нетической |
энергии |
ракеты после |
выгорания |
топлива к затраченной |
энергии, имеет наибольшее значение? |
|
|
|
|
, |
2 (г— 1) |
Ответ: |
z— корень уравнения ш г = |
.—'-, |
45.21. Самолет, |
имеющий массу |
то, приземляется со скоростью % |
на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при
движении после посадки увеличивается согласно формуле /я=/яо -|-а£, |
где а = const. Сопротивление движению |
самолета по аэродрому про- |
порционально его |
весу (коэффициент пропорциональности /). Опре- |
делить |
промежуток |
времени до остановки самолета с учетом |
(Г) и без |
учета |
(7i) изменения его |
массы. Найти |
закон изменения |
скорости |
с |
течением времени. |
|
|
|
|
|
movo~fgl2(2m0 |
|
|
|
45.22. Эффективные скорости истечения первой и второй |
ступени |
у |
двухступенчатой |
ракеты |
соответственно |
равны |
|
|
|
г£' = 2400 м/сек и г£" = |
2600 м/сек. |
|
|
Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения |
и |
атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скоро- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сти г)!=2400 м/сек первой ступени и конечной скорости •иа=5400 м/сек |
второй ступени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: z1 |
— 2,72; z2 |
= 3,17. |
|
|
|
|
|
|
45.23. Считая, что у |
трехступенчатой |
ракеты |
числа Циолковского |
и эффективные скорости ve |
истечения у всех |
трех ступеней |
одина- |
ковы, найти число Циолковского при г>е= 2,4 км/сек, |
если после |
сгорания |
всего |
топлива |
скорость ракеты равна 9 км/сек |
(влиянием |
поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь). |
|
|
Ответ: z = |
3,49. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45.24. Трехступенчатая ракета движется поступательно |
при |
отсут- |
ствии тяготения и сопротивления атмосферы. |
Эффективные скорости |
истечения и числа Циолковского для всех |
ступеней одинаковы |
и соот- |
ветственно |
равны г1е |
= |
2500 |
м/сек, |
z = 4. |
Определить |
скорости |
ракеты |
после |
сгорания |
горючего |
в первой |
ступени, |
во |
второй |
и в третьей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: v^ — ЪАЪЬм/сек; |
г>2 = |
6930 |
м/сек; |
-и3 = 10 395 |
м/сек. |
45.25. |
В |
момент, |
когда |
приближающийся |
к Луне космический |
корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость г»о, направленную к центру Луны, включается тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квад-
рату расстояния от корабля до центра |
Луны, и принимая, |
что |
масса |
корабля изменяется по закону т = |
т^~ы |
(т^— масса ракеты в момент |
включения тормозного |
двигателя, |
а — постоянное |
число), |
найти я, |
при котором корабль |
совершит мягкую |
посадку |
(т. е. будет |
иметь |
скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истече* ния газов ve постоянна. Радиус Луны R,
45.26. Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь— коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная ско-
рость истечения газа ve постоянна.
Ответ:
|
|
|
2v bws |
|
|
w + g |
' |
(® + gj3 |
( |
К задаче 45 27. |
45.27. Ракета |
перемещается |
в одно- |
|
родном поле |
силы тяжести по прямой с |
постоянным ускорением W. Эта прямая образует угол а с гори- |
зонтальной плоскостью, |
проведенной |
к |
поверхности |
Земли в |
точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная скорость исте-
чения газов ve постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии Н от указанной выше карательной плоскости.
|
|
a -tf'lwH |
|
|
Ответ: z = evec°si>v |
8 ш а , г д е Р — угол,образуемый |
скоростью<ое |
с |
касательной |
плоскостью, равный |
|
|
|
|
да COS a |
|
|
|
= |
arccos: |
|
|
45.28. Тело переменной массы движется с постоянным ускорением w |
по |
шероховатым прямолинейным направляющим, составляющим угол а |
с |
горизонтом. |
Считая, что поле силы тяжести является |
однородным, |
а сопротивление атмосферы движению тела пропорционально первой
степени скорости ф — коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен /.
Ответ:т= \щ гдете>,=
—начальная масса тела.
46.29(1155). Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действуют подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорцио-
нальная квадрату скорости: R — —p.£s. Вес единицы длины каната ?. Составить уравнение движения аэростата.
Ответ: x = ~g + |
7 |
^ |
Ji±I х\ |
*~Q |
+ l>c |
Q + чх |
45.30 (1156). При |
|
условиях предыдущей задачи опреде- |
лить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте //д.
Ответ: ^ |
^ |
I |
J |
|
|
45.31 (1157). |
|
Шарообразная водяная |
капля падает вертикально |
в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации
масса |
капли |
возрастает пропорционально |
площади |
ее поверхности |
(коэффициент |
пропорциональности |
а). Начальный радиус капли Го, |
ее начальная скорость ^о, начальная |
высота Ло. Определить скорость |
капли |
и закон |
изменения ее высоты со |
временем |
(сопротивлением |
движению пренебречь). |
|
|
|
Указание . |
Показать, что dr—a |
dt, и перейти к новой независимой |
переменной г. |
|
|
|
|
|
Отеет: Х
45.32 (1158). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сечения а скорости капли: / ? = — 4(3гсг2и ф — постоянный коэффициент).
1
Ответ: х = |
ho |
3 |
х |
|
X |
|
g(rs-rl) |
|
|
2о(4а + 3р) ' |
|
|
|
V |
4<хgr + |
.7<«+й |
|
где r — |
|
|
|
45.33 (1159). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи
неподвижно свешивается со стола. Направляя |
ось х вертикально |
вниз и принимая, что в начальный момент х=0, |
х — 0, определить |
движение цепи. |
|
Ответ: х = ~ gt*.
45.34 (1160). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образующем
угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю /. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент v0. Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться.
Остановка может иметь место при выполнении неравенства / > tg a. 45.35(1161). Материальная точка массы т притягивается по
закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону М = -г—^у. Определить дви-
жение точки. |
|
|
Указание . |
Перейти к новым координатам с |
помощью соотношений |
| = ~ ^ 4 = |
i и к приведенному времени * = |
_ _ _ - . |
Ответ: Уравнения движения в координатах £, т] имеют вид [f— постоянная тяготения)
т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных | и т] имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты.
45.36. Для быстрого сообщения ротору гироскопа необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой т0, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна.
Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду равен q, определить угловую скорость со ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивления, равный М. Радиус ротора R. В начальный момент ротор находится в покое.
Ответ: со = |
qVeo~~—ln-r2-, |
где J0 = Jo-\-mar2, |
Jo— |
момент |
|
|
f о, |
Jp |
" |
|
p |
|
инерции ротора относительно оси вращения. |
|
|
|
45.37. По |
данным предыдущей задачи найти |
угловую |
скорость |
ротора после |
сгорания |
пороха, если на ротор действует момент сопро- |
тивления, пропорциональный его |
угловой скорости |
ф — коэффициент |
пропорциональности). |
|
|
|
|
|
„ |
|
Rveq \ * |
I Jp V2e |
|
|
|
|
Ответ:ы=—~1 И —\-г |
• |
|
|
|
45.38. Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработающих ступеней и полезного груза, причем для данной субракеты все неработающие ступени и полезный груз являются «полезным грузом», т. е. каждая ракета рассматривается как одноступенчатая ракета. На рисунке указана нумерация
ступеней и |
субракеты. |
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
q — вес |
|
полезного |
груза, |
|
|
|
|
|
Р , — вес топлива в f-й ступени, |
Q; — |
|
|
|
|
|
сухой |
(без топлива) |
вес £-й ступени, |
|
|
|
|
Qt — полный вес г-й субракеты. |
|
|
|
|
|
|
Вводя в рассмотрение число Циол- |
|
|
|
|
ковского для каждой |
субракеты |
|
|
|
|
|
|
|
|
. _^ |
|
Qi |
|
|
|
|
|
|
|
и конструктивную характеристику (от- |
|
|
|
|
ношение полного веса ступени к ее |
|
|
|
|
|
сухому |
весу) для |
каждой ступени |
|
|
|
|
|
|
|
„ __ Qi + Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qi |
|
|
|
К задаче 45 38. |
|
|
определить полный стартовый вес всей ракеты, вес k-R субракеты, |
вес |
топлива А-й ступени, сухой вес &-й ступени. |
|
|
|
У к а з а н и е . |
При решении задачи |
ввести а,-— «относительный |
вес» |
i-й субракеты, т. е. отношение 'начального |
веса субракеты к весу ее полез- |
ного груза: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
О^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si—Z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qk=—-^(формулы |
Фертрегта). |
|
|
|
45.39. |
Двухступенчатая |
ракета предназначена |
сообщить |
полез- |
ному грузу |
<? = 1 0 0 |
кГ скорость г>=6000 м/сек. Эффективные ско- |
рости истечения газов у ступеней одинаковы и равны ve = 2400 |
м/сек. |
Конструктивные |
характеристики |
первой |
и второй |
ступеней соответ- |
ственно |
равны st = |
|
4, s2 = |
5 (см. задачу |
45.38). |
Пренебрегая |
силой |
тяготения |
Земли |
и |
|
сопротивлением |
атмосферы, |
определить |
числа |
Циолковского для |
первой |
и второй субракет, при которых старто- |
вый вес Oj |
ракеты |
будет минимальный. |
|
|
|
|
Ответ: |
zx — 3,2; |
Z<L — \\ |
O ! = 19,2 г. |
|
|
|