ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1819
Скачиваний: 1
30 |
Глава 1. Историческое введение |
в отличие от электромагнитного, не имело классического предела, так что были сомнения относительно его физического смысла. К тому же Дирак 42à рассматривал поля как средства наблюдения частиц, так что он и не рассчитывал, что частицы и поля будут описываться одинаково. Хотя мне неизвестно, тревожило ли это кого-нибудь в те годы, но ведь в многовременном формализме был и более практиче- ский недостаток: этот формализм было трудно использовать при описании процессов типа β-распада ядра, в котором рождаются элек-
трон и антинейтрино без сопровождающих позитрона и нейтрино. Осуществленное Ферми 43 успешное вычисление энергетического спектра электронов в β-распаде следует расценивать как один из первых
триумфов квантовой теории поля.
Ключевая идея, необходимая для демонстрации эквивалентности дираковской теории дырок и квантовой теории поля электрона, была высказана в 1933−1934 годах Фоком 43à, а также Уэнделлом
Фарри и Оппенгеймером 44. Чтобы представить суть этой идеи с более современной точки зрения, предположим, что мы пытаемся построить электронное поле по аналогии с электромагнитным полем или полем Борна−Гейзенберга−Иордана (1.2.2). Так как электрон об-
ладает зарядом, мы не можем, по-видимому, смешивать операторы уничтожения и рождения, и должны попытаться записать поле в виде:
ψ(x) = å uk (x)e− iωktak , |
(1.2.37) |
k |
|
ãäå uk (x)e−iωkt представляют полный набор ортонормированных
решений уравнения Дирака (1.1.13) в виде плоских волн (индекс k теперь несет информацию о трехмерном импульсе, спине и знаке энергии):
Huk = hωkuk , |
(1.2.38) |
H º -ihca × Ñ + a4mc2 , |
(1.2.39) |
z uk† uld3x = dkl , |
(1.2.40) |
à ak − соответствующие операторы уничтожения, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям Иордана−Вигнера (1.2.22)−(1.2.23).
В соответствии с идеями «вторичного квантования» или канонической
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
31 |
|
|
процедуры квантования Гейзенберга и Паули 41 гамильтониан строится путем вычисления «среднего значения» H, причем «волновая функция» заменяется на квантованное поле (1.2.37):
H = z d3xψ + H ψ = åhωkak† ak . |
(1.2.41) |
k |
|
Конечно, трудность заключается в том, что этот оператор не положителен — половина значений ωk отрицательны, в то время
как произведение ak†ak может принимать только положительные значения 0 и 1 (см. формулы (1.2.24) и (1.2.25)). Для того, чтобы выле- чить эту болезнь, Фарри и Оппенгеймер воспользовались идеей Дирака 42, что позитрон можно интерпретировать как отсутствие электрона с отрицательной энергией. Соотношения антикоммутации симметричны по отношению к операторам рождения и уничтожения, так что они определили операторы рождения и уничтожения позитрона как соответствующие операторы уничтожения и рождения электронов с отрицательной энергией:
b† |
≡ a |
k |
, b |
≡ a† |
(äëÿ ω |
k |
< 0), |
(1.2.42) |
k |
|
k |
k |
|
|
|
где индекс k у b означает позитронную моду с импульсом и спином, противоположными этим величинам в электронной моде k. Дираковское поле (1.2.37) можно теперь записать в виде
ψ(x) = å (+)akuk (x) + å (−)bk† uk (x) , |
(1.2.43) |
|
k |
k |
|
где символы (+) и (−) означают суммы по нормальным модам k с энергиями ωk > 0 è ωk < 0, соответственно, а uk(x) ≡uk (x)e− iωkt .
Аналогично, используя соотношения антикоммутации для операторов b, можно переписать оператор энергии (1.2.41) в следующем виде:
H = å (+)hωkak† ak + å (−)h| ωk | bk† bk + E0 , |
(1.2.44) |
|
k |
k |
|
ãäå Å0 — бесконечное с−число |
|
|
E0 |
= −å (−)h| ωk | . |
(1.2.45) |
|
k |
|
32 |
Глава 1. Историческое введение |
Для того, чтобы подобное переопределение стало чем-то большим, чем простой формальностью, необходимо уточнить, что физический вакуум — это состояние Ψ0, не содержащее электронов
или позитронов с положительной энергией:
akΨ0 = 0 |
(ωk > 0), |
(1.2.46) |
bkΨ0 = 0 |
(ωk < 0) . |
(1.2.47) |
Таким образом, из формулы (1.2.44) вытекает, что энергия вакуума равна Е0. Если измерять все энергии относительно энергии вакуума Е0, то физический оператор энергии равен Н − Å0; èç (1.2.44)
следует, что это оператор положителен.
Проблема состояний с отрицательной энергией для заряженных частиц со спином нуль была также разрешена в 1934 году Паули и Вайскопфом 45 в работе, написанной отчасти как вызов дираковской картине заполненных состояний с отрицательной энергией. Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют в этом случае соотношениям коммутации, а не антикоммутации, поэтому невозможно просто поменять роль этих операторов, как это было сделано для фермионов. Вместо этого следует вернуться к каноническому формализму Гейзенберга и Паули 41 с тем, чтобы решить, какие коэффициенты в разных нормальных модах являются операторами рождения или уничтожения.
Паули и Вайскопф разложили свободное заряженное скалярное поле на плоские волны в кубическом пространственном объеме
V ≡ L3:
ϕ(x, t) = |
1 |
|
åq(k, t)eik×x |
(1.2.48) |
|
|
|
|
|||
|
V |
||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
с волновыми числами, ограниченными условиями периодичности: величины kjL/(2π) должны быть при j = 1, 2, 3 набором трех поло-
жительных или отрицательных целых чисел. Аналогично канониче- ски сопряженная величина (1.2.29) разлагается в виде
π(x, t) = |
1 |
|
åp(k, t)e-ik×x . |
(1.2.49) |
|
|
|
|
|||
|
V |
||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь в показателе экспоненты поставлен знак минус, так что (1.2.29) принимает вид
1. 2. Рождение квантовой теории поля |
|
33 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p(k, t) = q& † (k, t) . |
|
(1.2.50) |
|||||||||
Формулы фурье−обращения имеют вид |
|
|
|||||||||
q(k, t) = |
1 |
|
|
|
z |
d3x ϕ(x, t)e |
-ik×x , |
(1.2.51) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
V |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|||||||
p(k, t) = |
|
|
|
z |
d3x π(x, t)e+ik×x . |
(1.2.52) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому для всех q и p выполняются канонические коммутационные соотношения (1.2.31)−(1.2.34):
|
|
V |
z |
|
|
|
|
p(k, t), q(l, t) |
= |
−ih |
|
d3xeik×xe |
-il×x |
= −ihδkl , |
(1.2.53) |
|
|
p(k, t), q† (l, t) = p(k, t), p(l, t) = p(k, t), p† (l, t) =
q(k, t), q(l, t) q(k, t), q† (l, t) = 0, (1.2.54)
а также соотношения, получающиеся отсюда для эрмитово сопряженных величин. Подставляя (1.2.48) и (1.2.49) в формулу (1.2.36) для функции Гамильтона, можно выразить этот оператор через величины p и q:
H = å |
|
p† (k, t)p(k, t) + ω2kq† (k, t)q(k, t) |
|
, |
(1.2.55) |
|
|
||||
k |
|
||||
|
|
ω2k ≡ c2k2 + dmc2 hi2 . |
(1.2.56) |
||
Производные по времени величин p определяются из уравнения Гамильтона
& |
k |
, t) |
= − |
∂H |
= −ω2 |
† |
k |
, t) |
(1.2.57) |
|
|||||||||
|
|||||||||
p( |
|
|
∂q(k, t) |
kq |
( |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(и ему сопряженного). С учетом (1.2.50) этот результат в точности эквивалентен волновому уравнению Клейна−Гордона−Шрединге-
ðà (1.2.28).
34 |
Глава 1. Историческое введение |
Мы видим, что, как и в случае модели Борна, Гейзенберга
èИордана 4 1926 года, свободное поле ведет себя как бесконеч- ное число связанных гармонических осцилляторов. Паули и Вай-
скопфу удалось построить операторы p и q, удовлетворяющие коммутационным соотношениям (1.2.53)-(1.2.54) и «уравнениям дви-
жения» (1.2.50) и (1.2.57), введя операторы уничтожения и рождения a, b, a† è b† двух разных типов, соответствующих частицам
èантичастицам:
q(k, t) = i |
|
|
|
h |
[a(k) exp(-iwkt) - b†(k) exp(iwkt)], |
(1.2.58) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2wk |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
p(k, t) = |
|
|
2wk |
|
[b(k) exp(-iwkt) + a†(k) exp(iwkt)], |
(1.2.59) |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h |
|
|||
для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a(k), a† (l)] = [b(k), b† (l)] = δkl , |
(1.2.60) |
||||||
|
|
|
|
[a(k), a(l)] = [b(k), b(l)] = 0, |
(1.2.61) |
|||
[a(k), b(l)] = [a(k), b† (l)] = [a† (k), b(l)] = [a† (k), b† (l)] = 0 . |
(1.2.62) |
|||||||
Можно непосредственно убедиться в том, что эти операторы действительно удовлетворяют соотношениям (1.2.53), (1.2.54), (1.2.50) и (1.2.57). Поле (1.2.48) можно записать как
j(x, t) = |
|
i |
|
åk |
h |
[a(k) exp(ik × x - iwkt) |
|
|
|
2wk |
|||
V |
||||||
|
|
|
|
|
|
(1.2.63) |
-b†(-k) exp(-ik × x + iwkt)],
àфункция Гамильтона (1.2.55) принимает вид
H = åk 21hwk [b† (k)b(k) + b(k)b† (k) + a† (k)a(k) + a(k)a† (k)] ,
или, используя (1.2.60)-(1.2.62),