Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

В этом случае в соответствии с теоремой Эйлера об однородных функциях

2 /дП , дП

и поэтому теорема о вириале приводит к равенству

(28)

С другой стороны, для консервативной системы в силу закона сохранения энергии

§ 7. Движение материальной точки в центральном поле (пример использования законов сохранения)

1. Общий случай. Рассмотрим движение материальной точки под действием центральной силы, т. е. силы, зависящей только от расстояния рассматриваемой материальной точки до некоторого центра притяжения или отталкивания (называемого далее условно Солнцем) и направленной в каждый момент вдоль прямой, соединяющей рассматриваемую материальную точку с центром. Мы сначала не будем накладывать какие-либо ограничения на вид центральной силы, т. е. на то, какова функциональная зависимость величины силы от расстояния между рассматриваемой точкой и Солнцем, а затем подробнее рассмотрим частный случай, когда центральной силой является сила всемирного тяготения или кулонова сила электрического взаимодействия.

Мы будем предполагать далее, что Солнце неподвижно относительно некоторой инерциальной системы отсчета и расположено в начале координат.

Выше (см. гл. II) уже было показано, что в общем случае вектор центральной силы может быть записан так:

Там же было показано, что при действии центральной силы всегда существует потенциальное поле и что силовая функция выражается интегралом

ф (г) = $F (r) dr + const.

Таким образом, силовая функция Ф(г) есть функция положения точки, т. е. зависит от трех переменных —координат точки х, у к г. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы можно теперь записать в виде векторного уравнения

или трех скалярных уравнений, получающихся проектированием уравнения (31) на оси х, у, г инерциальной системы отсчета:

с интегрированием системы (32). Законы сохранения позволят нам сразу обнаружить некоторые важные особеннссги движения и, используя их, упростить систему в такой мере, чтобы задача интегрирования ее свелась к простой квадратуре.

При движении материальной точки в поле центральной силы всегда действуют два закона сохранения.

Во-первых, имеет место закон сохранения кинетического момента. Действительно, если принять за полюс центр притяжения (выбранный в качестве начала координат инерциальной системы отсчета), то момент центральной силы относительно этого полюса всегда равен нулю, так как центральная сила проходит через полюс. Но если момент силы равен нулю, то в силу теоремы об изменении кинетического момента производная от кине-

тического момента по времени равна нулю; значит, сам вектор кинетического момента не меняется по времени:

Afo = Af0 = const.

Во-вторых, имеет место закон сохранения механической энергии, поскольку система является консервативной: в системе действует только одна сила, зависящая от положения точки, и силовое поле потенциально (так как существует силовая функция); это поле стацио-

нарно.

Воспользуемся сначала законом сохранения кинетического момента. Если вектор кинетического момента сохраняется неизменным, то это значит, что, во-первых, сохраняется неизменным направление этого вектора в пространстве и, во-вторых, сохраняется неизменной его величина (модуль).

Направление вектора кинетического момента перпендикулярно плоскости Р, проходящей через начало координат и через направление скорости точки. Из того факта, что направление этого вектора не меняется во времени, сразу следует, что и плоскость Р неподвижна в пространстве и, значит, векторы скорости лежат во время движения всегда в одной и той же плоскости.

Таким образом, исходя только из того, что вектор кинетического момента не меняется по направлению, мы показали, что

движение в поле центральной силы всегда является плоским дви-

жением. Плоскость Ру в которой происходит это движение, пер-

плоским, мы можем ввести в плоскости движения полярную систему координат, характеризуя положение рассматриваемой материальной точки т в плоскости двумя величинами — радиусом г и полярным углом (р (рис. III.3).

Воспользуемся теперь тем, что вектор кинетического момента остается неизменным не только по направлению, но ипо величине. Величина вектора кинетического момента равна

где а—угол между радиусом-вектором г точки и направлением

еескорости v (рис. II 1.4).

Будем рассматривать движение точки т как сложное движе-

Подставляя в (33) выражение wsina = y2 = r<p, получаем /С=/пг2ф.

Эта величина К постоянна и равна Ко = mrly0 — начальному значению кинетического момента. Поэтому во время движения выполняется равенство

Формула (35) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Во время движения точки т по плоской траектории радиус описывает («заметает») криволинейный сегмент (рис.II 1.5).

Таким образом, при движении вполе произвольной центральной силы движение точки не только является плоским, но и подчиняется так называемому закону площадей, утверждающему, что радиус-вектор за равные промежутки времени «заметает» равные площади.