Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 799

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4 КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ

75

Суммируя по всем точкам системы, получаем

 

или

 

 

(21)

Итак, мыдоказали теорему об изменении кинетической энергии: Дифференциал кинетической энергии системы материальных

точек равен элементарной работе всех сил, приложенных к ее точкам.

В формулировке этой теоремы весьма существенно, что вней

речь

идет о всех силах, а не только о внешних силах,

как это

имело место в предыдущих теоремах

этой главы.

В предыдущих

теоремах суммировались сами силы

или их моменты

и в силу

третьего закона Ньютона сумма всех

внутренних сил (или их

моментов) оказывалась

равной нулю

 

и могла

быть отброшена.

Теперь же в теореме об изменении кинетической

энергии сумми-

руются скалярные произведения Fidrit

и даже

если силы Ft и

Fin

равны, действуют

вдоль одной прямой и направлены проти-

воположно, сумма Fr

dri-\-Fi+1-dr^y

 

может быть (и часто бы-

вает)

отлична от нуля, так как в общем случае

 

 

 

 

dr{

 

 

 

 

Рассмотрим теперь

консервативную

систему,

т. е.

систему,

в которой все силы потенциальны, а поле стационарно. Для такой системы (см. § 4 гл. II)

8А = где Ф —силовая функция, и поэтому

или

d(T-<t>) = 0,

т. е.

Т - Ф = сопз1.

Из этого равенства сразу следует, что Ф имеет размерность энергии.

Функцию П, отличающуюся от Ф лишь знаком (она, как и Ф, имеет размерность энергии), называют потенциальной энергией системы. Поскольку

П = — Ф, при движении консервативной системы

(22)

76

 

 

 

ГЛ. Ш ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

 

 

Сумма

Е

 

кинетической

и

потенциальной

энергий

называется

полной механической энергией системы,

и

равенство

(22)

можно

записать

так: Е = const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

мы установили

закон сохранения механической энергии:

 

При

движении консервативной системы материальных

точек

полная механическая энергия системы не

меняется.

 

 

 

 

Рассмотрим

теперь

систему,

которая

не является консерватив-

ной, но

у которой часть сил потенциальна. Для такой системы

где

6Л** —элементарная

работа непотенциальных

сил, и

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

йЕ = ЬА**.

 

 

 

 

 

 

 

(23)

 

Следовательно,

дифференциал полной энергии для

систем,

на

которые

действуют

ш потенциальные силы, равен элементарной

работе

непотенциальных

сил.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, кинетическая энергия при движении замкну-

тых

систем

не

остается

постоянной,

а

меняется

за

счет

работы

внутренних

сил.

Эта

работа

равна

нулю,

если

все

силы

потен-

циальны

и движение начинается и заканчивается

на одной и той

же

поверхности

уровня Ф = const. Именно такая ситуация и имеет

место

в

случае временных

взаимодействий,

о

которых шла

речь

в гл.

II.

В

иных

случаях

скалярная

мера

Т не

сохраняется

неизменной даже для замкнутых систем, у которых всегда имеет

место

сохранение векторной

меры Q.

Существует,

однако, дру-

гая скалярная

функция от координат и скоростей точек — полная

энергия системы, которая

остается

постоянной при движении сис-

тем некоторого класса. Таким классом

оказались

все консерва-

тивные

системы. Класс замкнутых

и класс консервативных

систем

не совпадают,

а пересекаются,

так

как

замкнутые

системы могут

быть консервативными и неконсервативными, а

консервативные

системы не обязательно замкнуты ! ).

 

 

 

 

Скалярная

функция,

сохраняющая

постоянное значение при

движении консервативных

систем, — полная энергия

системы — не

является мерой движения в том смысле, который

был

придан

этому

понятию в гл. II, так

как

она

не аддитивна.

В то

время

как кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий точек, потенциальная энергия в общем слу-

1) Примером консервативной незамкнутой системы служит система, состоящая из материальных точек, движущихся в поле тяготения массы, не включенной в систему (скажем, материальная точка в поле тяготения Земли), а примером замкнутой, но неконсервативной системы —система, в которой внутренние взаимодействия зависят и ог скоростей точек.

§ 4. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ

77

чае существует для системы в целом, и само понятие «потенциальная энергия отдельной точки системы» может быть лишено смысла.

Сведем теперь полученные выше основные теоремы и законы сохранения в табл. I.

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

I

Характеристика

 

 

Основная

Закон

Системы, для которых верен

движения

 

 

теорема

сохранения

закон сохранения

 

Количество

движения

d Q - R

 

Замкнутые системы и про-

Q = const

извольные системы,

у

(импульс)

Q

 

 

~П~ — *^внеш

 

КОТОРЫХ # в „ с ш = 0

 

 

 

 

 

 

 

Кинетический момент

Kg

dKo

 

Замкнутые системы и про-

относительно

непо-

dt

ЛГО = const

извольные системы,у ко-

движного

полюса

0

 

^ МОвнещ

 

торых Ж О в н е ш = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Консервативные

системы

 

 

 

 

 

 

при движении по поверх-

Кинетическая энергия Т

dT = SA

Г = const

ности уровня

и произ-

вольные системы, у кото-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рых во время

движения

 

 

 

 

 

 

6 Л = 0

 

 

Полная энергия Е = Т-\-

dE = SA**

E = const

Консервативные

системы

+ П

 

 

 

 

 

 

 

 

В заключение этого параграфа сделаем следующее общее заме-

чание о

законах

сохранения. Формулировка каждого

из этих

законов имеет следующий вид: «некоторое выражение, зависящее

от координат точек и их

скоростей, при движении системы не

меняется». Эти выражения

не зависят от ускорений точек и в этом

смысле являются первыми интегралами уравнений движения.В даль-

нейшем (см. гл. VII)

мы вернемся

к понятию «первый интеграл»

и дадим

его точное

определение.

Там же будет показано, что

найденные выше

первые интегралы —законы сохранения —явля-

ются

следствиями

основного предположения классической меха-

ники

об

однородности и изотропности пространства и об одно-

родности

времени

(см. гл. VII). Отложив поэтому

уточнение этого

понятия

до гл. VII,

мы в § 7 настоящей главы

на важном при-

мере продемонстрируем, как классическая механика использует законы сохранения для того, чтобы упростить (а в некоторых случаях и решить) дифференциальные уравнения, описывающие движение.

78

ГЛ III ОСНОВНЫЕ TEOPFMbI И ЗАКОНЫ МГХАНИКИ

§ 5. Конечные приращения количества движения,

кинетического момента и кинетической энергии

Вернемся теперь к равенству (7) и представим его в виде

dQ = /?ВН1ш dt^^F, ш,еш dt.

Интегрируя от tx до t2 (от Qt до Q2 соответственно), получаем

Интеграл ^ F,в н е ш

dt представляет собой вектор. Егообозначают

/, и называюти импульсом силы.

Обозначим сумму

векторов /, по всем внешним силам через /

и назовем этот вектор импульсом внешних сил системы. Тогда

 

(24)

Мы установили

теорему о конечном приращении количества

движения

 

Приращение вектора количества движения {импульса) системы

за конечное время равно импульсу внешних сил системы за то же время

Аналогично из формулы (18) получаем

сразу

 

 

 

 

 

 

(25)

где Д/Сд —приращение

кинетического момента

за время от tx до

/2. a SA —вектор, который называется импульсом моментоввнеш-

них сил и определяется так:

 

 

 

 

 

SA = 2

<&внеш= 2 Jffl /1 (Ft внеш) dt.

 

 

 

и

 

 

 

Равенство

(25) называется

теоремой

о конечном приращении

кинетического

момента:

 

 

 

 

Приращение вектора кинетического

момента

системы за конеч-

ное время равно импульсу моментов

внешних сил системы за то

же время.

 

 

 

 

 

 

Переходя

в равенстве (21) к конечным приращениям, находим

 

 

AT

= А1Я.

 

 

(26)

Это равенство составляет содержание теоремы

о конечном прира-

щении кинетической энергии:

 

 

 

 

Приращение кинетической

энергии системы

за конечное время

равно работе

всех сил системы н гсоответствующих перемещениях.

§ 6 ВИРИЛЛ СИСТЕМЫ

79

Из этой теоремы сразу следует, чго кинетическая энергия системы не меняется за время движения системы тогда и только тогда, когда работа всех сил системы на соответствующих перемещенияхравна нулю.

§ 6. Вириал системы

В отличие от ранее рассмотренных теорем и законов механики в этом параграфе мы введем характеристику движения, имеющую статистический характер и связанную с усреднением механических величин во времени. Пусть У7 —скалярная функция времени или механических величин, которые в свою очередь зависят отвремени, и пусть Ft —среднее значениеF за время т, т. е. по определению

Введем теперь в рассмотрение скалярную функцию

Ее полная производная по времени равна

Но

a

и поэтому

"*•'

ОТ1 _j ^^ /T* *•

ТГ —

^**• ~\ / * i * • £•

Усредним это равенство, т. е. проинтегрируем его правую и левую части по / от 0 до т и разделим на т:

Правая часть этого равенства обращается

в нуль, если выпол-

няется одно из следующих условий:

 

 

1°

Движение периодическое с периодом

т; в

этом случае

при

всех i qi{x) = qi(0) и rt (т)= г,-(0), так что

G(T) = G ( 0 ) .

80

ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

2° Интервал т неограничен, а функция G(т) ограничена. При неограниченном т средним значением F называется предел

т

t = o o = lim - \

Последнее равенство можно тогда переписать так:

-lim | [ G ( T ) - G

Функция G ограничена, если при всех i rt (t) и qt (t) ограничены. Движение, для которого выполняется это условие, т. е. для которого

 

 

 

lim

1 [ G ( T ) - G ( 0 ) ] = 0,

 

 

 

 

Т-»оо

т

 

 

 

называется финитным.

 

 

 

 

Таким

образом,

если

выполняется условие 1° или

условие

2°, то

 

 

 

 

( 2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

(27)

Правая

часть этого равенства называется вириалом системы,

а само

равенство

составляет

содержание

теоремы о вириале:

При

выполнении условий 1°

или 2° среднее за время т значе-

ние кинетической энергии системы равно ее

вириалу1).

 

Если система консервативна, т. е. если

движение происходит

в стационарном потенциальном

поле с потенциальной

энергией

П, то

 

 

 

 

 

 

 

и равенство, выражающее теорему о вириале, можно записать так:

т

_ 1 Г у / д П ,дп

дП

1

х - 7 [L \ dxi Xi + WiVi

+ дг,

Рассмотрим теперь частный, но достаточно распространенный случай, когда П—однородная функция s-й степени, т. е. функция, удовлетворяющая условию

П(Хх, Ху, 1г)= Ш(х, у, г).

!) Теорема о вириале используется в статистической физике при условии 2*, т. е. когда т->со. Эта теорема позволяет, например, определить давление газа на стенки сосуда как при пренебрежении межмолекулярным взаимодействием, так и при учете его.

Смотрите также файлы