Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1125
Скачиваний: 1
Определить |
проекции |
угловой |
скорости |
трехгранника |
Ox°y°z°> |
|||||||||
если |
составляющие |
скорости |
точки |
О относительно |
Земли равны . |
|||||||||
vE и vN. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
(в*.—О, а у = - £ - , |
u)2o = |
(f/-b^)sin<p + ^ |
где |
Н, U, |
|||||||||
tp и |
А имеют |
значения, |
введенные |
в |
задачах 20.9 |
и |
20.10( |
|||||||
|
|
|
|
V"N И tgo = - |
|
|
|
|
|
|
|
|||
20.13. |
Гироскоп |
направления |
установлен |
в кардановом |
подвесе. |
|||||||||
Система координат x1y1z1 |
связана |
с |
внешней рамкой (ось вращения |
|||||||||||
ее вертикальна), |
система xyz |
скреплена |
с |
внутренней |
рамкой (ось х |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
вращения |
ее |
горизонтальна). Ось z |
||||||
|
|
|
|
|
|
внутренней рамки является одновре- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
менно |
осью |
собственного |
вращения |
|||||
|
|
|
|
|
|
гироскопа. |
|
|
|
|
||||
К задаче 20.13.
Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относительно
географически |
ориентированных |
осей |
\if, (см. задачу 20.10), если |
||
поворот внешней рамки |
(оси уг) |
отсчитывается по часовой стрелке |
|||
ог плоскости |
меридиана |
(плоскость |
rfj) и |
определяется углом а, |
|
а подъем оси z над горизонтом |
определяется |
углом Р; |
|||
2) проекции на оси х, у, z угловой скорости вращения трехгранника xyz, предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли.
Ответ: 1) |
С |
2 |
Sin a COS P COS a COS P sin p |
-2) w* = p'—£/ cos<p sin а,
ц>У = а cos j3-f- U (cos <p cos а sin j3—sin if cos P), юг = d sin p+ [/ (cos <p cosa cds p-f sin tpsin j3),
где U—угловая скорость вращения Земли, <р — широта места. 20.14. В условиях предыдущей задачи определить проекции уг-
ловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная и восточ-
ная |
составляющие скорости точки подвеса соответственно равны |
1>N и |
VE- |
156
Ответ; |
© * = В — (U + ' - Б — - — ) cos шsin a |
^- cos a, |
||||
|
х |
^ |
\ ' |
#СОвф / Т |
# |
|
<o y =acosP + (£/ + |
7r-^—) (cos<pcosa sin В —sincpcosB)—^ sin a sin p, |
|||||
J |
\ |
|
i\ COS ф/ |
|
|
/\ |
ю*= a sin В-ы t/ -\-R |
E—) |
(cosфcosa cos В-f-sin<psin B), |
||||
где R — радиус |
Земли. |
|
|
|
||
20.15 |
(604). |
Движение |
тела |
вокруг неподвижной точки задано |
||
углами Эйлера:
Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, z.
Ответ: х = <ях= 2 ]/"3 cos 2t, у = а>у ==— 2 "|/"з sin 2#, г = сог = 0; о)= 2 "^3 сек-1; 8= 4
20.16 (605). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м<
|
|
|
|
|
|
|
К задаче 20.16. |
|
|
|
|
|
||
П р и м е ч а н и е . |
Колесо |
вращается вместе с вагоном вокруг |
вертикаль- |
|||||||||||
ной оси Ог, проходящей через центр закругления |
пути, |
и относительно |
||||||||||||
вагона |
вокруг |
оси АВ, |
т. е. вращается вокруг неподвижной точки |
О. |
|
|||||||||
Ответ: |
|
Неподвижный |
аксоид — конус, ось |
которого |
совпадает |
|||||||||
с осью Oz и с углом |
при |
вершине |
a = 2 arctg 21,6= 174°42'. |
|||||||||||
Подвижный |
аксоид — конус |
с |
осью |
АВ |
и |
углом |
при вершине |
|||||||
Р = 2 arctg 0,0463= 5° 18'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20.17 |
(610). |
Движение |
тела |
вокруг |
неподвижной |
точки |
задано |
|||||||
при |
помощи |
углов |
Эйлера |
следующими |
уравнениями: |
<p = nt, |
||||||||
ij) = я/2 -{- ant, 6= я/3. |
Определить |
проекции |
угловой |
скорости и |
||||||||||
углового |
ускорения |
тела |
на неподвижные |
оси, если а и п —постоян- |
||||||||||
157
ные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.
|
Ответ: |
и>х = |
— j - cos ant, (uy==-—smant, |
ч>г = n I a -f- -^ |
|
|||||||||||
|
|
e^ = — д я |
/ |
sin a?rf, гу = ап |
cos ant, ^ = 0; a = — -s-. |
|||||||||||
|
20.18. |
УГЛЫ |
Эйлера, |
определяющие положение тела, |
изменяются |
|||||||||||
по |
закону |
(регулярная |
прецессия) |
ф= |
ф0-j~и^, |
6= |
9О, <р = фо-\-щ(, |
|||||||||
где |
фо> 6Oi |
?о— начальные значения |
углов, |
а «f |
и «а — постоянные |
|||||||||||
числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить |
||||||||||||||||
угловую скорость |
со тела, |
неподвижный |
и подвижный |
аксоиды. |
|
|
||||||||||
|
Ответ. |
1) <о = Yn\ -f- n\-j~2щщ cos60; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2) |
неподвижный |
аксоид — круговой |
конус |
Е44" ^ |
— |
||||||||
|
П% Sin8 |
60 |
а |
п |
|
|
v |
|
|
|
|
n |
• И» Sin 8n |
|||
— 7—^-н—г—Г2^" |
: =0 |
с |
осью |
С и углом |
раствора |
2arcsin-s |
|
-; |
||||||||
|
(геа cos80 + |
|
|
|
rtt)2 |
|
|
Jру |
v |
F |
у |
\усо |
|
|||
|
L |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s i n |
|
|
|
"E—г3)—^2подвижный= 0 с осьюаксоидг и —угломкруговойраствораконус2 arcsin "'^ |
^ " |
|||||||||||||
COS Bo - ) -« 2 ) S |
} |
Y |
V |
m
ГЛАВА VII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§21. Уравнения движений точки
21.1.Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний:
|
Хх= 2 cos(nt -f- я/2), х2 |
= 3cos(я^+ я). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
Ответ: |
JtT= l/l3cos(rc£-J-a), |
где a = arctg у = 33°40f. |
||||
|
21.2. Барабан |
записывающего |
устройства |
вращается равномерно |
|||
со |
скоростью |
ю0 |
сек'1. |
Радиус |
барабана г. |
Самописец соединен |
|
с |
деталью, движущейся |
по вертикали |
по закону |
||||
у =i a_sin coj/.
Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.
Ответ: у-
К задаче 21.2 |
К задаче 21.3. |
21.3. При вращении поворотного крана вокруг осиОхО2 с постоянной угловой скоростью сох груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью о)2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.
159
Ответ: Винтовая линия, уравнение которой
Ш2 Г " |
0) 2 Г |
ось х проходит через ось ОгО2 и начальное положение груза, ось г направлена вверх по оси вращения крана.
21.4. При совмещении работы механизмов подьема груза и перемещения крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г = 50 см, на который навит канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ш= 2я сек"1. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v = 0,5 м/сек. Определить
абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза
х0 — 10 м, уо= 6 м.
Ответ: у = •*~*°а
|
|
|
К задаче 21 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
21.5. Стрела |
АВ |
поворотного крана |
вращается |
вокруг |
оси Oi02 |
|||||||
с |
постоянной угловой |
|
скоростью о. По горизонтальной стреле от А |
||||||||||
к В |
движется тележка с постоянной скоростью v0. |
|
|
|
|
||||||||
|
Определить |
абсолютную траекторию тележки, если |
в |
начальный |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
момент |
тележка |
находилась |
на |
||||
|
|
|
|
|
|
оси ОуО%. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Траектория — архи- |
||||||
|
|
|
|
|
|
медова |
спираль |
|
|
|
|
||
9L |
\ |
|
|
7" |
|
|
|
|
|
|
|
||
J__. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
К |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
\ |
|
|
где |
г — расстояние |
тележки |
о |
|||||||
|
|
оси |
вращения, <р — угол поворот |
||||||||||
|
|
|
К задача 21.6. |
крана вокруг оси ОхО2. |
|
||||||||
|
|
|
21.6 (417). Лента прибора, слу- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
жащего для записи колебательных |
|||||||
движений, |
движется |
|
по направлению |
Ох |
со |
скоростью |
2 м/сек. |
||||||
Колеблющееся |
вдоль |
|
оси Оу тело вычерчивает на ленте |
синусоиду, |
|||||||||
наибольшая |
ордината |
|
которой АВ = 2,5 см, а |
длина |
О^С = 8 |
см. |
|||||||
160