жение |
по |
горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент тре- |
ния |
скольжения |
/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
путь, пройденный грузом, считая удар неупругим. |
~ |
|
3/ М2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 8 = |
|
ЩЩТШ£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
44.24 (1147). Однородная прямая призма с квадратным основанием |
стоит |
на |
горизонтальной |
плоскости и может |
вращаться |
вокруг |
|
|
|
|
|
ребра АВ, |
лежащего |
вэтой плоскости. Реб- |
|
|
|
|
|
ро основания призмы равно а, высота ее За, |
|
|
|
|
|
масса Ът. В середину С боковой грани, про- |
|
|
|
|
|
тиволежащей |
ребру |
АВ, |
ударяет |
шар мас- |
|
|
|
|
|
сой |
т сгоризонтальной |
скоростью v. |
v |
Q | |
|
|
Предполагая, что |
удар неупругий |
и что |
|
|
|
|
|
масса шара сосредоточена вего центре, ко- |
|
|
|
|
|
торый после |
удара |
остается вточке С, оп- |
|
|
|
|
|
ределить |
наименьшую величину скорости v, |
|
|
|
|
|
при |
которой |
призма |
опрокинется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: v = ~Ybdga. |
|
|
|
|
|
|
|
|
44.25 |
(1148). Платформа с помещенным |
|
К задаче 44.24. |
на |
ней призматическим |
грузом |
АВ |
катится |
|
по горизонтальным рельсам со |
скоростью v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
платформе имеется выступ, в который |
упирается ребро Вгруза, препятствуя последнему скользить по плат- |
форме |
вперед, |
но |
не препятствуя |
вращению |
его |
около |
ребра |
В. |
Дано: |
h — высота |
центра тяжести |
груза над |
платформой, р —радиус |
инерции груза относительно ребра В. |
|
|
|
|
|
|
Определить |
угловую скорость <в |
|
|
|
|
|
|
вращения груза около ребра В в |
|
h\ |
|
|
|
момент |
мгновенной остановки плат- |
|
|
|
|
формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: <о = Р-2^. |
|
|
У////////////////////////// |
44.26 (1149). Полагая при усло- |
|
К задаче 44.25. |
|
|
виях |
предыдущей |
задачи, что груз |
|
|
|
|
|
|
представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, авысота 3м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Ответ: v = 30,7 км/час.
§ 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)
45.1 (1150). Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m — m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити
маятника А На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R — —ф§.
Ответ: ? + ~Щ ¥ + f sin <Р = °-
45.2. Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов *) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону /« = wo /(t) (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: R (х, х).
Ответ: X = - g - ^lv e
45.3 (1152). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при т = т^{\ — at) и R = 0. Начальная скорость ракеты у поверхности земли равна нулю. На какой высоте будет находиться
ракета в моменты t = |
10; 30; 50 сек при ve— |
2000 м{сек и а = |
T-QQ сек'1? |
Ответ: X (t) = |
^ |
[(1 — o.t) In (I — at) -f |
at] — |
^ ; |
|
|
|
|
|
|
д:(10) = |
0,54 и ; лг(30)=г5,65 о ; |
х(50) = 18,4 |
км. |
|
|
45.4. |
Ракета |
с |
|
начальной |
массой |
/я0 |
поднимается |
вертикально |
вверх |
в однородном |
поле |
силы тяжести с |
постоянным ускорением ng |
(g—ускорение |
земного тяготения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную |
скорость |
ve |
истечения газов |
постоянной, определить: 1) |
закон |
изме- |
нения массы ракет, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии |
поля |
тяготения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) т = |
тйе |
™е |
; 2) т |
= |
|
|
|
|
|
|
|
45.5. Масса ракеты, описанной в задаче |
45.2, |
изменяется до |
t — |
t0 |
по закону т = |
т$гл*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая силой сопротивления, найти движение |
|
ракеты |
и, |
считая, что к моменту времени t0 |
весь заряд практически сгорел, |
определить |
максимальную |
высоту |
подъема ракеты. В начальный мо- |
мент |
ракета |
имела |
|
скорость, |
равную |
нулю, |
и находилась |
на |
земле. |
Ответ: |
H=^[o.ve |
— g]tl, |
где |
ve |
— эффективная скорость |
исте- |
чения газов из ракеты.
45.6. При условиях предыдущей задачи определить значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Нтах-,
и вычислить //п,ах (величину у.= at,, = In —*• необходимо считать по-
стоянкой; /И]— масса ракеты в момент U). Ответ: а = оо (мгновенное сгорание);
•) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Ря = — ~гг ve, где ve — эффективная скорость истечения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.7. При условиях |
задач 45.5 и 45.6, задавшись |
коэффициентом |
перегрузки |
k = — , определить |
высоту |
подъема Н ракеты |
в зави- |
•симости от НтАХ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Н=Нт^-^—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.8. Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхности. |
Эффективная |
скорость |
истечения |
^e = 2000 |
м/сек. |
|
Число Циолков- |
ского |
г = 5 *). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить, какое должно быть время |
сгорания топлива, |
чтобы |
ракета |
достигла |
скорости |
г»= 3000 |
м/сек |
(принять, что ускорение |
силы тяжести |
вблизи Луны |
постоянно и равно .1,62 |
м/сек\ |
|
|
|
Ответ: *=«2 мин 4 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.9. Ракета |
движется |
в однородном |
поле |
силы |
тяжести |
вверх |
С постоянным ускорением w. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную |
скорость ve |
|
истечения газов постоянной, определить время Т, за |
которое масса ракеты уменьшится в два раза. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: Г = — ^ - 1 п 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w-\-g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.10. |
|
Эффективная |
скорость |
истечения |
газов из |
ракеты |
•а, = 2,4 |
км/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каково должно быть |
отношение запаса топлива к весу ракеты без |
топлива, чтобы после сгорания топлива ракета, движущаяся |
вне поля |
тяготения |
и вне атмосферы, |
приобрела |
скорость |
9 |
км/сек? |
|
|
|
Ответ: |
Вес топлива |
должен |
составлять |
примерно 98% от стар- |
тового |
веса |
ракеты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.11. |
Ракета |
движется |
поступательно при отсутствии тяготения |
и |
сопротивления |
среды. |
Эффективная |
скорость |
истечения |
газов |
t)e |
= 2400 |
м/сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить число Циолковского, если в момент |
полного сгорания |
топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/сек. |
|
|
|
|
|
Ответ: z «=; 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.12. |
Тело переменной |
массы, имея начальную |
скорость, |
равную |
нулю, движется с постоянным ускорением w погоризонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна.
Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз.
Ответ: s = п— (In kf.
45.13. Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения.
Ответ: S = TT—г~г^г0п^У> г Де / — коэффициент трения скольжения.
*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракеты без топлива.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.14. Тело переменной массы движется |
по специальным направ- |
ляющим, проложенным |
вдоль |
экватора. |
Касательное |
ускорение |
w^ = |
a постоянно. |
|
|
|
|
|
|
Не |
учитывая |
сопротивление |
движению, |
определить, |
во |
сколько |
раз |
уменьшится |
масса |
тела, когда оно сделает один |
оборот |
вокруг |
Земли, |
если эффективная скорость истечения газов ve = |
const. Каково |
должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость?
—V^ifa
Ответ: Bee раз; а — ~.
45.15. Определить в вредыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю.
Ответ: |
тТ = т<>\1—е |
Ve /* |
45.16. |
Тело скользит по горизонтальным рельсам. Истечение газа |
происходит вертикально вниз с постоянной эффективной скоростью ve. |
Начальная скорость тела равна v0. |
|
|
Найти закон изменения скорости тела |
и закон его движения, если |
изменение массы происходит по закону |
/и= |
/гао— at. Коэффициент |
трения скольжения равен /. |
|
|
|
Ответ: v=vo-f[gt-ve}n |
т™1 |
at\, |
|
s = v^—f\^-—ve |
[Пп т*+ ^ |
^ (In(/кв — at) - 1)]}. |
45.17. Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону т = тф~'и. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью v9.
Ответ: v = vo—f(g — a.ve)t; s = vat—f(g — a.ve)T; a = ^-.
45.18. Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если известна начальная масса ракеты то и секундный расход [3?
Ответ: s = ~~^ • ~ , где е — неперово число.
45.19. Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты /йв» конечная — тх. Эффективная скорость истечения ve постоянна.
Ответ: А = m\v\ [In z — (z — 1)]; z = — .
45.20. При каком отношении z начальной /я0 и конечной Ш\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сил тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение ки-