Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1820

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

26

Глава 1. Историческое введение

положения, они предположили, что электронное поле должно разлагаться на сумму операторов ak è ak†, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям

a

k

a†

+ a†a

k

= δ

jk

,

(1.2.22)

 

j

 

j

 

 

 

akaj

+ ajak

= 0 .

 

(1.2.23)

Эти соотношения могут быть удовлетворены матрицами, помеченными последовательностью целых чисел n1, n2, ..., по одному для каждой моды, причем эти целые числа могут принимать только два значения — нуль и единица:

(ak ) n1′ ,n2′ ,...,n1,n2 ,...

(a† )

k n1′ ,n2′ ,...,n1,n2 ,...

R1,

n′

= 0,

n

k

= 1,

n′

 

= n

j

 

äëÿ j ¹ k,

= S

k

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0

для остальных индексов,

R1,

n¢

= 1,

n

k

= 0,

n

¢

= n

j

äëÿ j ¹ k,

= S

k

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T0

для остальных индексов.

(1.2.24)

(1.2.25)

Например, для одной нормальной моды матрицы ak è ak† содержат ровно два столбца и две строки, соответствующие значениям n и n′, равными 0 и 1. Матрицы a и a† имеют вид:

F

 

I

F

 

I

a = G

0

0

a† = G

0

1

 

J ,

 

J .

H

1

K

H

0

K

 

0

 

0

Читатель может убедиться, что матрицы (1.2.24) и (1.2.25) действительно удовлетворяют антикоммутационным соотношениям (1.2.22) и (1.2.23).

Интерпретация вектора-столбца, задаваемого целыми числами n1, n2, ..., заключается в том, что, как и для бозонов, он представляет состояние с nk квантами в каждой нормальной моде. Разница, конечно, в том, что, поскольку каждое число nk может принимать только два значения 0 или 1, в каждой моде может быть не более одного кванта, как и требуется принципом запрета Паули. Оператор ak уничтожает квант в нормальной моде k, если он там уже был, или действие этого оператора дает нуль; аналогично,

1. 2. Рождение квантовой теории поля

27

 

 

оператор ak† порождает квант в нормальной моде k, если только в ней не присутствует уже один квант, в противном случае оператор a† действует нулем. Много позже Фирц и Паули показали 40à, что выбор между коммутационными и антикоммутационными соотношениями диктуется только значением спина частицы: коммутаторы следует использовать для частиц с целым спином вроде фотона, антикоммутаторы — для частиц с полуцелым спином вроде электрона. (Иным способом это показано в гл. 5.)

Общая теория квантовых полей была впервые изложена в 1929 году в двух исчерпывающих статьях Гейзенберга и Паули 41. Исходным пунктом их работы было применение канонического формализма к самим полям, а не к коэффициентам нормальных мод, содержащихся в этих полях. Гейзенберг и Паули рассмотрели лагранжиан L как интеграл по пространству от локальной функции полей и их пространственных и временных производных. Уравнения поля определялись из принципа стационарности действия ò Ldt при варьиро-

вании полей, а коммутационные соотношения определялись из предположения, что вариационная производная лагранжиана по любой из производных поля по времени ведет себя как сопряженный этому полю «импульс» (для фермионных полей коммутационные соотношения превращались в антикоммутационные). Гейзенберг и Паули применили общий формализм к электромагнитному и дираковскому полям и исследовали различные инвариантности и законы сохранения, вклю- чая законы сохранения заряда, импульса и энергии, а также лоренцовскую и калибровочную инвариантность.

Формализм Гейзенберга-Паули фактически совпадает с тем,

который описан в гл. 7, так что сейчас можно ограничиться одним примером, который пригодится далее в этой главе. Лагранжиан свободного комплексного скалярного поля j(x) имеет следующий вид:

 

 

 

z

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Q

 

L

=

 

 

Mj j -

c2

(Ñj)

†

× (Ñj) - d

mc2

hi

 

j

†

jP .

(1.2.26)

 

 

d3x L & † &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

Если подвергнуть j(x) бесконечно малой вариации dj(x), òî

лагранжиан изменится на величину

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

= z

[j dj + jdj

 

-

 

Ñj

 

× Ñdj -

 

 

Ñj × Ñdj

 

 

L

 

 

 

d3x & † &

& &

†

 

 

c2

 

†

 

 

 

c2

 

 

 

†

- dmc2 hi2 j†dj - dmc2 hi2 jdj† ] . (1.2.27)

28

Глава 1. Историческое введение

При использовании принципа наименьшего действия предполагается, что вариации полей исчезают на границах пространст- венно-временной области интегрирования. Таким образом, при вы- числении изменения действия ò Ldt можно сразу же проинтегриро-

вать по частям и записать:

dz Ldt = c

2

4

L

† F

9

- dmc

2

2 I

F

9

- dmc

2

2 I

† O

 

z d

xMdj

H

 

hi K j + djH

 

hi K j

P .

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

Но это выражение должно обращаться в нуль при любых dj è dj†, òàê ÷òî ïîëå j должно удовлетворять знакомому релятивист-

скому волновому уравнению

F

9

− dmc2

hi2 I

ϕ = 0

(1.2.28)

H

 

 

K

 

 

è j†-сопряженному уравнению. «Импульсы», канонически сопряженные полям j è j†, даются вариационными производными функции Лагранжа L по ϕ& è ϕ& † , которые легко находятся из (1.2.27):

p º

δL

&

†

,

 

 

 

 

(1.2.29)

 

& = j

 

 

 

 

dj

 

 

 

 

p

†

º

 

δL

 

&

 

 

 

 

 

(1.2.30)

 

 

& † = j.

 

 

 

 

dj

 

 

 

 

Эти полевые переменные удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям с дельта-функцией вместо дельта-символа Кронекера:

 

p(x, t), j(y, t)

=

p† (x, t), j† (y, t)

= -ihd3 (x - y),

(1.2.31)

 

 

 

p(x, t), j† (y, t)

 

=

 

p† (x, t), j(y, t)

 

= 0,

 

 

 

(1.2.32)

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x, t), p(y, t)

 

 

=

 

 

p† (x, t), p† (y, t)

 

=

 

 

p(x, t), p† (y, t)

 

= 0,

(1.2.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j(x, t), j(y, t)

 

 

=

 

j† (x, t), j† (y, t)

 

 

=

 

j(x, t), j† (y, t)

 

= 0.

(1.2.34)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь (как и в механике частиц) функция Гамильтона дается «суммой» всех канонических импульсов, умноженных на производные по времени соответствующих полей, минус функция Лагранжа:

1. 2. Рождение квантовой теории поля

29

 

 

 

 

H

= z

d3x

&

† & †

-

L

,

 

 

(1.2.35)

 

 

 

 

pj + p

j

 

 

 

или, после подстановки (1.2.26), (1.2.29) и (1.2.30),

 

 

 

H = z d3x

 

p†p + c2 (Ñj)† (Ñj) + dm2c4 h2 ij†j

 

.

(1.2.36)

 

 

После основополагающих работ Гейзенберга и Паули оставался еще один вопрос, который необходимо было разрешить, прежде чем квантовая теория поля смогла достичь окончательной предвоенной формы. Это было решение проблемы состояний с отрицательной энергией. В предыдущем разделе мы видели, что в 1930 году, как раз в то же время, когда появились работы Гейзенберга и Паули, Дирак предположил, что все состояния электрона с отрицательной энергией заполнены, а наблюдаемыми являются не сами эти электроны, а дырки в море состояний с отрицательной энергией. После того, как в 1930 году идея Дирака была наглядно подтверждена открытием позитрона, его «теория дырок» была использована для вычисления ряда процессов в низшем порядке теории возмущений, в том числе, процессов рождения электрон-позитрон- ных пар и рассеяния электронов и позитронов на электронах.

В то же время было затрачено много усилий на развитие формализма, лоренцовская инвариантность которого была бы очевидной. Попыткой, оказавшей наибольшее влияние на дальнейшее развитие, был «многовременной» формализм Дирака, Владимира Фока

èБориса Подольского 42, в котором вектор состояния был представлен волновой функцией, зависящей от пространственно-временных

èспиновых координат всех электронов как с положительной, так и с отрицательной энергией. В рамках этого формализма сохраняетсется по-отдельности полное число электронов с положительной и отрицательной энергией; например, рождение электрон-позитронных пар описывается как возбуждение электрона с отрицательной энергией с переходом в состояние с положительной энергией, а аннигиляция электрона и позитрона описывается как обратный процесс. Такой многовременной формализм имел то преимущество, что был явно ло- ренц-инвариантным, но имел и ряд недостатков. В частности, была глубокая пропасть между описанием фотона в терминах квантованного электромагнитного поля и описанием электронов и позитронов. Правда, не все физики считали это неудобством; электронное поле,

Смотрите также файлы