повторив проведенные выше

рассуждения,

установим, что равенству типа

(1)

удовлетворяют также

частные

производные д[/диу

и dfldvz.

Введем теперь вектор q с координатами df/dvx, df/dvy

и df/dvz.

Каждая из этих частных производных

представляет

собой функ-

цию переменных vx, vy, vz

и

т.

Поэтому вектор

q

является

функцией переменных vx, vy,

vz

и т,

т. е. q есть вектор-функция

от т и от векторного аргумента

о, удовлетворяющая равенству (1).

Функция q (m, v)

аддитивна

и, являясь вектором,

инвариантна

qx = dfldvx,

qy = dfldvy,

qz = dfldvz.

(6)

Теперь, исходя из принципа относительности Галилея, потре-

буем, чтобы равенство

(5)

(и

аналогичные

равенства для

df/dvy

и df/dvz) сохранялось при преобразованиях Галилея. Легко

видеть, что повторяя

подобные

рассуждения,

но только

исходя

не

из равенства (1),

а

из равенства (5)

(и аналогичных равенств

для

df/dvy и df/dvz),

мы установим, что равенству типа (1) должны

удовлетворять все

вторые

производные, т. е. шесть функций

dvx

'

dv* '

dv*

'

dvxdvy

*

dvydvx'

dvx

dvz

диг

dvx

'

dvy дхг

dvz

dvy

°L

М-

?L

i

l

3JL

JLl.

d'f

d2f

d2f

<hx '

dvy

'

'dvz

'

d v l '

~dvy '

dvz

'

dvx dvy '

dvx

dxz

'

dvv dvz

'

(7)

Эти десять равенств вида (1) содержат величины, которые по

постановке

задачи

предполагаются

заданными

(ими

являются

массы mj

и тг

двух

взаимодействующих

точек и их

скорости до

is шимодействия

о, и v2),

и шесть

неизвестных

величин (проекции

гкоростей v\ и v'i этих

же точек

после

взаимодействия: v\x,

v\y,

\г, v'ix, v'ly

и v'iz).

В силу классического детерминизма, т. е.

предположения,

что

при любых заданных воздействиях

состояние

i нстемы в некоторый момент полностью

определяет

ее состояние

по все

последующие

моменты

времени,

эти

шесть

неизвестных

лишь шесть неизвестных. Эта система

уравнений

должна

иметь

решение (и притом единственное). Ясно

поэтому,

что из десяти

равенств вида (1), о которых выше шла

речь, лишь шесть

неза-

это d2f/dvxdvy.

Учтем теперь, что / зависит

от v2,

f = f(m,

v2). Тогда, счи-

тая т постоянным параметром, получаем

df(m,

t>2) _

df(m, а2)

д (у*) _

df (m, о2) о

dvx

~

d(v2)

dvx

~~

d(v*)

x

, p«) o

d(v*}

_

d»/(m, о»)

dvxdva

d2f(m,

v2)/d (v2)2 = 0.

(9)

Положив v*= x, последнее

равенство можно записать

так:

§ 3 МЕРА ДВИЖЕНИЯ

53

f= l/2a(m)v2 + b(m).

(10)

Таким

образом,

из

требований

1° —3°

вытекает,

что

если

существует скалярная мера движения f(m,

у2),

то

она

имеет

вид

(10),

и что тогда существует векторная

мера

движения

q

qx

= a (m) vx,

qy=^a (m) vy, qs

= a (m) ve,

или

в векторной записи

q = a(m)v.

(11)

В

классической

механике

нормируют

меру

движения / так,

чтобы

она обращалась в нуль

при v = 0. Это соображение делает

предпочтительным выбор

b {т)= 0.

Проведенные выше рассуждения

не устанавливают

вид 4УНК-

ции а(т); для этого требуются дополнительные соображения.

Рассмотрим замкнутую систему,

состоящую

из двух

точек А

и В.

Если бы система состояла только

из

точки А,

то в силу

определения инерциальной системы отсчета скорость vA

сохраня-

лась

бы

и,

следовательно,

имело

бы

место

равенство

#д =

который мы рассматриваем

в качестве точки А

(т.

е. изменять

инерционную массу т точки А), и рассматривать

не

зависящие

от т воздействия,

то

при

одном и том же воздействии на нее

п прочих равных

условиях

ускорение wA меняется обратно про-

порционально т.

Это утверждение,

новое

в том

смысле, что оно не вытекает

m всех введенных

выше исходных

определений, и должно быть

постулат был

введен Ньютоном и называется вторым постулатом

i UIKOHOM) Ньютона

Исходя из

второго постулата

Ньютона, естественно выбрать

функцию а(т)

пропорциональной

т. Принципиально возможен

54

ГЛ. ТТ ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛ M^CHMFCKOH МЕХАНИКИ

значение

а(т)

в формулы (10) и (11), получим для скалярной

и векторной

мер движения

следующие выражения:

f*=ll*nv\

(12)

q = mv.

(13)

Поэтому

для системы,

состоящей

из N точек, эти скалярная

и векторная

меры

равны

(14)

(15)

Вектор qi = mivi

называется количеством

движения (термин,

принятый в механике) или импульсом (термин, принятый в физике)

точки,

а вектор

Q — количеством

движения

(или импульсом)

системы.

Скалярная

величина fi~(nitvf)f2

имеет размерность

энергии,

называется

кинетической энергией точки и обозначается

Т{. Соот-

N

ветственно Т=

^

Tt называется кинетической энергией системы1).

тона,

если

бы в системе

не было точки

В и точка А была сво-

*) В

соответствии с

представлениями

теории

относительности

Вселенная

представляет

собой

четырехмерный

континуум

«пространство-время»,

поэтому

и мера

движения должна быть

четырехмерным

вектором. Классическая меха-

ника, предполагая,

что течение

времени

не связано с пространством,

вводит

в рассмотрение два

раздельных

объекта — трехмерное

пространство

и скаляр-

ное время. Естественно,

что и мера

движения

в

классической механике «рас-

щепляется» на трехмерную векторную меру

и на меру

скалярную.

В этом

смысле

скалярную

меру — кинетическою

энергию —можно

рассматривать как

проекцию

четырехмерной

меры на

временную

координату. О

своеобразной

«связи»

энергии и времени

в классической механике

речь будет

идти

и далее;

см., например, §§ 2 и 7 гл.

VII.