Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1121
Скачиваний: 1
Ответ: wc =•? |
= |
2Re0e2 + -§^- |
(е4 - 2е3),где и е4 — |
|
лежащие в |
плоскости |
рисунка |
единичные векторы, перпендикулярные |
|
к прямым |
ОС и ОВ |
соответственно (оба орта |
направлены вверх). |
|
§ 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды
20.1. Искусственная горизонтальная площадка на качающемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у± вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля; угол поворота внешнего кольца обозначается через р1 (угол бортовой качки). Угол поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации колец вводят три системы координат: система |г]£ связана с кораблем
t
К задаче 20.1.
(ось g направлена к правому борту, ось ц — к носу корабля, ось £— перпендикулярна к палубе); система x1y1z1 связана с внешним кольцом (ось ух совпадает с осью г\);система xyz связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с хх). Положительные направления отсчета углов видны из рисунков; при а = 0 = 0 все системы отсчета совпадают.
Определить ориентацию (соответствующие направляющие косинусы) внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
|
% |
|
|
|
|
£ |
|
X |
cosjj |
|
0 |
|
—sinp |
|
|
У |
sin a sin j3 |
|
cos а |
|
sin a cos P |
|
|
г |
cos a sin P |
|
— sin |
а |
cos a cos p |
|
|
20.2. Во втором способе установки карданова |
подвеса, описанного |
||||||
в предыдущей задаче, ось вращения |
внешнего |
кольца |
параллельна |
||||
поперечной оси |
корабля. При |
этом способе |
подвеса ось |
\, связанная |
|||
с кораблем, совпадает с осью |
хх |
вращения внешнего кольца, а ось у |
|||||
вращения внутреннего кольца |
совпадает |
с осью уь |
жестко связанной |
||||
с внешним кольцом. Угол поворота внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а угол поворота внутреннего кольца — через р.
151
Определить ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно
корабля.
Ответ:
|
л |
|
С |
X |
cosр |
sin к sin р |
— cos a sin P |
У |
0 |
cos a. |
sin a |
Z |
sing |
— sin л cos p |
cos a cosP |
Кзадаче 20.2.
20.3.Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом прецессии ф, углом нутации 6 и углом собственного вращения 9 (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Oxyz.
Ответ:
|
% |
1 |
X |
cos фcos 6 cos f — sin ф sin f |
sin ^ cos 6 cos 9 -J-cos ^ s i° f |
У |
— cos фcos Ьsin cp— sin фcos <p |
— sin ^ cos 8 sin <p -\- cos Фcos 9 |
г |
cos фsin 6 |
sin Фsin 6 |
;
— sin 8 cos <f> sin 6 sin f
cos 6
20.4. Зная скорости изменения углов Эйлера, определить угловую скорость тела и ее проекции на оси неподвижной Ощ(, и подвижной Oxyz систем отсчета.
Ответ: со = |
j _ да _j_<^_j_2фф cos 65 |
|
|
u)£ = tpsin 0 cos ф— 8sin ф, u>n= ? s i n 9 sin ф-[-9 cos ф, |
шс = |
фcos 8 -\- ф; |
|
( Й ^ . ^ — 4>sin8coscp-j-8sin!p, (o)l = 4)sin8sin'f-|"9coscp, |
ш^= |
фcos6-|-4>. |
|
20.5. Для определения вращательного движения самолета с ним связывают ортогональную систему координат Схуг, причем ось х направляется по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ось у располагается в плоскости симметрии самолета, а ось z — по размаху крыла вправо для летчика (С — центр тяжести самолета). Угловые перемещения самолета относительно осей Cbf, (горизонтальная ось \ направляется по курсу самолета, ось -ц — вертикально вверх, а горизонтальная ось С — перпендикулярно к осям %и ц) определяются,
152
как показано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания ф, углом тангажа 6 и углом крена ф.
Определить ориентацию самолета (системы отсчета Cxyz) относи-
тельно трехгранника С|т]£.
Ответ:
|
1 |
1 |
I |
X |
cos г|5 cos б |
sine |
— sin if cos 6 |
и |
sin i|> sin ф — cos i|) sin в cos ф |
COS 6 COS ф |
cos г|) sin ф + sin ^ sin 6 cos ф |
г |
sin ф cos ф + c o s г|> sin 6 sin ф |
— cos в sin ф |
cos i|) cos ф — sin t|) sin в sin ф |
|
|
|
К задачам 20.3 и 20.4. |
К задачам 20.5 и 20.6. |
20.6.Зная скорости изменения самолетных углов, определить
проекции угловой скорости самолета на оси систем |
координат Cxyz |
и С|г)£ (Ол. чертеж к предыдущей задаче). |
|
Ответ: со*=ф sin 8-fcp, |
^ ^ |
©У = ф cos 8 cos ф+ 8 sin ф, |
|
<»г = — ф cos 8sin ф-f- 8 cos ф; |
|
со*= ф cos ф cos 8-(- 8 sin ф, |
|
cog= — ф sin ф cos б-}- 6 cosяр.
20.7. Для исследования качки корабля и |
|
|
|||||
его устойчивости на курсе вводят три кора- |
|
|
|||||
бельных |
угла: |
ф — дифферент, 8 — крен |
и |
К задачам 20.7 |
и 20.8. |
||
ф —угол |
рыскания; |
система |
отсчета Cxyz |
|
|
||
жестко |
связана |
с кораблем;-С — центр |
тяжести |
корабля; ось х на- |
|||
правлена |
от кормы |
к носу, |
ось у — к |
левому |
борту, ось |
z — пер- |
|
пендикулярно к палубе; система координат С|т]£ ориентируется отно-
сительно курса |
корабля: ось £ вертикальна, горизонтальная ось \ |
|
направлена по |
курсу, горизонтальная ось т} — влево от курса |
(на |
рисунке изображены системы осей, введенных А. Н. Крыловым). |
|
|
. • |
153 |
Определить ориентацию корабля (координатных осей Схуг) относительно трехгранника
Ответ:
|
|
Е |
X |
cos ф cos<p -f s ' n Фsin 9sin9 |
|
У |
— cos ф sin9 |
+ s i n Фs ' n " cos<p |
г |
sin |
<|/ cos 8 |
1 |
С |
cos 8 sin 9 |
— sin ф cos ip+ cos Фsin •sinу |
cos 9cos <p |
sin 4* sin if -f-cos v sin вcos <{> |
- s i n 9 |
" cos ф cos 9 |
20.8. Зная скорости изменения корабельных углов, определить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Схуг и CSTJC (CM. чертеж к предыдущей задаче).
Ответ: ч>х = фcos бsin<p-f- бcos ср> ^ = 8 cos ф-f- <fsin ф cos б, • |
|
wy = фcos б cos tp—6 sin 9, ш = ф— фsin б, |
|
шг = — фsin 9-f- Т! |
ю^= — 0sinф+ фcos фcos 0. |
20.9. Точка -М (центр тяжести |
самолета, корабля) движется |
вдоль |
|||||||
поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса R*)\ восточная состав- |
|||||||||
ляющая скорости точки |
равна VE> а северная V/f. Определить |
скорость |
|||||||
изменения |
широты |
9 |
и |
долготы |
X текущего положения |
точки М. |
|||
|
VN |
\ |
|
|
VE |
|
|
|
|
Ответ: |
ф= -тг, |
—-в |
; при положительных |
vE и v^ состав- |
|||||
ляющая ф |
направлена |
|
на |
запад, |
а составляющая |
%—по оси |
SN |
||
вращения Земли от Южного полюса к Северному.
|
К |
задачам 20.9. |
|
К задачам 20.10. |
|
|
20.10. Для изучения движения вблизи |
земной поверхности тел |
|||||
(самолетов, |
ракет, |
кораблей) и |
приборов, |
установленных |
на них, |
|
вводят |
подвижной координатный |
трехгранник —трехгранник |
Дарбу. |
|||
При географической |
ориентации |
трехгранника Дарбу OfrjC горизон- |
||||
тальная |
ось k направляется на |
восток, горизонтальная ось |
т\—на |
|||
*) Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
154
север, ось £ — вертикально вверх. Определить проекции на оси £, ц, £ угловой скорости ' трехгранника О£т]£, если проекции скорости его начала (точки О) относительно Земли равны v§ = vE, vn — vN, t)j = O; угловая скорость вращения Земли равна U; радиус Земли R.
Ответ: coj = —ф = — -
п = (U + Я) cos ф = |
|
c o s Ф"» |
|
|
<ос = (С/+ й.) sin ф = |
(U + ^ j j j ) |
sin Ф . |
|
|
20.11. Трехгранник Дарбу Oxyz |
на поверхности |
Земли ориенти- |
||
рован не географически, как это было сделано |
в предыдущей задаче, |
|||
а по траектории основания трехгранника относительно |
Земли: ось х |
|||
направляется горизонтально по скорости v вершины |
О |
(центр тяже- |
||
сти самолета, корабля) трехгранника относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось z — вертикально вверх.
Определить проекции угловой скорости трехгранника |
Oxyz, |
если |
|
скорость точки О равна v, а ее курс |
определяется углом i|) |
(угол |
|
между направлением на север и |
относительной |
скоростью |
|
точки О). |
|
|
Ответ: |
<ля = Ucossфcossif;; <о^==£/cos9sini|) + -D; |
|
|
—•. |
|
Здесь R, U, ф и X имеют значения, введенные в задачах |
20.9 и 20.10, |
|
а р — радиус |
геодезической кривизны траектории (р > |
0 при ф 0 |
и р < 0 при ф > 0). |
|
|
л(зенит)
11 |
1у(себер) |
//роещия/праешории |
|
f/а горизонтамни/с |
ftucosa + и£ |
^плоскость Оху |
|
К задаче 20.11. |
К задаче 20.12. |
•*. 20.12. Трехгранник Дарбу Ох°_у°г° на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось х° направляется по абсолютной скорости V точки О (предполагается, что она движется по поверхности Земли), горизонтальная ось у0 направляется влево от оси х°, ось г° вертикальна.
155