Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Этот результат полезен, поскольку функции F±(E) можно

выразить через измеряемые сечения. Суммируя в формулах (10.8.9) и (10.8.10) по полному набору многочастичных промежуточных состояний b (включая интегрирование по импульсам частиц в состояниях b) и вновь используя трансляционную инвариантность, имеем:

Однако матричные элементы поглощения безмассового скалярного бозона В в реакции B + a ® b или его античастицы Вñ в реакции Bc + a ® b имеют соответственно вид

α→ α + B è α → α + Bc, функции F±(E) содержат также слагаемые, пропорциональные δ(E), возникающие от вклада одночастичного состояния

αв сумме по промежуточным состояниям β. Для поперечно поляризован-

ных фотонов или псевдоскалярных пионов в пределе mπ → 0 подобная

ситуация не возникает.

видим, что при Im w £ 0 функция FA(−w) совпадает с функцией FR(w), если не считать перемены местами J и J†. Иными словами,

FA(-w) = FRc (w) ïðè Im w £ 0 ,

где верхний индекс c указывает, что амплитуда описывает рассеяние античастицы Bc на мишени a. (Оставляем читателю показать, что это1

соотношение не нарушается при учете слагаемых от одновременных коммутаторов в (10.8.7) и (10.8.8).) Аналогично находим, что

FR (-w) = FAc (w) ïðè Im w ³ 0 ,

и что для действительных w

F± (−ω) = Fmc (ω) .

Используя эти соотношения в формуле (10.8.6) и вспоминая, что f(w) пропорциональна F(w), находим соотношение кросс-симметрии: для действительных w

Мы свободны в выборе P(w) в виде любого полинома достаточно высокого порядка, но тогда R(w) зависит не только от P(w), но и от значений F (w) в нулях P(w). Åñëè P(w) − действительный

полином n-ого порядка, единственными свободными параметрами в (10.8.16) являются n действительных коэффициентов в действительном полиноме (n − 1)-ого порядка R(w). Следовательно,

соотношение (10.8.16) содержит ровно n неизвестных действительных независимых констант, являющихся коэффициентами полинома R(w) при заданном P(w). По этой причине желательно

выбирать порядок n произвольного во всем остальном полинома P(w) как можно меньшим .

Можно попробовать взять P(w) = 1, но это не сработает.

Анализ, проведенный в разделе 3.7, показывает, что амплитуда рассеяния вперед должна расти как w или, возможно, как w ln2w. В этом случае, для того, чтобы f(w)/P(w) обращалась в нуль при w ® 0, достаточно взять P(w) в виде полинома второго порядка,

òàê ÷òî R(ω) линеен по ω. Выбирая для удобства P(E) = E2,

представим соотношение (10.8.24) в виде

ãäå a è b − неизвестные действительные константы. Из условия

кросс-симметрии (10.8.25) вытекает, что соответствующие константы в дисперсионном соотношении для амплитуды рассеяния анти- частиц fc(ω) равны

Если предположить, например, что сечения σα+B(E) è σα+ Bc (E) ведут себя при Е → ∞ как разные константы, умноженные на (ln

E)r, то из (10.8.26) будет следовать, что

так что действительная часть амплитуды рассеяния будет расти в ln ω раз быстрее мнимой части. Это неприемлемо: мы видели в разделе 3.7, что при ω → ∞ следует ожидать, что действительная

часть амплитуды рассеяния вперед много меньше мнимой части, и это подтверждается экспериментом. Мы приходим к выводу, что если σα+B(E) è σα+ Bc (E) действительно ведут себя при Е → ∞ êàê

константы, умноженные на (ln E)r, то эти константы должны быть равны. Поскольку мы рассматриваем предел высоких энергий, результат не зависит от предположения, что В − безмассовый бозон,

так что можно утверждать, что отношение сечений рассеяния любой частицы и ее античастицы на фиксированной мишени должно стремиться при высоких энергиях к единице. Этот результат есть несколько обобщенный вариант так называемой теоремы Померанчука 16. (Померанчук рассматривал только случай r = 0, хотя из результатов раздела 3.7 и из наблюдаемого поведения сечений следует, что значение r = 2 более предпочтительно.)

Хотя Померанчук получал свои оценки асимптотического поведения амплитуд рассеяния на основании аргументов, близких к изложенным в разделе 3.7, в наши дни поведение при высоких

634 Глава 10. Непертурбативные методы

энергиях обычно получают из теории полюсов Редже 17. Рассмотрение деталей этого вопроса увело бы нас слишком далеко в сторону. Достаточно сказать, что для адронных процессов асимптотическое поведение f(ω) ïðè ω → ∞ представляется суммой слагаемых, пропорциональных ωα(0) , ãäå αn(t) — множество «ред-

жевских траекторий», каждая из которых соответствует обмену бесконечным семейством различных одноадронных состояний в процессе рассеяния. Ведущей траекторией (на самом деле, комплексом из многих траекторий) является «померон», для которого α(0) близко к единице. Именно эта траектория дает сечения, примерно постоянные при Е → ∞.

Согласно теореме Померанчука, померон одинаково связан с любым адроном и его античастицей. Для низших реджевских траекторий можно оценить значения αn(0), рассматривая спектр адронных

состояний. Необходимым, хотя и недостаточным условием 18 того, что при значении массы m возникнет мезонный резонанс со спином j, является равенство m2 тому значению t, при котором одна из траекторий αn(t) равна j. Кроме померона, ведущей траекторией в пион−

нуклонном рассеянии является та, на которой мы находим при массе m = 770 МэВ ρ-мезон с j = 1, при массе m = 1690 МэВ — g-мезон с j = 3, и при массе m = 2350 МэВ — мезон с j = 5. Экстраполируя эти значения α(t) к t = 0, можно оценить, что для этой траектории α(0) ≈ 0,5. Связь такой траектории с π+ è π− имеет разные знаки, так что для пион−нуклонного рассеяния следует ожидать, что f(ω) − fc(ω) ведет себя, грубо говоря, как ω1/2.

В случае рассеяния фотонов нет разницы между В и Вñ, так что в этом случае из формулы (10.8.27) следует b = 0, и соотношение (10.8.26) принимает вид:

Это и есть по-существу первоначальное соотношение Крамерса−

Кронига 13. Как мы увидим в разделе 13.5, для мишени с зарядом е и массой m константа a имеет известное значение Re f(0) = −e2/m.