Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1923

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10.7. Представление Челлена–Лемана

621

 

 

 

С помощью (10.7.11) среднее по вакууму от хронологического произведения запишется в виде

áTnF(x)F (y)sñ0

∞

(x - y; m ) ,

 

= -iz dm r(m )DF

(10.7.12)

†

2 2

2

 

 

0

 

 

ãäå DF(x − y; m2) есть фейнмановский пропагатор для бесспиновой частицы массой m:

-iDF (x - y; m2 ) º q(x0 - y0 )D+ (x - y; m2 ) - q(y0 - x0 )D+ (y - x; m2 ) .

(10.7.13) Используя обозначения, введенные в разделе 10.3 для точных пропагаторов, вводим в импульсном пространстве функцию

-iD¢(p) º z d4x exp-ip × (x - y)áTnF(x)F† (y)sñ0 . (10.7.14)

Напомним, что

z d4x exp -ip × (x - y) DF (x - y; m2 ) = 1 . (10.7.15) p2 + m2 - ie

Это приводит к искомому спектральному представлению 9:

*На самом деле, нет даже уверенности в том, что Δ′(p) обращается в нуль при |p2| → ∞, хотя, казалось бы, это следует из спектрального

представления. Проблема связана с изменением порядка интегрирования по pμ è μ2. Определенно можно утверждать (с помощью методов следующего раздела), что Δ′(p) есть аналитическая функция −ð2 со скачком вдоль положительной действительной оси −ð2 = μ2, равным πρ(μ2). Отсюда следует, что для Δ′(p) можно записать дисперсионное соотношение со спектральной функцией ρ(μ2) и возможными вычитаниями:

 

 

X∞

ρ(μ2 )

 

 

dμ2

 

 

′(p) = P(p2 ) + (−p2

+ μ2)n Y

 

 

 

 

 

 

.

(μ2 + μ2 )n

 

p2

 

− iε

 

0

Z

 

+ μ2

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

ãäå n − положительное целое число, μ 2

− произвольная положительная

0

константа, а P(p2) − зависящий от μ02 полином по р2 порядка n−1,

отсутствующий при n = 0.

622

Глава 10. Непертурбативные методы

 

 

 

 

 

 

∞

 

 

 

 

 

X

 

 

dμ2

 

 

′(p) = Y

ρ(μ2 )

 

 

.

(10.7.16)

p2

+ μ2 − iε

Z

 

 

0

 

 

 

 

 

Первым немедленным следствием этого результата в сочетании с положительностью ρ(μ2) является то, что ′(p) не может обращаться в нуль при |p2| → ∞ быстрее, чем свободный пропагатор 1/(p2+ m2 − iε) *.

Время от времени предлагают включить в невозмущенный лагранжиан слагаемые с высшими производными, что привело бы к убыванию пропагатора быстрее чем 1/p2 ïðè |p2| → ∞. Однако спектральное

представление показывает, что это обязательно вступает в противоре- чие с квантово-механическим постулатом положительности. 1

Спектральное представление вместе с одновременными коммутационными соотношениями можно использовать для вывода интересного правила сумм для спектральной функции. Если Φ(x) −

обычным образом нормированный (но не перенормированный) канонический оператор поля, то

 

L ∂Φ(x, t)

 

 

 

O

 

 

 

M

 

 

, Φ† (y, t)P

= −iδ3 (x − y) .

(10.7.17)

 

∂t

 

N

 

 

 

 

Q

 

 

Заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

+ (x − y)|

 

 

0 = −iδ3 (x − y) ,

 

 

 

 

 

0

 

 

∂x0

 

 

 

 

 

x

 

= y

 

 

так что из спектрального представления (10.7.10) вместе с коммутационными соотношениями (10.7.17) вытекает, что

z0∞ ρ(μ2 )dμ2 = 1 .

(10.7.18)

Отсюда следует, что при |p2| → ∞ пропагатор (10.7.16) неперенорми-

рованных полей в импульсном пространстве имеет асимптотическое поведение, отвечающее свободному полю:

′(p) → 1 . p2

10.8. Дисперсионные соотношения

623

 

 

 

Такой результат имеет смысл только в рамках подходящей схемы регуляризации ультрафиолетовых расходимостей. В рамках теории возмущений неперенормированные поля имеют расходящиеся матричные элементы, так что их пропагаторы плохо определены.

Рассмотрим теперь возможность, что существует одночастич- ное состояние |kñ массой m, имеющее ненулевой матричный элемент с состоянием á0|F(0). Из лоренц-инвариантности вытекает, что

этот матричный элемент имеет вид

0| F(0)| k = (2p)−3/2 e2

 

j−1/2 N,

 

k2 + m2

(10.7.19)

где N — константа. Согласно общим результатам раздела 10.3 пропагатор D′(p) неперенормированных полей должен иметь полюс при p2 ® −m2 с вычетом Z º |N|2 > 0. Отсюда

r(m

2

) = d(m

2

-

m2

) + s(m

2

) ,

(10.7.20)

 

Z

 

 

 

ãäå s(m2) ³ 0 — вклад многочастичных состояний. С учетом формулы

(10.7.18) получаем

1 = Z + z∞ s(m2 )dm2 ,

(10.7.21)

0

 

òàê ÷òî

 

Z £ 1,

(10.7.22)

причем равенство достигается только для свободной частицы, для которой состояние á0|F(x) не имеет ненулевых матричных элементов

с многочастичными состояниями.

Поскольку константа Z положительна, формулу (10.7.21) можно расматривать как устанавливающую верхнюю границу на силу взаимодействия поля F с многочастичными состояниями:

z∞ s(m2 )dm2 £ 1,

(10.7.23)

0

 

* В физике конденсированных сред этот прием известен как «преобразование Хаббарда−Стратоновича» 11. Оно будет использовано для введения

полей спаренных электронов при обсуждении сверхпроводимости в т. II.

624 Глава 10. Непертурбативные методы

причем равенство достигается при Z = 0. Предел Z = 0 имеет интересную интерпретацию как условие того, что частица не элементарна, а является составной 10. В данном контексте «составная» частица понимается как такая частица, чье поле не входит в лагранжиан. Рассмотрим такую частицу, например, нейтральную частицу спина нуль, и предположим, что она уничтожается оператором F(Ψ) с соответствующими квантовыми числами, построенным из других полей. Не составляет труда ввести поле Φ,

отвечающее такой частице, добавив в лагранжиан слагаемое вида* L = (Φ − F(Ψ))2, поскольку функциональный интеграл по Φ можно взять, положив Φ равным значению в стационарной точке Φ =

F(Ψ), в которой L = 0. Но предположим, что

вместо этого

ìû

напишем L = L0 + L1, ãäå

L0 ≡ − ∂μΦ∂μΦ − 1m2Φ2

— обычный

лагранжиан свободного поля,

и рассмотрим

L1 ≡

L − L0

êàê

взаимодействие. Слагаемое 1∂μΦ∂μΦ во взаимодействии не содер-

жит ничего нового. Мы получали такое слагаемое, умноженное на (1 − Z), в формуле (10.3.12). Единственная новость заключается в

том, что теперь Z = 0. Вместо того, чтобы подбирать константу Z так, чтобы удовлетворить условию перенормировки поля в виде ∏*′(0) = 0, мы должны рассматривать условие Z = 0 как условие на

константы связи составной частицы. К сожалению, применить такую процедуру в квантовой теории поля не удается, поскольку, как мы видели, условие Z = 0 означает, что частица взаимодействует максимально сильно со своими конституентами *, а это исключает применение теории возмущений. Условие Z = 0 оказывается действительно полезным в нерелятивистской квантовой механике. Например, оно фиксирует константу связи дейтрона с нейтроном и протоном 12.

Хотя мы вывели спектральное представление только для бесспиновых полей, результаты легко обобщаются на другие поля. Действительно, мы увидим в следующей главе, что в порядке е2 множитель Z для электромагнитного поля (обычно обозначаемый Z3) дается формулой

* В русском языке закрепилась транслитерация английского термина constituents, обозначающего элементарные частицы, составляющие данную составную частицу. — Прим. ред.

10.7. Представление Челлена–Лемана

 

 

625

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 −

e2

 

F Λ2 I

Z3

 

 

ln G

 

J ,

12π

2

2

 

 

 

H me K

(ãäå Λ . me — ультрафиолетовое обрезание) в согласии с ограниче-

íèåì (10.7.22).

10.8. Дисперсионные соотношения *

Провал первых попыток применить формализм теории возмущений в квантовой теории поля к слабым и сильным ядерным взаимодействиям привел теоретиков в конце 1950-х годов к идее об использовании аналитичности и унитарности амплитуд рассеяния для вывода общих непертурбативных результатов, не зависящих от конкретной теории поля. Это направление исследований началось с возрождения интереса к дисперсионным соотношениям. В своем первоначальном виде 13 дисперсионное соотношение представляло собой формулу, выражающую действительную часть показателя преломления в виде интеграла от его мнимой части. Формула была получена как следствие свойства аналитичности показателя преломления как функции частоты, которое вытекало из условия, что электромагнитные сигналы в среде не могут распространяться быстрее, чем в вакууме. Если выразить показатель преломления через амплитуду рассеяния фотона вперед, то дисперсионное соотношение можно переписать как формулу, связывающую действительную часть амплитуды рассеяния вперед с интегралом от ее мнимой части, а следовательно, в силу условия унитарности, с интегралом от полного сечения. Одним из вдохновляющих свойств такого соотношения было то, что оно представляло альтернативу обычной теории возмущений: задавая амплитуду рассеяния в порядке е2, можно было вычислить сечение и мнимую часть амплитуды рассеяния в порядке е4, а затем с помощью дисперсионного соотношения найти действительную часть амплитуды рассеяния вперед в этом же порядке, не вычисляя при этом никаких петлевых диаграмм.

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

Смотрите также файлы