Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

любого центрального движения. Начальными данными, т. е. начальным положением точки и начальной ее скоростью, полностью определяются направление и величина постоянного вектора кинетического момента и тем самым однозначно определяются

Мы получили дифференциальное уравнение движения материальной точки в поле центральной силы в полярных координатах. В отличие от исходной системы уравнений (32) это уравнение (37) является уравнением первого порядка. Более того, оно

где С —const — постоянная интегрирования.

Таким образом, одна квадратура позволяет определить t как функцию г, т. е. в неявном виде зависимость г от t.

Выражение г (t), полученное в результате этого интегрирования, будет содержать три произвольные постоянные. Этими тремя

муле (35) и подставляя в нее выражение г (t), можно с помощью одной квадратуры найти полярный угол ф как функцию времени. При этом интегрировании будет введена еще одна постоянная.

образом г и if как функции времени, можно исключить время и определить г как функцию ср, т. е. определить траекторию в полярных координатах.

Можно, однако, найти траекторию в полярных координатах проще, избегая предварительного определения г и ф как функций времени. С этой целью перепишем равенство (35) так:

Y mr-

Подсгавляя сюда вместо dt выражение этого дифференциала через радиус

получаем

туре лишь за счет использования законов сохранения. При этом оказалось возможным единообразно выразить связь между полярными координатами для произвольной центральной силы и тем

!) Система (32) имеет шестой порядок, и поэтому общее число произвольных постоянных должно быть равно шести. Следует иметь в виду, что помимо четырех постоянных, о которых идет речь в тексте, еще две постоянные вносятся выбором плоскости, в которой происходит движение.

самым установить общий закон движения в центральных полях. Пример этот наглядно демонстрирует силу и удобство законов сохранения при решении задач такого рода. Не конкретизируя вида функции П (г), можно высказать некоторые общие соображения о характере движения в центральных полях.

Из полученной выше формулы

Г1 ext < = Т =ё= f~2 ext

и траектория будет целиком лежать между окружностями с радиусами Г! ext и r2ext (рис. II1.6). Такие движения финитны. Траектории финитных движений могут быть либо замкнутыми, либо незамкнутыми; в последнем случае траектория всюду плотно заполняет площадь кольца между указанными окружностями.

Чтобы продвинуться далее в изучении движений в центральных полях, надо конкретизировать вид центральной сихы, т. е. задать выражение для потенциальной энергии в формуле (38). Ниже мы рассмотрим движение точки

вполе всемирного тяготения.

2.Ньютоново и кулоново поля. Рассмотрим теперь частный случай центрального поля — поле всемирного тяготе-

В соответствии с законом Кулона сила взаимного притяжения (или отталкивания) двух заряженных частиц также определяется формулой (39), но коэффициент а в этом случае будет иным. Поэтому задача об электрическом взаимодействии тоже приводит к исследованию движения в центральном поле с потенциальной энергией, которая выражается формулой (40). Такого рода поля называются кулоновыми.

Подставляя выражение (40) для потенциальной энергии кулонова (или ньютонова) поля в формулу (38), получаем

та

и выбрать начало отсчета так, чтобы ^ = 0, то уравнение (43) сведется к виду

Уравнение (44) представляет собой общее уравнение конических сечений в полярных координатах. В этом уравнении с— относительный эксцентриситет, а р —фокальный параметр конического сечения. Вид конического сечения определяется только величиной эксцентриситета е (рис. III. 7).