Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Развитие современного подхода к дисперсионным соотношениям началось в 1954 году работой Гелл-Манна, Гольдбергера и Тирринга 14. Вместо рассмотрения распространения света в среде, они вывели свойство аналитичности амплитуды рассеяния непосредственно из условия микропричинности, утверждающего, что коммутаторы операторов поля обращаются в нуль, когда точки, в которых эти операторы заданы, разделены пространственноподобным интервалом. Вскоре такой подход позволил Гольдбергеру 15 вывести очень полезное дисперсионное соотношение для пион-

нуклонной амплитуды рассеяния вперед.

Чтобы увидеть, как можно использовать принцип микропри- чинности, рассмотрим в лабораторной системе рассеяние на угол нуль безмассового бозона любого спина на произвольной мишени a массой mα > 0 и импульсом pα = 0. (Как обсуждается в т. II,

этот пример имеет важные приложения для рассеяния не только фотонов, но и пионов в пределе mπ = 0.) Двукратным применением формулы (10.3.4) или теоремы Лемана-Симанчика-Циммермана 3

матричный элемент S-матрицы в этом случае представляется в виде:

´ z d4xz d4ye-ik¢×yeik×x (i9y)(i9x )áa| T{A† (y), A(x)}| añ . (10.8.1)

Здесь k и k′ − начальный и конечный 4-импульсы бозона, причем ω = k0, ω′ = k′0; A(x) − произвольный гейзенберговский оператор с

неисчезающим матричным элементом

áVAC|A(x)|kñ = (2p)−3/2(2w)−1/2Neik×x

между однобозонным состоянием |kñ и вакуумом, а N - константа.

При рассеянии фотона оператор A(x) может быть одной из попереч- ных компонент электромагнитного поля, а в случае рассеяния безмассовых пионов - псевдоскалярной функцией адронных полей. Дифференциальные операторы -i9x è -i9y вставлены для того, чтобы появились множители ik¢2 è ik2, необходимые для сокраще-

ния бозонных пропагаторов, отвечающих внешним линиям. Подействовав этими операторами на A†(y) и A(x), получаем

ãäå J(x) º 9xA(x), а «ОВК» означает фурье-образ слагаемых от

одновременных коммутаторов, возникающих при действии производной на ступенчатую функцию в хронологическом произведении. Коммутаторы операторов типа A(x) и A†(y) (или их производных) при x0 = y0 обращаются в нуль при x ¹ y, так что слагаемое «ОВК»

есть фурье-образ дифференциального оператора, действующего на d4(x - y), и поэтому является полиномиальной функцией 4-импуль-

сов бозонов. Нас интересуют аналитические свойства матричного элемента S-матрицы, так что детальный вид этого полинома несуществен.

В силу трансляционной инвариантности матричный элемент (10.8.2) S-матрицы представляется в виде S = –2pid4(k′ − k)M(w),

при соглашении, что kμ = wlμ, ãäå l − фиксированный 4-вектор, такой, что lμlμ = 0 è l0 = 1.

Хронологическое произведение можно двумя способами переписать через коммутаторы:

T{J† (0), J(x)} = q(-x0 )[J† (0), J(x)] + J(x)J† (0)

Условие микропричинности утверждает, что подынтегральные выражения в формулах (10.8.7) и (10.8.8) обращаются в нуль, если только xm

не находится внутри светового конуса. Тогда наличие ступенчатых функций приводит к тому, что xm в формуле (10.8.7) находится в световом конусе прошлого, и x×l > 0, а в формуле (10.8.8) — в переднем световом конусе, и x×l < 0. Отсюда следует, что FA(w) аналитична при Im w > 0, à FR(w) аналитична при Im w < 0, так как в обоих случаях множитель eiwl×x обеспечивает сходимость интеграла по xm. (Напомним, что слагаемое «ОВК» является полиномом и поэтому

аналитично во всех конечных точках.) Поэтому можно определить функцию

аналитичную во всей комплексной плоскости w, за исключением

разреза вдоль действительной оси.

Выведем теперь дисперсионное соотношение. Согласно формуле (10.8.6) скачок F (w) на разрезе при любом действительном Е равен

F (E + iε) − F (E − iε) = FA (E) − FR (E) = F- (E) − F+ (E) . (10.8.12)

Åñëè F (w)/wn обращается в нуль при |w| ® ¥ как в верхней, так и в

нижней полуплоскости, то поделив эту функцию на любой полином P(w) порядка n, получаем функцию, которая обращается в нуль при |w| ® ¥ и аналитична везде, за исключением разреза вдоль действительной оси и полюсов в нулях wn полинома P(w). (Åñëè ñàìà F (w) обращается в нуль при |w| ® ¥, можно взять P(w) = 1.)

Согласно теореме о вычетах, имеем тогда

ãäå ω — любая точка вне действительной оси, а С − контур,

состоящий их двух кусков: один проходит над действительной осью от −∞ + iε äî +∞ + iε и замыкается по большому полукругу в верхней полуплоскости назад к −∞ + iε, а другой проходит под действительной осью от +∞ − iε äî −∞ − iε и замыкается по большому полукругу в нижней полуплоскости назад к +∞ − iε. Поскольку функция F(z)/P(z) обращается в нуль при |z| → ∞,

вкладом от больших полукругов можно пренебречь. С учетом (10.8.12) формула (10.8.13) принимает вид:

ãäå Q(ω) — полином (n − 1)-ой степени:

Говорят, что дисперсионное соотношение такого вида, где P(ω) è Q(ω) имеют соответственно порядок n и n − 1, имеет n вычитаний.

Если можно положить Р = 1, то Q = 0, и дисперсионное соотношение называется безвычитательным.

Если теперь устремить ω к действительной оси сверху, то из

(10.8.14) получаем: